调和数列

调和数列是倒数为等差数列的数列，在数学分析、物理、音乐等领域有重要应用！

什么是调和数列？

调和数列（Harmonic Sequence）是倒数为等差数列的数列。

定义

如果数列 $\{a_n\}$ 满足：$\frac{1}{a_1}, \frac{1}{a_2}, \frac{1}{a_3}, \ldots$ 是等差数列，则 $\{a_n\}$ 是调和数列。

等价定义

如果数列 $\{a_n\}$ 满足：$\frac{1}{a_n} = \frac{1}{a_1} + (n - 1)d$（$d$ 是常数），则 $\{a_n\}$ 是调和数列。

例子

例子 1：

1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ...

• 倒数：$1, 2, 3, 4, 5, \ldots$（等差数列，公差 $d = 1$）
• 这是调和数列

例子 2：

1/2, 1/4, 1/6, 1/8, 1/10, ...

• 倒数：$2, 4, 6, 8, 10, \ldots$（等差数列，公差 $d = 2$）
• 这是调和数列

通项公式

公式

如果 $\frac{1}{a_1}, \frac{1}{a_2}, \frac{1}{a_3}, \ldots$ 是等差数列，首项为 $\frac{1}{a_1}$，公差为 $d$，则：

$$\frac{1}{a_n} = \frac{1}{a_1} + (n - 1)d$$

所以：

$$a_n = \frac{1}{\frac{1}{a_1} + (n - 1)d}$$

例子

例子 1：调和数列 $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \ldots$

• $\frac{1}{a_1} = 1$, $d = 1$
• $\frac{1}{a_n} = 1 + (n - 1) \times 1 = n$
• 所以 $a_n = \frac{1}{n}$

例子 2：调和数列 $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{6}, \frac{1}{8}, \ldots$

• $\frac{1}{a_1} = 2$, $d = 2$
• $\frac{1}{a_n} = 2 + (n - 1) \times 2 = 2n$
• 所以 $a_n = \frac{1}{2n}$

调和级数

定义

调和级数是调和数列的前 $n$ 项和：

$$H_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}$$

性质

性质 1：发散性

当 $n \to \infty$ 时，调和级数发散（和趋于无穷大）。

虽然每一项都趋于 0，但和却趋于无穷大！

性质 2：近似公式

当 $n$ 很大时：

$H_n \approx \ln n + \gamma$

其中：

• $\ln n$：自然对数
• $\gamma \approx 0.5772$：欧拉常数（Euler's constant）

性质 3：增长速度

调和级数增长非常缓慢：

• $H_{10} \approx 2.93$
• $H_{100} \approx 5.19$
• $H_{1000} \approx 7.49$
• $H_{10000} \approx 9.79$

例子

计算 $H_5$：

• $H_5 = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}$
• $= 1 + 0.5 + 0.333\ldots + 0.25 + 0.2$
• $\approx 2.283$

调和数列的性质

性质 1：单调递减

调和数列是单调递减的（当 $a_1 > 0$ 时）。

例子：

• $1 > \frac{1}{2} > \frac{1}{3} > \frac{1}{4} > \ldots$

性质 2：有界性

调和数列有下界（0），但无上界。

性质 3：极限

当 $n \to \infty$ 时，$a_n \to 0$。

生活中的应用

音乐

• 🎵 音阶：音乐中的音阶关系
• 🎹 和声：和声的频率关系

物理

• 🌊 波动：某些波动现象
• ⚡ 电路：电路中的某些关系

调和平均数

定义

调和平均数是 $n$ 个正数的倒数平均数的倒数：

$$H = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \cdots + \frac{1}{x_n}}$$

例子

例子：求 2, 3, 6 的调和平均数

• $H = \frac{3}{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}}$
• $= \frac{3}{\frac{3}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6}}$
• $= \frac{3}{\frac{6}{6}}$
• $= \frac{3}{1}$
• $= 3$

应用

• 📊 平均速度：如果路程相同，速度不同，用调和平均数
• 💰 平均价格：某些价格计算

常见错误

错误 1：混淆调和数列和等差数列

调和数列的倒数是等差数列，不是调和数列本身是等差数列。

错误 2：调和级数的收敛性

调和级数是发散的，不是收敛的。

错误 3：通项公式错误

要记住调和数列的通项公式是通过倒数来定义的。

小练习

1. 写出调和数列 $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \ldots$ 的通项公式
2. 计算调和级数 $H_6$
3. 求 4, 6, 12 的调和平均数
4. 应用题：如果路程相同，去时速度 60 km/h，回时速度 40 km/h，求平均速度

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💡 小贴士：调和数列是"倒数为等差数列"的数列。记住调和级数是发散的，虽然每一项都趋于 0，但和却趋于无穷大！