等比数列

等比数列是另一个重要的数列！它的规律是相邻两项的比相等，在复利计算、人口增长等问题中应用广泛。

什么是等比数列？

等比数列（Geometric Sequence）是相邻两项的比都相等的数列。

定义

如果数列 $\{a_n\}$ 满足：$\frac{a_{n+1}}{a_n} = q$（常数，$q \neq 0$），则这个数列是等比数列。

其中：

• $q$：公比（common ratio），相邻两项的比
• $a_1$：首项（first term）

例子

例子 1：

2, 4, 8, 16, 32, ...

• 首项 $a_1 = 2$
• 公比 $q = 2$
• 相邻两项的比都是 $2$

例子 2：

81, 27, 9, 3, 1, ...

• 首项 $a_1 = 81$
• 公比 $q = \frac{1}{3}$
• 相邻两项的比都是 $\frac{1}{3}$（递减）

例子 3：

1, -2, 4, -8, 16, ...

• 首项 $a_1 = 1$
• 公比 $q = -2$
• 相邻两项的比都是 $-2$（摆动）

通项公式

公式

$a_n = a_1 \times q^{n-1}$

其中：

• $a_n$：第 $n$ 项
• $a_1$：首项
• $q$：公比
• $n$：项数

推导

• $a_1 = a_1$
• $a_2 = a_1 \times q$
• $a_3 = a_2 \times q = a_1 \times q^2$
• $a_4 = a_3 \times q = a_1 \times q^3$
• $\ldots$
• $a_n = a_1 \times q^{n-1}$

例子

例子 1：求等比数列 2, 4, 8, 16, ... 的第 10 项

• $a_1 = 2$, $q = 2$
• $a_{10} = 2 \times 2^{10-1} = 2 \times 2^9 = 2 \times 512 = 1024$

例子 2：等比数列的首项是 3，公比是 $\frac{1}{2}$，求第 6 项

• $a_1 = 3$, $q = \frac{1}{2}$
• $a_6 = 3 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{6-1} = 3 \times \left(\frac{1}{2}\right)^5 = 3 \times \frac{1}{32} = \frac{3}{32}$

前 n 项和公式

公式 1：当 $q \neq 1$ 时

$S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}$

或

$S_n = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}$

公式 2：当 $q = 1$ 时

$S_n = na_1$（常数列）

推导

设 $S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$

• $S_n = a_1 + a_1q + a_1q^2 + \cdots + a_1q^{n-1}$
• 两边同时乘以 $q$：$qS_n = a_1q + a_1q^2 + \cdots + a_1q^n$
• 两式相减：$S_n - qS_n = a_1 - a_1q^n$
• 所以 $(1 - q)S_n = a_1(1 - q^n)$
• 当 $q \neq 1$ 时：$S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}$

例子

例子 1：求等比数列 2, 4, 8, 16, 32 的前 5 项和

• $a_1 = 2$, $q = 2$, $n = 5$
• $S_5 = \frac{2(1 - 2^5)}{1 - 2} = \frac{2(1 - 32)}{-1} = \frac{2 \times (-31)}{-1} = 62$

例子 2：求等比数列 3, 1, $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{9}$, ... 的前 6 项和

• $a_1 = 3$, $q = \frac{1}{3}$, $n = 6$
• $S_6 = \frac{3[1 - (\frac{1}{3})^6]}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{3(1 - \frac{1}{729})}{\frac{2}{3}} = \frac{3 \times \frac{728}{729} \times 3}{2} = \frac{1092}{243}$

无穷等比数列的和

条件

当 $|q| < 1$ 时，无穷等比数列有和。

公式

$S = \frac{a_1}{1 - q}$（$|q| < 1$）

例子

例子：求无穷等比数列 1, $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{8}$, ... 的和

• $a_1 = 1$, $q = \frac{1}{2}$（$|q| = \frac{1}{2} < 1$）
• $S = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$

等比数列的性质

性质 1：中项公式

如果 $a, b, c$ 成等比数列，则 $b^2 = ac$（$b$ 是 $a$ 和 $c$ 的等比中项）。

例子：

• 2, 4, 8 成等比数列，因为 $4^2 = 2 \times 8 = 16$

性质 2：对称性

在等比数列中，与首末两项等距离的两项积相等。

例子：

• 在 2, 4, 8, 16, 32 中，$a_1 \times a_5 = a_2 \times a_4 = 2 \times 32 = 4 \times 16 = 64$

性质 3：项的幂

如果 $\{a_n\}$ 是等比数列，则 $\{a_n^k\}$ 也是等比数列（$k$ 是常数）。

生活中的应用

复利计算

• 💰 本金 $P$，年利率 $r$，按复利计算，$n$ 年后本息和
  • $A = P(1 + r)^n$
  • 这是等比数列：$a_1 = P(1 + r)$, $q = 1 + r$, $a_n = P(1 + r)^n$

人口增长

• 👥 人口每年增长 $r\%$，$n$ 年后人口
  • $P_n = P_0(1 + r)^n$
  • 这是等比数列

细菌繁殖

• 🦠 细菌每 1 小时翻倍，$n$ 小时后数量
  • $N_n = N_0 \times 2^n$
  • 这是等比数列：$a_1 = N_0 \times 2$, $q = 2$, $a_n = N_0 \times 2^n$

放射性衰变

• ☢️ 放射性物质每 $T$ 年衰变一半，$n$ 年后剩余量
  • $N_n = N_0\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{n}{T}}$
  • 这是等比数列

常见错误

错误 1：通项公式中指数错误

❌ 错误：$a_n = a_1 \times q^n$
✅ 正确：$a_n = a_1 \times q^{n-1}$

错误 2：求和公式使用条件

当 $q = 1$ 时，要用 $S_n = na_1$，不能用 $S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}$（分母为 0）。

错误 3：公比计算错误

❌ 错误：$q = \frac{a_n}{a_1}$
✅ 正确：$q = \frac{a_{n+1}}{a_n}$（相邻两项的比）

错误 4：无穷和的条件

只有 $|q| < 1$ 时，无穷等比数列才有和。

小练习

1. 求等比数列 3, 6, 12, 24, ... 的第 8 项
2. 求等比数列 5, 1, $\frac{1}{5}$, $\frac{1}{25}$, ... 的前 6 项和
3. 等比数列的首项是 2，第 4 项是 16，求公比
4. 应用题：本金 1000 元，年利率 5%，按复利计算，5 年后本息和是多少？

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💡 小贴士：等比数列的规律是"相邻两项的比相等"。记住通项公式 $a_n = a_1 \times q^{n-1}$ 和求和公式 $S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}$，你就能解决大部分等比数列问题！