数列的通项公式

通项公式是数列的核心！掌握了通项公式，你就能知道数列的任意一项是多少。

什么是通项公式？

通项公式是用 $n$ 表示第 $n$ 项的公式，记作 $a_n = f(n)$。

作用

• 可以求出数列的任意一项
• 可以判断某个数是否是数列的项
• 可以分析数列的性质

例子

例子 1：自然数数列

• 通项公式：$a_n = n$
• $a_1 = 1$, $a_2 = 2$, $a_3 = 3$, $\ldots$

例子 2：偶数数列

• 通项公式：$a_n = 2n$
• $a_1 = 2$, $a_2 = 4$, $a_3 = 6$, $\ldots$

例子 3：平方数数列

• 通项公式：$a_n = n^2$
• $a_1 = 1$, $a_2 = 4$, $a_3 = 9$, $\ldots$

求通项公式的方法

方法 1：观察法

观察前几项，找出规律，写出通项公式。

步骤

1. 列出前几项
2. 观察规律
3. 写出通项公式
4. 验证

例子 1

数列：1, 4, 9, 16, 25, ...

观察：

• $1 = 1^2$
• $4 = 2^2$
• $9 = 3^2$
• $16 = 4^2$
• $25 = 5^2$

通项公式：$a_n = n^2$

例子 2

数列：2, 5, 8, 11, 14, ...

观察：

• $2 = 2 + 0 \times 3$
• $5 = 2 + 1 \times 3$
• $8 = 2 + 2 \times 3$
• $11 = 2 + 3 \times 3$
• $14 = 2 + 4 \times 3$

通项公式：$a_n = 2 + (n - 1) \times 3 = 3n - 1$

方法 2：利用已知数列类型

如果数列是等差数列或等比数列，直接套用公式。

等差数列

通项公式：$a_n = a_1 + (n - 1)d$

例子：

• 数列：3, 7, 11, 15, ...
• $a_1 = 3$, $d = 4$
• $a_n = 3 + (n - 1) \times 4 = 4n - 1$

等比数列

通项公式：$a_n = a_1 \times q^{n-1}$

例子：

• 数列：2, 6, 18, 54, ...
• $a_1 = 2$, $q = 3$
• $a_n = 2 \times 3^{n-1}$

方法 3：递推公式法

如果已知递推公式，可以通过递推关系求通项公式。

例子 1：一阶线性递推

递推公式：$a_1 = 1$, $a_n = 2a_{n-1} + 1$

求通项：

• $a_1 = 1$
• $a_2 = 2 \times 1 + 1 = 3$
• $a_3 = 2 \times 3 + 1 = 7$
• $a_4 = 2 \times 7 + 1 = 15$
• 观察：$a_n = 2^n - 1$

例子 2：二阶递推（斐波那契数列）

递推公式：$a_1 = 1$, $a_2 = 1$, $a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$

这是斐波那契数列，通项公式比较复杂（见斐波那契数列章节）。

方法 4：待定系数法

如果知道数列的类型，但不知道具体参数，可以用待定系数法。

例子

数列：2, 5, 8, 11, ...

假设是等差数列：$a_n = a_1 + (n - 1)d$

已知：$a_1 = 2$, $a_2 = 5$

求 $d$：$d = a_2 - a_1 = 5 - 2 = 3$

通项公式：$a_n = 2 + (n - 1) \times 3 = 3n - 1$

常见数列的通项公式

自然数数列

$$a_n = n$$

偶数数列

$$a_n = 2n$$

奇数数列

$$a_n = 2n - 1$$

平方数数列

$$a_n = n^2$$

立方数数列

$$a_n = n^3$$

倒数数列

$$a_n = \frac{1}{n}$$

交替符号数列

$$a_n = (-1)^n$$

或

$$a_n = (-1)^{n+1}$$

验证通项公式

方法

1. 用通项公式计算前几项
2. 与已知数列比较
3. 如果一致，公式正确；如果不一致，需要修正

例子

数列：1, 4, 9, 16, 25, ...

假设通项公式：$a_n = n^2$

验证：

• $a_1 = 1^2 = 1$ ✓
• $a_2 = 2^2 = 4$ ✓
• $a_3 = 3^2 = 9$ ✓
• $a_4 = 4^2 = 16$ ✓
• $a_5 = 5^2 = 25$ ✓

结论：公式正确

利用通项公式解决问题

问题 1：求第 n 项

例子：数列 $a_n = 2n + 1$，求第 10 项

• $a_{10} = 2 \times 10 + 1 = 21$

问题 2：判断某个数是否是数列的项

例子：数列 $a_n = n^2$，判断 25 是否是数列的项

• 设 $a_n = 25$，则 $n^2 = 25$，所以 $n = 5$
• 因为 $n = 5$ 是正整数，所以 25 是数列的第 5 项

问题 3：求项数

例子：等差数列 $a_n = 3n - 1$，如果 $a_n = 20$，求 $n$

• $3n - 1 = 20$
• $3n = 21$
• $n = 7$

常见错误

错误 1：通项公式与项数不匹配

要仔细检查通项公式是否正确。

错误 2：忽略初始条件

有些数列需要给出初始条件（如 $a_1$ 的值）。

错误 3：递推公式的项数

递推公式中 $a_n$ 的表达式要正确。

小练习

1. 求数列 1, 3, 5, 7, 9, ... 的通项公式
2. 求数列 2, 4, 8, 16, 32, ... 的通项公式
3. 如果 $a_n = 3n + 2$，求 $a_{10}$
4. 如果 $a_n = n^2$，判断 36 是否是数列的项

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💡 小贴士：求通项公式的关键是"找规律"。多观察、多思考，你会发现数列的规律。记住验证公式是否正确！