傅里叶变换

傅里叶变换是信号处理的基础！理解傅里叶变换，能帮助我们分析信号的频率成分。

什么是傅里叶变换？

傅里叶变换（Fourier Transform）是将函数从时域转换到频域的积分变换。

简单理解

傅里叶变换就像"把信号分解成不同频率的正弦波"：

• 任何信号都可以分解为不同频率的正弦波
• 每个频率分量有不同的振幅和相位
• 通过变换，可以看到信号的频率成分

定义

函数 $f(t)$ 的傅里叶变换：

$F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} dt$

其中：

• $f(t)$ 是时域函数
• $F(\omega)$ 是频域函数
• $\omega$ 是角频率
• $i = \sqrt{-1}$ 是虚数单位

逆变换

傅里叶逆变换（Inverse Fourier Transform）：

$f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{i\omega t} d\omega$

傅里叶变换的性质

线性性质

$\mathcal{F}[af(t) + bg(t)] = aF(\omega) + bG(\omega)$

其中 $\mathcal{F}$ 表示傅里叶变换，$a, b$ 是常数。

时移性质

$\mathcal{F}[f(t - t_0)] = e^{-i\omega t_0} F(\omega)$

时域中的平移对应频域中的相位变化。

频移性质

$\mathcal{F}[e^{i\omega_0 t} f(t)] = F(\omega - \omega_0)$

时域中的调制对应频域中的平移。

尺度变换

$\mathcal{F}[f(at)] = \frac{1}{|a|} F\left(\frac{\omega}{a}\right)$

时域中的压缩对应频域中的扩展。

卷积定理

时域卷积对应频域乘积：

$\mathcal{F}[f(t) * g(t)] = F(\omega) G(\omega)$

频域卷积对应时域乘积：

$\mathcal{F}[f(t) g(t)] = \frac{1}{2\pi} F(\omega) * G(\omega)$

微分性质

$\mathcal{F}[f'(t)] = i\omega F(\omega)$

$\mathcal{F}[f^{(n)}(t)] = (i\omega)^n F(\omega)$

时域中的微分对应频域中的乘法。

积分性质

$\mathcal{F}\left[\int_{-\infty}^{t} f(\tau) d\tau\right] = \frac{F(\omega)}{i\omega} + \pi F(0) \delta(\omega)$

时域中的积分对应频域中的除法。

对称性

如果 $f(t)$ 是实函数，则：

$F(-\omega) = \overline{F(\omega)}$

其中 $\overline{F(\omega)}$ 是 $F(\omega)$ 的共轭。

常见函数的傅里叶变换

矩形脉冲

1 & \text{如果 } |t| < T/2 \\ 0 & \text{如果 } |t| > T/2 \end{cases}$$ $$F(\omega) = T \frac{\sin(\omega T/2)}{\omega T/2} = T \text{sinc}\left(\frac{\omega T}{2}\right)$$ ### 高斯函数 $$f(t) = e^{-at^2} \quad (a > 0)$$ $$F(\omega) = \sqrt{\frac{\pi}{a}} e^{-\omega^2/(4a)}$$ ### 指数衰减函数 $$f(t) = e^{-at} u(t) \quad (a > 0)$$ 其中 $u(t)$ 是单位阶跃函数。 $$F(\omega) = \frac{1}{a + i\omega}$$ ### 正弦函数 $$f(t) = \sin(\omega_0 t)$$ $$F(\omega) = \frac{\pi}{i} [\delta(\omega - \omega_0) - \delta(\omega + \omega_0)]$$ 其中 $\delta(\omega)$ 是狄拉克δ函数。 ### 余弦函数 $$f(t) = \cos(\omega_0 t)$$ $$F(\omega) = \pi [\delta(\omega - \omega_0) + \delta(\omega + \omega_0)]$$ ## 离散傅里叶变换（DFT） ### 定义 对于离散序列 $x[n]$（$n = 0, 1, 2, \ldots, N-1$），**离散傅里叶变换**： $$X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-i 2\pi kn/N} \quad (k = 0, 1, 2, \ldots, N-1)$$ ### 逆变换 $$x[n] = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] e^{i 2\pi kn/N} \quad (n = 0, 1, 2, \ldots, N-1)$$ ## 傅里叶变换的应用 ### 信号处理 - 📡 **信号分析**：分析信号的频率成分 - 🔊 **滤波**：设计滤波器，去除噪声 - 📺 **压缩**：压缩音频和视频信号 ### 图像处理 - 🖼️ **图像分析**：分析图像的频率特征 - 🎨 **图像增强**：增强图像的某些频率成分 - 🔍 **图像压缩**：压缩图像数据 ### 通信工程 - 📻 **调制**：调制信号 - 📡 **解调**：解调信号 - 🔐 **编码**：编码和解码信号 ### 物理 - ⚡ **波动分析**：分析波动现象 - 🔬 **量子力学**：分析波函数 - 🌊 **光学**：分析光的传播 ## 生活中的应用 ### 音频处理 - 🎵 **音乐分析**：分析音乐的频率成分 - 🔊 **降噪**：去除音频中的噪声 - 🎤 **语音识别**：识别语音信号 ### 医学 - 🏥 **医学成像**：MRI、CT 等医学成像 - 💊 **信号分析**：分析生理信号（心电图、脑电图） ### 科学 - 🔬 **光谱分析**：分析光谱 - 📊 **数据分析**：分析实验数据 ## 常见错误 ### 错误 1：变换公式使用错误 要正确使用傅里叶变换的定义，注意积分区间和核函数。 ### 错误 2：性质应用错误 要正确应用傅里叶变换的性质，注意条件。 ### 错误 3：离散和连续混淆 要区分连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。 ## 小练习 1. 求函数 $f(t) = e^{-|t|}$ 的傅里叶变换 2. 利用时移性质，求 $f(t - t_0)$ 的傅里叶变换 3. 利用卷积定理，计算两个矩形脉冲的卷积 4. 应用题：在音频处理中，如何用傅里叶变换分析音频信号的频率成分？ --- > 💡 **小贴士**：傅里叶变换是将函数从时域转换到频域的积分变换。记住：时域卷积对应频域乘积，时域微分对应频域乘法。掌握傅里叶变换，你就能分析信号的频率成分！