傅里叶级数

傅里叶级数是分析周期函数的重要工具！理解傅里叶级数，能帮助我们理解信号处理和波动现象。

什么是傅里叶级数？

傅里叶级数（Fourier Series）是将周期函数分解为一系列正弦和余弦函数的和。

简单理解

傅里叶级数就像"用正弦波组合成任意波形"：

• 任何周期函数都可以用正弦和余弦函数的和表示
• 每个正弦/余弦函数有不同的频率和振幅
• 通过叠加这些函数，可以重建原函数

历史背景

傅里叶级数由法国数学家约瑟夫·傅里叶（Joseph Fourier）在 19 世纪初提出，用于解决热传导问题。

傅里叶级数的定义

周期函数

周期函数是满足 $f(x + T) = f(x)$ 的函数，其中 $T$ 是周期。

傅里叶级数展开

如果 $f(x)$ 是周期为 $2\pi$ 的函数，则其傅里叶级数：

$$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} [a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)]$$

其中：

$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx$

$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) dx \quad (n = 1, 2, 3, \ldots)$

$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) dx \quad (n = 1, 2, 3, \ldots)$

一般周期

如果 $f(x)$ 是周期为 $2L$ 的函数，则其傅里叶级数：

$$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left[a_n \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) + b_n \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\right]$$

其中：

$a_0 = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) dx$

$a_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) dx \quad (n = 1, 2, 3, \ldots)$

$b_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) dx \quad (n = 1, 2, 3, \ldots)$

傅里叶级数的性质

奇函数和偶函数

奇函数

如果 $f(x)$ 是奇函数（$f(-x) = -f(x)$），则：

• $a_n = 0$（所有 $n$）
• 只有正弦项：$f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin(nx)$

偶函数

如果 $f(x)$ 是偶函数（$f(-x) = f(x)$），则：

• $b_n = 0$（所有 $n$）
• 只有余弦项：$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos(nx)$

例子

例子：方波函数

$$f(x) = \begin{cases} 1 & \text{如果 } 0 < x < \pi \\ -1 & \text{如果 } -\pi < x < 0 \end{cases}$$

这是一个奇函数，周期为 $2\pi$。

计算系数：

• $a_n = 0$（因为是奇函数）
• $b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) dx = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} \sin(nx) dx = \frac{2}{n\pi}[1 - (-1)^n]$

如果 $n$ 是奇数，$b_n = \frac{4}{n\pi}$；如果 $n$ 是偶数，$b_n = 0$。

傅里叶级数：

$$f(x) = \frac{4}{\pi} \left[\sin x + \frac{\sin(3x)}{3} + \frac{\sin(5x)}{5} + \cdots\right]$$

复指数形式

欧拉公式

$$e^{ix} = \cos x + i\sin x$$

其中 $i = \sqrt{-1}$ 是虚数单位。

傅里叶级数的复指数形式

$$f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{inx}$$

其中：

$c_n = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) e^{-inx} dx$

傅里叶级数的收敛性

狄利克雷条件

如果函数 $f(x)$ 满足狄利克雷条件：

1. 在一个周期内只有有限个间断点
2. 在一个周期内只有有限个极值点
3. 在一个周期内绝对可积

则其傅里叶级数收敛，且在连续点收敛到 $f(x)$，在间断点收敛到左右极限的平均值。

傅里叶级数的应用

信号处理

• 📡 信号分析：分析周期信号
• 🔊 音频处理：处理音频信号
• 📺 图像处理：处理图像信号

物理

• ⚡ 波动分析：分析波动现象
• 🔬 量子力学：分析波函数

工程

• 🏗️ 振动分析：分析振动系统
• ⚙️ 控制系统：分析控制系统

傅里叶变换

简介

傅里叶变换（Fourier Transform）是傅里叶级数在非周期函数上的推广。

定义

函数 $f(x)$ 的傅里叶变换：

$F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-i\omega x} dx$

逆变换

$f(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{i\omega x} d\omega$

生活中的应用

通信

• 📡 信号传输：传输和处理信号
• 📻 无线电：调制和解调信号

医学

• 🏥 医学成像：MRI、CT 等医学成像
• 💊 信号分析：分析生理信号

科学

• 🔬 光谱分析：分析光谱
• 📊 数据分析：分析实验数据

常见错误

错误 1：周期确定错误

要正确确定函数的周期。

错误 2：系数计算错误

要仔细计算傅里叶系数，注意积分区间。

错误 3：收敛性判断错误

要正确判断傅里叶级数的收敛性。

小练习

1. 求函数 $f(x) = x$（$-\pi < x < \pi$）的傅里叶级数
2. 如果 $f(x)$ 是周期为 $2\pi$ 的偶函数，$f(x) = x^2$（$-\pi < x < \pi$），求其傅里叶级数
3. 写出方波函数的傅里叶级数前 3 项
4. 应用题：在信号处理中，如何用傅里叶级数分析周期信号？

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💡 小贴士：傅里叶级数是将周期函数分解为正弦和余弦函数的和。记住：奇函数只有正弦项，偶函数只有余弦项。掌握傅里叶级数，你就能分析周期信号和波动现象！