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斐波那契数列

斐波那契数列是最著名的数列之一！它在自然界、艺术、计算机科学等领域都有广泛应用。

什么是斐波那契数列？​

斐波那契数列（Fibonacci Sequence）是一个特殊的递推数列。

定义​

递推公式：

  • a1=1a_1 = 1
  • a2=1a_2 = 1
  • an=an−1+an−2a_n = a_{n-1} + a_{n-2}（n≥3n \geq 3）

特点：从第 3 项开始，每一项都等于前两项的和。

数列​

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

计算过程：

  • a1=1a_1 = 1
  • a2=1a_2 = 1
  • a3=a1+a2=1+1=2a_3 = a_1 + a_2 = 1 + 1 = 2
  • a4=a2+a3=1+2=3a_4 = a_2 + a_3 = 1 + 2 = 3
  • a5=a3+a4=2+3=5a_5 = a_3 + a_4 = 2 + 3 = 5
  • a6=a4+a5=3+5=8a_6 = a_4 + a_5 = 3 + 5 = 8
  • …\ldots

通项公式​

比奈公式​

斐波那契数列的通项公式（比奈公式）：

an=φn−(1−φ)n5a_n = \frac{\varphi^n - (1-\varphi)^n}{\sqrt{5}}

其中：

  • φ=1+52≈1.618\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.618（黄金比例）
  • (1−φ)=1−52≈−0.618(1-\varphi) = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \approx -0.618

简化形式​

当 nn 很大时，可以近似为：

an≈φn5a_n \approx \frac{\varphi^n}{\sqrt{5}}

例子​

求第 10 项：

  • a10≈φ105≈1.618102.236≈55a_{10} \approx \frac{\varphi^{10}}{\sqrt{5}} \approx \frac{1.618^{10}}{2.236} \approx 55

斐波那契数列的性质​

性质 1：相邻两项的比​

相邻两项的比逐渐接近黄金比例：

  • a2a1=11=1\frac{a_2}{a_1} = \frac{1}{1} = 1
  • a3a2=21=2\frac{a_3}{a_2} = \frac{2}{1} = 2
  • a4a3=32=1.5\frac{a_4}{a_3} = \frac{3}{2} = 1.5
  • a5a4=53≈1.667\frac{a_5}{a_4} = \frac{5}{3} \approx 1.667
  • a6a5=85=1.6\frac{a_6}{a_5} = \frac{8}{5} = 1.6
  • a7a6=138=1.625\frac{a_7}{a_6} = \frac{13}{8} = 1.625
  • …\ldots
  • 当 n→∞n \to \infty 时，an+1an→φ≈1.618\frac{a_{n+1}}{a_n} \to \varphi \approx 1.618

性质 2：前 n 项和​

Sn=a1+a2+⋯+an=an+2−1S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n = a_{n+2} - 1

例子：

  • 前 5 项和：1+1+2+3+5=121 + 1 + 2 + 3 + 5 = 12
  • 验证：a7−1=13−1=12a_7 - 1 = 13 - 1 = 12 ✓

性质 3：平方和​

a12+a22+⋯+an2=an×an+1a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2 = a_n \times a_{n+1}

例子：

  • 12+12+22+32=1+1+4+9=151^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2 = 1 + 1 + 4 + 9 = 15
  • 验证：a4×a5=3×5=15a_4 \times a_5 = 3 \times 5 = 15 ✓

性质 4：卡西尼恒等式​

an+1×an−1−an2=(−1)na_{n+1} \times a_{n-1} - a_n^2 = (-1)^n

例子：

  • a4×a2−a32=3×1−22=3−4=−1=(−1)3a_4 \times a_2 - a_3^2 = 3 \times 1 - 2^2 = 3 - 4 = -1 = (-1)^3 ✓

自然界中的斐波那契数列​

植物​

  • 🌻 向日葵：花盘中的种子排列成斐波那契螺旋
  • 🌿 树叶排列：许多植物的叶子排列遵循斐波那契数列
  • 🌲 树枝分叉：树木的分叉模式

动物​

  • 🐚 贝壳：许多贝壳的螺旋形状
  • 🐝 蜜蜂：雄蜂的家谱
  • 🐰 兔子繁殖：经典的兔子繁殖问题

人体​

  • 👤 人体比例：某些身体比例接近黄金比例
  • 🖐️ 手指关节：手指关节的长度比例

艺术中的斐波那契数列​

绘画​

  • 🎨 构图：许多名画使用黄金比例构图
  • 📐 比例：建筑和雕塑中的比例关系

音乐​

  • 🎵 节奏：某些音乐节奏模式
  • 🎹 音阶：音阶的某些关系

计算机科学中的应用​

算法​

  • 💻 递归算法：经典的递归例子
  • 🔢 动态规划：优化问题的求解
  • 🌳 数据结构：某些树结构的性质

例子：计算斐波那契数​

递归方法（效率低）：

def fib(n):
    if n <= 2:
        return 1
    return fib(n-1) + fib(n-2)

迭代方法（效率高）：

def fib(n):
    a, b = 1, 1
    for i in range(3, n+1):
        a, b = b, a + b
    return b

生活中的应用​

金融​

  • 💰 投资策略：某些投资策略使用斐波那契数列
  • 📈 技术分析：股票技术分析中的斐波那契回调

设计​

  • 🎨 网页设计：布局和比例
  • 📱 UI设计：界面元素的大小和间距

小练习​

  1. 计算斐波那契数列的前 10 项
  2. 求斐波那契数列前 8 项的和
  3. 验证：a6×a8−a72=(−1)7a_6 \times a_8 - a_7^2 = (-1)^7
  4. 应用题：一对兔子每月生一对小兔，小兔两个月后开始生兔，求第 12 个月有多少对兔子？

💡 小贴士：斐波那契数列是"每一项等于前两项和"的数列。它在自然界和艺术中无处不在，是数学与美的完美结合！