斐波那契数列

斐波那契数列是最著名的数列之一！它在自然界、艺术、计算机科学等领域都有广泛应用。

什么是斐波那契数列？

斐波那契数列（Fibonacci Sequence）是一个特殊的递推数列。

定义

递推公式：

• $a_1 = 1$
• $a_2 = 1$
• $a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$（$n \geq 3$）

特点：从第 3 项开始，每一项都等于前两项的和。

数列

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

计算过程：

• $a_1 = 1$
• $a_2 = 1$
• $a_3 = a_1 + a_2 = 1 + 1 = 2$
• $a_4 = a_2 + a_3 = 1 + 2 = 3$
• $a_5 = a_3 + a_4 = 2 + 3 = 5$
• $a_6 = a_4 + a_5 = 3 + 5 = 8$
• $\ldots$

通项公式

比奈公式

斐波那契数列的通项公式（比奈公式）：

$$a_n = \frac{\varphi^n - (1-\varphi)^n}{\sqrt{5}}$$

其中：

• $\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.618$（黄金比例）
• $(1-\varphi) = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \approx -0.618$

简化形式

当 $n$ 很大时，可以近似为：

$a_n \approx \frac{\varphi^n}{\sqrt{5}}$

例子

求第 10 项：

• $a_{10} \approx \frac{\varphi^{10}}{\sqrt{5}} \approx \frac{1.618^{10}}{2.236} \approx 55$

斐波那契数列的性质

性质 1：相邻两项的比

相邻两项的比逐渐接近黄金比例：

• $\frac{a_2}{a_1} = \frac{1}{1} = 1$
• $\frac{a_3}{a_2} = \frac{2}{1} = 2$
• $\frac{a_4}{a_3} = \frac{3}{2} = 1.5$
• $\frac{a_5}{a_4} = \frac{5}{3} \approx 1.667$
• $\frac{a_6}{a_5} = \frac{8}{5} = 1.6$
• $\frac{a_7}{a_6} = \frac{13}{8} = 1.625$
• $\ldots$
• 当 $n \to \infty$ 时，$\frac{a_{n+1}}{a_n} \to \varphi \approx 1.618$

性质 2：前 n 项和

$S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n = a_{n+2} - 1$

例子：

• 前 5 项和：$1 + 1 + 2 + 3 + 5 = 12$
• 验证：$a_7 - 1 = 13 - 1 = 12$ ✓

性质 3：平方和

$a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2 = a_n \times a_{n+1}$

例子：

• $1^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2 = 1 + 1 + 4 + 9 = 15$
• 验证：$a_4 \times a_5 = 3 \times 5 = 15$ ✓

性质 4：卡西尼恒等式

$a_{n+1} \times a_{n-1} - a_n^2 = (-1)^n$

例子：

• $a_4 \times a_2 - a_3^2 = 3 \times 1 - 2^2 = 3 - 4 = -1 = (-1)^3$ ✓

自然界中的斐波那契数列

植物

• 🌻 向日葵：花盘中的种子排列成斐波那契螺旋
• 🌿 树叶排列：许多植物的叶子排列遵循斐波那契数列
• 🌲 树枝分叉：树木的分叉模式

动物

• 🐚 贝壳：许多贝壳的螺旋形状
• 🐝 蜜蜂：雄蜂的家谱
• 🐰 兔子繁殖：经典的兔子繁殖问题

人体

• 👤 人体比例：某些身体比例接近黄金比例
• 🖐️ 手指关节：手指关节的长度比例

艺术中的斐波那契数列

绘画

• 🎨 构图：许多名画使用黄金比例构图
• 📐 比例：建筑和雕塑中的比例关系

音乐

• 🎵 节奏：某些音乐节奏模式
• 🎹 音阶：音阶的某些关系

计算机科学中的应用

算法

• 💻 递归算法：经典的递归例子
• 🔢 动态规划：优化问题的求解
• 🌳 数据结构：某些树结构的性质

例子：计算斐波那契数

递归方法（效率低）：

def fib(n):
    if n <= 2:
        return 1
    return fib(n-1) + fib(n-2)

迭代方法（效率高）：

def fib(n):
    a, b = 1, 1
    for i in range(3, n+1):
        a, b = b, a + b
    return b

生活中的应用

金融

• 💰 投资策略：某些投资策略使用斐波那契数列
• 📈 技术分析：股票技术分析中的斐波那契回调

设计

• 🎨 网页设计：布局和比例
• 📱 UI设计：界面元素的大小和间距

小练习

1. 计算斐波那契数列的前 10 项
2. 求斐波那契数列前 8 项的和
3. 验证：$a_6 \times a_8 - a_7^2 = (-1)^7$
4. 应用题：一对兔子每月生一对小兔，小兔两个月后开始生兔，求第 12 个月有多少对兔子？

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💡 小贴士：斐波那契数列是"每一项等于前两项和"的数列。它在自然界和艺术中无处不在，是数学与美的完美结合！