指数函数
指数函数描述指数增长和指数衰减，在人口增长、放射性衰变、复利计算等领域应用广泛！
什么是指数函数？
指数函数是形如 y = aˣ（a > 0 且 a ≠ 1）的函数。
其中：
- a：底数（必须大于 0 且不等于 1）
- x：指数（自变量）
- y：函数值（因变量）
特殊形式：
- 当 a = e（自然常数）时，y = eˣ，叫做自然指数函数
- 当 a = 10 时，y = 10ˣ，叫做常用指数函数
指数函数的图像
图像特征
指数函数的图像是一条曲线，经过点 (0, 1)。
图像的位置
- a > 1：图像从左到右上升（指数增长）
- 0 < a < 1：图像从左到右下降（指数衰减）
渐近线
- x 轴（y = 0）是水平渐近线
- 图像永远在 x 轴上方（y > 0）
如何画指数函数的图像？
方法：描点法
- 列出一些 x 和对应的 y 值
- 在坐标系中标出这些点
- 用平滑曲线连接这些点
- 注意图像经过点 (0, 1)
例子 1：y = 2ˣ
| x | y = 2ˣ |
|---|---|
| -2 | 1/4 |
| -1 | 1/2 |
| 0 | 1 |
| 1 | 2 |
| 2 | 4 |
| 3 | 8 |
例子 2：y = (1/2)ˣ
| x | y = (1/2)ˣ |
|---|---|
| -3 | 8 |
| -2 | 4 |
| -1 | 2 |
| 0 | 1 |
| 1 | 1/2 |
| 2 | 1/4 |
指数函数的性质
定义域和值域
- 定义域：所有实数 (-∞, +∞)
- 值域：(0, +∞)（y 总是正数）
单调性
- a > 1：单调递增（指数增长）
- 0 < a < 1：单调递减（指数衰减）
特殊点
- 经过点 (0, 1)：a⁰ = 1
- 当 x → -∞ 时，y → 0
- 当 x → +∞ 时：
- 如果 a > 1：y → +∞
- 如果 0 < a < 1：y → 0
指数运算法则
- aˣ × aʸ = aˣ⁺ʸ（同底数幂相乘）
- aˣ ÷ aʸ = aˣ⁻ʸ（同底数幂相除）
- (aˣ)ʸ = aˣʸ（幂的幂）
- (ab)ˣ = aˣbˣ（积的幂）
生活中的应用
人口增长
- 👥 人口按固定比例增长
- 如果每年增长 r%，t 年后人口是：P = P₀(1 + r)ᵗ
- 这是指数增长（底数 > 1）
放射性衰变
- ☢️ 放射性物质按固定比例衰变
- 如果半衰期是 T，t 时间后剩余量是：N = N₀(1/2)^(t/T)
- 这是指数衰减（底数 < 1）
复利计算
- 💰 银行存款按复利计算
- 本金 P，年利率 r，t 年后本息和：A = P(1 + r)ᵗ
- 这是指数增长
细菌繁殖
- 🦠 细菌按固定倍数繁殖
- 如果每 1 小时翻倍，t 小时后数量是：N = N₀ × 2ᵗ
- 这是指数增长
自然指数函数
e 的引入
自然常数 e ≈ 2.71828...，是一个重要的数学常数。
自然指数函数：y = eˣ
e 的重要性
- e 在微积分中非常重要
- 许多自然现象可以用 eˣ 描述
- e 是唯一使得导数等于自身的指数函数的底数
指数函数与对数函数
指数函数 y = aˣ 和对数函数 y = logₐx 是反函数关系：
- 如果 y = aˣ，则 x = logₐy
- 如果 y = logₐx，则 x = aʸ
它们的图像关于直线 y = x 对称。
常见错误
错误 1：底数 a ≤ 0 或 a = 1
❌ 错误：y = (-2)ˣ 是指数函数
✅ 正确：底数必须 > 0 且 ≠ 1
错误 2：值域错误
❌ 错误：指数函数的值域是所有实数
✅ 正确：指数函数的值域是 (0, +∞)
错误 3：混淆指数增长和指数衰减
- a > 1：增长
- 0 < a < 1：衰减
小练习
- 画出函数 y = 3ˣ 的图像
- 比较 y = 2ˣ 和 y = (1/2)ˣ 的图像
- 如果人口每年增长 2%，10 年后人口是原来的多少倍？
- 应用题：银行存款 1000 元，年利率 5%，按复利计算，5 年后本息和是多少？
💡 小贴士：指数函数描述"快速增长"或"快速衰减"的过程。记住 a > 1 是增长，0 < a < 1 是衰减，图像永远在 x 轴上方！
