事件的基本概念

事件是概率论的基础！理解事件的概念，是学习概率的关键。

什么是事件？

事件（Event）是样本空间的子集，是随机试验结果的集合。

简单理解

事件就像"我们关心的事情"：

• 是样本空间的一部分
• 可能发生，也可能不发生
• 用集合表示

例子

例子 1：掷骰子

• 样本空间：$\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$
• 事件 $A$：点数为偶数 = $\{2, 4, 6\}$
• 事件 $B$：点数大于 3 = $\{4, 5, 6\}$

事件的分类

基本事件

基本事件（Elementary Event）是只包含一个样本点的事件。

例子：掷骰子

• 基本事件：$\{1\}$，$\{2\}$，$\{3\}$，$\{4\}$，$\{5\}$，$\{6\}$

复合事件

复合事件（Compound Event）是包含多个样本点的事件。

例子：掷骰子

• 复合事件：点数为偶数 = $\{2, 4, 6\}$

必然事件

必然事件（Certain Event）是每次试验都发生的事件，等于样本空间 $\Omega$。

例子：掷骰子

• 必然事件：点数在 1 到 6 之间 = $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\} = \Omega$

不可能事件

不可能事件（Impossible Event）是每次试验都不发生的事件，等于空集 $\emptyset$。

例子：掷骰子

• 不可能事件：点数大于 6 = $\emptyset$

事件的关系

包含关系

如果事件 $A$ 的每个样本点都在事件 $B$ 中，则 $A$ 包含于 $B$，记作 $A \subseteq B$。

性质：如果 $A \subseteq B$，则 $P(A) \le P(B)$。

相等关系

如果 $A \subseteq B$ 且 $B \subseteq A$，则 $A = B$。

对立事件

对立事件（Complementary Event）是事件 $A$ 的补集，记作 $\bar{A}$ 或 $A^c$。

$$\bar{A} = \Omega - A$$

性质：

• $A \cup \bar{A} = \Omega$
• $A \cap \bar{A} = \emptyset$
• $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$

例子：掷骰子

• 事件 $A$：点数为偶数 = $\{2, 4, 6\}$
• 对立事件 $\bar{A}$：点数不是偶数 = $\{1, 3, 5\}$

事件的运算

并（和）

事件的并（Union）是事件 $A$ 或 $B$ 发生，记作 $A \cup B$。

$$A \cup B = \{x | x \in A \text{ 或 } x \in B\}$$

例子：掷骰子

• 事件 $A$：点数为偶数 = $\{2, 4, 6\}$
• 事件 $B$：点数大于 3 = $\{4, 5, 6\}$
• $A \cup B$：点数为偶数或大于 3 = $\{2, 4, 5, 6\}$

交（积）

事件的交（Intersection）是事件 $A$ 和 $B$ 同时发生，记作 $A \cap B$ 或 $AB$。

$$A \cap B = \{x | x \in A \text{ 且 } x \in B\}$$

例子：掷骰子

• 事件 $A$：点数为偶数 = $\{2, 4, 6\}$
• 事件 $B$：点数大于 3 = $\{4, 5, 6\}$
• $A \cap B$：点数为偶数且大于 3 = $\{4, 6\}$

差

事件的差（Difference）是事件 $A$ 发生但 $B$ 不发生，记作 $A - B$。

$$A - B = \{x | x \in A \text{ 且 } x \notin B\}$$

例子：掷骰子

• 事件 $A$：点数为偶数 = $\{2, 4, 6\}$
• 事件 $B$：点数大于 3 = $\{4, 5, 6\}$
• $A - B$：点数为偶数但不大于 3 = $\{2\}$

互不相容事件

定义

互不相容事件（Mutually Exclusive Events）是不能同时发生的事件，即 $A \cap B = \emptyset$。

例子

例子：掷骰子

• 事件 $A$：点数为 1 = $\{1\}$
• 事件 $B$：点数为 2 = $\{2\}$
• $A \cap B = \emptyset$，所以 $A$ 和 $B$ 互不相容

性质

如果 $A$ 和 $B$ 互不相容，则：

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$

互斥事件

互斥事件（Mutually Exclusive Events）就是互不相容事件，即 $A \cap B = \emptyset$。

生活中的应用

游戏

• 🎲 游戏设计：设计游戏中的事件
• 🎰 博彩：分析博彩中的事件

决策

• 💼 商业决策：分析商业中的事件
• 🏥 医学诊断：分析诊断中的事件

常见错误

错误 1：事件和样本点混淆

• 样本点：随机试验的一个结果
• 事件：样本点的集合

错误 2：互不相容和对立混淆

• 互不相容：$A \cap B = \emptyset$
• 对立：$A \cap B = \emptyset$ 且 $A \cup B = \Omega$

错误 3：并和交混淆

• 并：$A$ 或 $B$ 发生
• 交：$A$ 和 $B$ 同时发生

小练习

1. 掷骰子，定义事件 $A$：点数为偶数，事件 $B$：点数大于 3，求 $A \cup B$ 和 $A \cap B$
2. 如果事件 $A$ 和 $B$ 互不相容，且 $P(A) = 0.3$，$P(B) = 0.5$，求 $P(A \cup B)$
3. 如果 $P(A) = 0.6$，求 $P(\bar{A})$
4. 应用题：一个袋子里有 5 个红球和 3 个蓝球，定义事件 $A$：抽到红球，事件 $B$：抽到蓝球，判断 $A$ 和 $B$ 的关系

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💡 小贴士：事件是样本空间的子集。记住：$A \cup B$ 是"或"，$A \cap B$ 是"且"，$\bar{A}$ 是"非"。掌握事件的关系和运算，你就能分析概率问题！