方程的应用
方程不仅是数学工具，更是解决实际问题的强大武器！让我们看看如何用方程解决生活中的各种问题。
用方程解决问题的步骤
基本步骤：
- 理解问题：仔细阅读，找出已知条件和未知数
- 设未知数：用字母表示未知数（通常用 x、y、z）
- 建立方程：根据问题中的等量关系列出方程
- 解方程：运用所学方法求解
- 检验答案：检查答案是否符合实际意义
- 写出答案：用完整的语言回答
应用类型
类型 1：数量问题
例子 1：和差问题
问题：两个数的和是 15，差是 3，求这两个数。
解法：
- 设较小的数是 x，较大的数是 y
- 根据题意：
{
x + y = 15
y - x = 3
} - 解方程组：
- 两式相加：2y = 18，所以 y = 9
- 代入：x + 9 = 15，所以 x = 6
- 检验：6 + 9 = 15 ✓，9 - 6 = 3 ✓
- 答：这两个数是 6 和 9
例子 2：倍数问题
问题：一个数的 3 倍加 5 等于 20，求这个数。
解法：
- 设这个数是 x
- 根据题意：3x + 5 = 20
- 解方程：3x = 15，所以 x = 5
- 检验：3×5 + 5 = 15 + 5 = 20 ✓
- 答：这个数是 5
类型 2：年龄问题
例子
问题：小明今年 12 岁，5 年后小明的年龄是爷爷年龄的一半。爷爷今年多少岁？
解法：
- 设爷爷今年 x 岁
- 5 年后：
- 小明：12 + 5 = 17 岁
- 爷爷：x + 5 岁
- 根据题意：17 = (x + 5)/2
- 解方程：
17 = (x + 5)/2
34 = x + 5
x = 29 - 检验：5 年后爷爷 34 岁，小明 17 岁，17 = 34/2 ✓
- 答：爷爷今年 29 岁
类型 3：行程问题
例子 1：相遇问题
问题：A、B 两地相距 100 公里，甲从 A 地出发，乙从 B 地出发，相向而行。甲的速度是 30 公里/小时，乙的速度是 20 公里/小时，几小时后相遇？
解法：
- 设 t 小时后相遇
- 根据题意：
- 甲走的路程：30t 公里
- 乙走的路程：20t 公里
- 总路程：30t + 20t = 100
- 解方程：50t = 100，所以 t = 2
- 检验：甲走 30×2 = 60 公里，乙走 20×2 = 40 公里，60 + 40 = 100 ✓
- 答：2 小时后相遇
例子 2：追及问题
问题 ：甲在乙后面 50 米，甲的速度是 5 米/秒，乙的速度是 3 米/秒，甲多久能追上乙？
解法：
- 设 t 秒后甲追上乙
- 根据题意：
- 甲走的路程：5t 米
- 乙走的路程：3t 米
- 追及关系：5t = 3t + 50
- 解方程：2t = 50，所以 t = 25
- 检验：甲走 5×25 = 125 米，乙走 3×25 = 75 米，125 - 75 = 50 ✓
- 答：25 秒后甲追上乙
类型 4：工程问题
例子
问题：一项工程，甲单独完成需要 10 天，乙单独完成需要 15 天。两人合作需要多少天？
解法：
- 设合作需要 x 天
- 根据题意：
- 甲的工作效率：1/10
- 乙的工作效率：1/15
- 合作效率：1/10 + 1/15 = 3/30 + 2/30 = 5/30 = 1/6
- 工作量：1（整个工程）
- 方程：(1/6)x = 1
- 解方程：x = 6
- 检验：甲完成 6/10，乙完成 6/15，总共 6/10 + 6/15 = 18/30 + 12/30 = 30/30 = 1 ✓
- 答：两人合作需要 6 天
类型 5：经济问题
例子 1：利润问题
问题：商品进价 50 元，售价 x 元，卖出 100 件，总利润 2000 元。求售价。
解法：
- 设售价是 x 元
- 根据题意：
- 每件利润：x - 50 元
- 总利润：100(x - 50) = 2000
- 解方程：
100(x - 50) = 2000
x - 50 = 20
x = 70 - 检验：每件利润 70 - 50 = 20 元，100 件总利润 2000 元 ✓
- 答：售价是 70 元
例子 2：折扣问题
问题：商品原价 100 元，打 x 折后售价 80 元。求折扣。
解法：
- 设折扣是 x 折（即 x/10）
- 根据题意：100 × (x/10) = 80
- 解方程：10x = 80，所以 x = 8
- 检验：100 × 0.8 = 80 ✓
- 答：打 8 折
类型 6：几何问题
例子
问题：长方形的长比宽多 3 米，周长是 26 米。求长和宽。
解法：
- 设宽是 x 米，长是 x + 3 米
- 根据题意：2(x + x + 3) = 26
- 解方程：
2(2x + 3) = 26
4x + 6 = 26
4x = 20
x = 5 - 所以宽是 5 米，长是 8 米
- 检验：周长 = 2(5 + 8) = 2×13 = 26 ✓
- 答：长是 8 米，宽是 5 米
解题技巧
技巧 1：画图帮助理解
对于行程问题、几何问题，画图能帮助理解题意。
技巧 2：列表整理信息
对于复杂问题，用表格整理已知条件和未知数。
技巧 3：注意单位统一
确保所有量的单位一致（如都是米，或都是小时）。
技巧 4：检验实际意义
解出答案后，要检查是否符合实际（如年龄不能为负，时间不能为负等）。
常见错误
错误 1：设未知数不明确
要清楚地说明未知数代表什么。
错误 2：等量关系找错
要仔细分析问题中的等量关系。
错误 3：忘记检验
解完后要检验答案是否符合实际意义。
综合练习
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数量问题：一个数的 2 倍减去 3 等于 15，求这个数。
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年龄问题：父亲今年 40 岁，儿子今年 12 岁。多少年后，父亲的年龄是儿子的 3 倍？
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行程问题：A、B 两地相距 240 公里，汽车从 A 地到 B 地， 去时速度 60 公里/小时，回时速度 40 公里/小时。求往返的平均速度。
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经济问题：商品进价 80 元，按标价打 8 折出售，仍获利 20%。求标价。
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几何问题：圆的半径增加 2 厘米，面积增加 44π 平方厘米。求原半径。
💡 小贴士：用方程解决问题就像"翻译"——把生活中的语言"翻译"成数学语言（方程），然后"计算"出答案，再"翻译"回生活中的语言。多练习，你就能熟练掌握这个"翻译"技巧！
