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方程的应用

方程不仅是数学工具，更是解决实际问题的强大武器！让我们看看如何用方程解决生活中的各种问题。

用方程解决问题的步骤​

基本步骤：

  1. 理解问题：仔细阅读，找出已知条件和未知数
  2. 设未知数：用字母表示未知数（通常用 x、y、z）
  3. 建立方程：根据问题中的等量关系列出方程
  4. 解方程：运用所学方法求解
  5. 检验答案：检查答案是否符合实际意义
  6. 写出答案：用完整的语言回答

应用类型​

类型 1：数量问题​

例子 1：和差问题​

问题：两个数的和是 15，差是 3，求这两个数。

解法：

  1. 设较小的数是 x，较大的数是 y
  2. 根据题意： 
    {
      x + y = 15
      y - x = 3
    }
  3. 解方程组：
    • 两式相加：2y = 18，所以 y = 9
    • 代入：x + 9 = 15，所以 x = 6
  4. 检验：6 + 9 = 15 ✓，9 - 6 = 3 ✓
  5. 答：这两个数是 6 和 9

例子 2：倍数问题​

问题：一个数的 3 倍加 5 等于 20，求这个数。

解法：

  1. 设这个数是 x
  2. 根据题意：3x + 5 = 20
  3. 解方程：3x = 15，所以 x = 5
  4. 检验：3×5 + 5 = 15 + 5 = 20 ✓
  5. 答：这个数是 5

类型 2：年龄问题​

例子​

问题：小明今年 12 岁，5 年后小明的年龄是爷爷年龄的一半。爷爷今年多少岁？

解法：

  1. 设爷爷今年 x 岁
  2. 5 年后：
    • 小明：12 + 5 = 17 岁
    • 爷爷：x + 5 岁
  3. 根据题意：17 = (x + 5)/2
  4. 解方程： 
    17 = (x + 5)/2
    34 = x + 5
    x = 29
  5. 检验：5 年后爷爷 34 岁，小明 17 岁，17 = 34/2 ✓
  6. 答：爷爷今年 29 岁

类型 3：行程问题​

例子 1：相遇问题​

问题：A、B 两地相距 100 公里，甲从 A 地出发，乙从 B 地出发，相向而行。甲的速度是 30 公里/小时，乙的速度是 20 公里/小时，几小时后相遇？

解法：

  1. 设 t 小时后相遇
  2. 根据题意：
    • 甲走的路程：30t 公里
    • 乙走的路程：20t 公里
    • 总路程：30t + 20t = 100
  3. 解方程：50t = 100，所以 t = 2
  4. 检验：甲走 30×2 = 60 公里，乙走 20×2 = 40 公里，60 + 40 = 100 ✓
  5. 答：2 小时后相遇

例子 2：追及问题​

问题：甲在乙后面 50 米，甲的速度是 5 米/秒，乙的速度是 3 米/秒，甲多久能追上乙？

解法：

  1. 设 t 秒后甲追上乙
  2. 根据题意：
    • 甲走的路程：5t 米
    • 乙走的路程：3t 米
    • 追及关系：5t = 3t + 50
  3. 解方程：2t = 50，所以 t = 25
  4. 检验：甲走 5×25 = 125 米，乙走 3×25 = 75 米，125 - 75 = 50 ✓
  5. 答：25 秒后甲追上乙

类型 4：工程问题​

例子​

问题：一项工程，甲单独完成需要 10 天，乙单独完成需要 15 天。两人合作需要多少天？

解法：

  1. 设合作需要 x 天
  2. 根据题意：
    • 甲的工作效率：1/10
    • 乙的工作效率：1/15
    • 合作效率：1/10 + 1/15 = 3/30 + 2/30 = 5/30 = 1/6
    • 工作量：1（整个工程）
    • 方程：(1/6)x = 1
  3. 解方程：x = 6
  4. 检验：甲完成 6/10，乙完成 6/15，总共 6/10 + 6/15 = 18/30 + 12/30 = 30/30 = 1 ✓
  5. 答：两人合作需要 6 天

类型 5：经济问题​

例子 1：利润问题​

问题：商品进价 50 元，售价 x 元，卖出 100 件，总利润 2000 元。求售价。

解法：

  1. 设售价是 x 元
  2. 根据题意：
    • 每件利润：x - 50 元
    • 总利润：100(x - 50) = 2000
  3. 解方程： 
    100(x - 50) = 2000
    x - 50 = 20
    x = 70
  4. 检验：每件利润 70 - 50 = 20 元，100 件总利润 2000 元 ✓
  5. 答：售价是 70 元

例子 2：折扣问题​

问题：商品原价 100 元，打 x 折后售价 80 元。求折扣。

解法：

  1. 设折扣是 x 折（即 x/10）
  2. 根据题意：100 × (x/10) = 80
  3. 解方程：10x = 80，所以 x = 8
  4. 检验：100 × 0.8 = 80 ✓
  5. 答：打 8 折

类型 6：几何问题​

例子​

问题：长方形的长比宽多 3 米，周长是 26 米。求长和宽。

解法：

  1. 设宽是 x 米，长是 x + 3 米
  2. 根据题意：2(x + x + 3) = 26
  3. 解方程： 
    2(2x + 3) = 26
    4x + 6 = 26
    4x = 20
    x = 5
  4. 所以宽是 5 米，长是 8 米
  5. 检验：周长 = 2(5 + 8) = 2×13 = 26 ✓
  6. 答：长是 8 米，宽是 5 米

解题技巧​

技巧 1：画图帮助理解​

对于行程问题、几何问题，画图能帮助理解题意。

技巧 2：列表整理信息​

对于复杂问题，用表格整理已知条件和未知数。

技巧 3：注意单位统一​

确保所有量的单位一致（如都是米，或都是小时）。

技巧 4：检验实际意义​

解出答案后，要检查是否符合实际（如年龄不能为负，时间不能为负等）。

常见错误​

错误 1：设未知数不明确​

要清楚地说明未知数代表什么。

错误 2：等量关系找错​

要仔细分析问题中的等量关系。

错误 3：忘记检验​

解完后要检验答案是否符合实际意义。

综合练习​

  1. 数量问题：一个数的 2 倍减去 3 等于 15，求这个数。

  2. 年龄问题：父亲今年 40 岁，儿子今年 12 岁。多少年后，父亲的年龄是儿子的 3 倍？

  3. 行程问题：A、B 两地相距 240 公里，汽车从 A 地到 B 地，去时速度 60 公里/小时，回时速度 40 公里/小时。求往返的平均速度。

  4. 经济问题：商品进价 80 元，按标价打 8 折出售，仍获利 20%。求标价。

  5. 几何问题：圆的半径增加 2 厘米，面积增加 44π 平方厘米。求原半径。

💡 小贴士：用方程解决问题就像"翻译"——把生活中的语言"翻译"成数学语言（方程），然后"计算"出答案，再"翻译"回生活中的语言。多练习，你就能熟练掌握这个"翻译"技巧！