数学基础：除法

除法是乘法的"反向操作"，就像把东西平均分配一样。让我们一起来学习除法吧！

什么是除法？

除法是把一个数平均分成几份，或者求一个数里有几个另一个数。

除法的符号是 ÷（除号）或 /（斜杠），读作"除以"或"divided by"。

基本形式

12 ÷ 3 = 4
 ↑   ↑   ↑
被除数 除数 商

• 被除数：被分的数（12）
• 除数：分成几份（3）
• 商：每份是多少（4）

除法的本质

除法就是平均分配：

12 ÷ 3 = 4

理解：把 12 平均分成 3 份，每份是 4。

或者理解为：12 里面有几个 3？答案是 4 个。

除法与乘法的关系

除法是乘法的逆运算：

如果 3 × 4 = 12
那么 12 ÷ 3 = 4
     12 ÷ 4 = 3

理解：

• 乘法：知道每份和份数，求总数
• 除法：知道总数和份数，求每份（或知道总数和每份，求份数）

生活中的除法

平均分配

• 🍎 有 12 个苹果，平均分给 3 个小朋友
  • 每人分到：12 ÷ 3 = 4 个

购物

• 💰 买 3 本书花了 30 元
  • 每本书：30 ÷ 3 = 10 元

速度计算

• 🚗 行驶 120 公里用了 2 小时
  • 速度：120 ÷ 2 = 60 公里/小时

时间计算

• ⏰ 60 分钟等于多少小时？
  • 60 ÷ 60 = 1 小时

除法的计算方法

一位数除法

能整除的情况

12 ÷ 3 = 4
15 ÷ 5 = 3
20 ÷ 4 = 5

方法：想乘法口诀

• 12 ÷ 3 = ? 想：3 × ? = 12，答案是 4

有余数的情况

13 ÷ 3 = 4 ... 1

理解：把 13 平均分成 3 份，每份是 4，还剩 1。

形式：

• 13 ÷ 3 = 4 余 1
• 13 = 3 × 4 + 1

多位数除法（竖式计算）

两位数除以一位数

  24
÷  3
----
   8

步骤：

1. 从被除数的最高位开始
2. 十位：2 ÷ 3 不够，看前两位：24 ÷ 3 = 8
3. 结果：8

有余数的除法

  25
÷  3
----
   8
   1  （余数）

步骤：

1. 25 ÷ 3 = 8 余 1
2. 验证：3 × 8 + 1 = 24 + 1 = 25 ✓

多位数除以两位数

   345
÷   15
-----
    23

步骤：

1. 看被除数的前两位：34 ÷ 15 = 2（商的第一位）
2. 2 × 15 = 30，34 - 30 = 4
3. 把下一位 5 拉下来：45
4. 45 ÷ 15 = 3（商的第二位）
5. 结果：23

小数的除法

移动小数点，使除数变成整数：

12.5 ÷ 2.5 = 125 ÷ 25 = 5

步骤：

1. 把除数和被除数的小数点都向右移动相同位数
2. 12.5 → 125（移动 1 位）
3. 2.5 → 25（移动 1 位）
4. 按整数除法计算：125 ÷ 25 = 5

分数的除法

除以一个分数，等于乘以它的倒数：

1/2 ÷ 1/3 = 1/2 × 3/1 = 3/2

步骤：

1. 把除号变成乘号
2. 把除数变成它的倒数：1/3 的倒数是 3/1 = 3
3. 按分数乘法计算：1/2 × 3 = 3/2

倒数：把分子和分母交换位置

• 1/3 的倒数是 3/1 = 3
• 2/5 的倒数是 5/2

除法的性质

除法的交换律不成立

除法不能交换位置：

12 ÷ 3 = 4
3 ÷ 12 = 1/4  （结果不同！）

注意：除法没有交换律！

1 的性质

任何数除以 1，结果还是这个数：

5 ÷ 1 = 5

任何数除以它自己，结果是 1：

5 ÷ 5 = 1

0 的性质

0 除以任何非零数，结果是 0：

0 ÷ 5 = 0

注意：任何数除以 0 没有意义（不能除以 0）！

5 ÷ 0 = ?  （没有答案！）

理解：0 个东西分成 0 份，没有意义。

除法的技巧

估算

先估算商的范围：

345 ÷ 15 ≈ 350 ÷ 15 ≈ 23
（实际是 23，估算值准确）

分解法

把被除数分解成容易计算的数：

120 ÷ 4 = (100 + 20) ÷ 4 = 100 ÷ 4 + 20 ÷ 4 = 25 + 5 = 30

倍数关系

利用倍数关系快速计算：

120 ÷ 12 = 10  （因为 12 × 10 = 120）

除法的应用

平均分配

• 把总数平均分成几份
• 求每份是多少

求倍数

• 求一个数是另一个数的几倍
• 求一个数里有几个另一个数

速度、单价等

• 速度 = 路程 ÷ 时间
• 单价 = 总价 ÷ 数量
• 工作效率 = 工作量 ÷ 时间

比例问题

• 求比例
• 按比例分配

除法的特殊情况

整除

能整除的情况：

12 ÷ 3 = 4  （没有余数）

有余数

不能整除的情况：

13 ÷ 3 = 4 余 1

小数除法

结果可能是小数：

1 ÷ 2 = 0.5
1 ÷ 3 = 0.333...

分数除法

结果可能是分数：

1 ÷ 3 = 1/3
2 ÷ 5 = 2/5

小练习

1. 计算：12 ÷ 3 = ?
2. 计算：25 ÷ 5 = ?
3. 计算：12.5 ÷ 2.5 = ?
4. 计算：1/2 ÷ 1/4 = ?
5. 应用题：有 24 个苹果，平均分给 6 个小朋友，每人分到几个？

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💡 小贴士：记住"想乘法"是除法的好方法！12 ÷ 3 = ? 想：3 × ? = 12，答案是 4。