微分方程

微分方程是描述变化规律的方程！理解微分方程，能帮助我们解决许多实际问题。

什么是微分方程？

微分方程（Differential Equation）是含有未知函数及其导数的方程。

简单理解

微分方程就像"描述变化的方程"：

• 方程中含有函数的导数
• 通过解方程，可以求出函数
• 用于描述物理、生物、经济等现象

定义

微分方程的一般形式：

$F(x, y, y', y'', \ldots, y^{(n)}) = 0$

其中 $y$ 是未知函数，$y', y'', \ldots, y^{(n)}$ 是 $y$ 的各阶导数。

例子

例子 1：$y' = 2x$

• 这是一个一阶微分方程
• 解：$y = x^2 + C$（$C$ 是常数）

例子 2：$y'' + y = 0$

• 这是一个二阶微分方程
• 解：$y = C_1 \sin x + C_2 \cos x$（$C_1, C_2$ 是常数）

微分方程的分类

按阶数分类

• 一阶微分方程：最高阶导数是 $y'$
• 二阶微分方程：最高阶导数是 $y''$
• n 阶微分方程：最高阶导数是 $y^{(n)}$

按类型分类

常微分方程

常微分方程（Ordinary Differential Equation，ODE）是只含有一个自变量的微分方程。

例子：$y' = 2x$，$y'' + y = 0$

偏微分方程

偏微分方程（Partial Differential Equation，PDE）是含有多个自变量的微分方程。

例子：$\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$（热方程）

线性微分方程

线性微分方程是未知函数及其导数都是一次的微分方程。

一般形式：

$a_n(x)y^{(n)} + a_{n-1}(x)y^{(n-1)} + \cdots + a_1(x)y' + a_0(x)y = f(x)$

例子：$y'' + 2y' + y = 0$

非线性微分方程

非线性微分方程不是线性微分方程的微分方程。

例子：$y' = y^2$

一阶微分方程

可分离变量方程

可分离变量方程的形式：

$\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$

解法：分离变量后积分

$\int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x) dx$

例子：$\frac{dy}{dx} = xy$

• 分离变量：$\frac{dy}{y} = x dx$
• 积分：$\int \frac{dy}{y} = \int x dx$
• $\ln |y| = \frac{x^2}{2} + C$
• $y = Ce^{x^2/2}$（$C$ 是常数）

齐次方程

齐次方程的形式：

$\frac{dy}{dx} = f\left(\frac{y}{x}\right)$

解法：设 $u = \frac{y}{x}$，则 $y = ux$，$y' = u + xu'$。

线性方程

一阶线性微分方程的形式：

$y' + P(x)y = Q(x)$

解法：使用积分因子

$\mu(x) = e^{\int P(x) dx}$

$y = \frac{1}{\mu(x)} \int \mu(x) Q(x) dx$

例子：$y' + 2y = e^x$

• $P(x) = 2$，$Q(x) = e^x$
• 积分因子：$\mu(x) = e^{\int 2 dx} = e^{2x}$
• $y = e^{-2x} \int e^{2x} \cdot e^x dx = e^{-2x} \int e^{3x} dx = e^{-2x} \cdot \frac{e^{3x}}{3} + C = \frac{e^x}{3} + Ce^{-2x}$

二阶线性微分方程

齐次方程

二阶线性齐次微分方程的形式：

$y'' + py' + qy = 0$

其中 $p, q$ 是常数。

特征方程：

$r^2 + pr + q = 0$

解法：

1. 求特征方程的根 $r_1, r_2$
2. 根据根的情况写出通解：
   • 如果 $r_1 \neq r_2$（两个不同的实根）：$y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$
   • 如果 $r_1 = r_2$（重根）：$y = (C_1 + C_2 x) e^{r_1 x}$
   • 如果 $r_1, r_2$ 是共轭复数：$r = \alpha \pm i\beta$，则 $y = e^{\alpha x}(C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x)$

例子：$y'' - 3y' + 2y = 0$

• 特征方程：$r^2 - 3r + 2 = 0$
• 根：$r_1 = 1$，$r_2 = 2$
• 通解：$y = C_1 e^x + C_2 e^{2x}$

微分方程的应用

物理应用

• ⚡ 运动方程：描述物体的运动
• 🔬 振动方程：描述振动现象
• 🌊 波动方程：描述波动现象

生物应用

• 🦠 种群增长：描述种群增长模型
• 💊 药物动力学：描述药物在体内的分布

经济应用

• 💰 经济增长模型：描述经济增长
• 📈 市场模型：描述市场行为

生活中的应用

物理

• ⚡ 简谐振动：$y'' + \omega^2 y = 0$
• 🔬 阻尼振动：$y'' + 2\beta y' + \omega^2 y = 0$

工程

• 🏗️ 结构分析：分析结构的振动
• ⚙️ 控制系统：分析控制系统

科学

• 🔬 化学反应：描述化学反应速率
• 📊 生态模型：描述生态系统

常见错误

错误 1：阶数判断错误

要正确判断微分方程的阶数。

错误 2：解法选择错误

要根据方程的类型选择正确的解法。

错误 3：常数确定错误

要根据初始条件确定常数。

小练习

1. 求解 $\frac{dy}{dx} = 2x$
2. 求解 $y' + y = e^x$
3. 求解 $y'' - 4y' + 4y = 0$
4. 应用题：一个简谐振动的微分方程是 $y'' + 4y = 0$，求通解

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💡 小贴士：微分方程是含有未知函数及其导数的方程。记住：可分离变量方程用分离变量法，线性方程用积分因子，二阶线性齐次方程用特征方程。掌握微分方程的解法，你就能解决许多实际问题！