行列式

行列式是矩阵的一个重要数值！理解行列式，能帮助我们判断矩阵的性质。

什么是行列式？

行列式（Determinant）是方阵的一个数值，记作 $\det(A)$ 或 $|A|$。

简单理解

行列式就像"矩阵的一个特征值"：

• 只有方阵才有行列式
• 行列式是一个数字
• 行列式可以判断矩阵是否可逆

二阶行列式

定义

对于 $2 \times 2$ 矩阵：

$$A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$$

行列式为：

$$\det(A) = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$$

例子

例子：

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$$ $$\det(A) = 1 \times 4 - 2 \times 3 = 4 - 6 = -2$$

三阶行列式

定义

对于 $3 \times 3$ 矩阵：

$$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$$

行列式为：

$$\det(A) = a_{11}(a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33} - a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31})$$

记忆方法（对角线法则）

$$\det(A) = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33}$$

例子

例子：

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}$$

$\det(A) = 1(5 \times 9 - 6 \times 8) - 2(4 \times 9 - 6 \times 7) + 3(4 \times 8 - 5 \times 7)$

$= 1(45 - 48) - 2(36 - 42) + 3(32 - 35)$

$= 1(-3) - 2(-6) + 3(-3) = -3 + 12 - 9 = 0$

行列式的性质

性质 1：转置

$$\det(A^T) = \det(A)$$

性质 2：数乘

$$\det(kA) = k^n \det(A)$$

其中 $n$ 是矩阵的阶数。

性质 3：行（列）交换

交换矩阵的两行（列），行列式变号。

性质 4：行（列）成比例

如果矩阵的两行（列）成比例，则行列式为 0。

性质 5：行（列）加法

将一行（列）的倍数加到另一行（列），行列式不变。

性质 6：乘法

$$\det(AB) = \det(A)\det(B)$$

行列式的计算

方法 1：按行（列）展开

对于 $n \times n$ 矩阵，可以按第 $i$ 行展开：

$$\det(A) = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{ij} M_{ij}$$

其中 $M_{ij}$ 是 $a_{ij}$ 的余子式。

方法 2：初等行变换

通过初等行变换将矩阵化为上三角矩阵，然后计算对角线上元素的乘积。

行列式的应用

判断矩阵是否可逆

矩阵 $A$ 可逆当且仅当 $\det(A) \neq 0$。

计算矩阵的逆

如果 $\det(A) \neq 0$，则：

$$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A)$$

其中 $\text{adj}(A)$ 是 $A$ 的伴随矩阵。

求解线性方程组

克莱默法则（Cramer's Rule）使用行列式求解线性方程组。

生活中的应用

几何

• 📐 面积和体积：行列式可以计算面积和体积
• 🔢 线性变换：行列式表示线性变换的缩放因子

工程

• ⚙️ 系统分析：用行列式分析系统
• 🏗️ 结构分析：用行列式分析结构

常见错误

错误 1：矩阵和行列式混淆

• 矩阵：数字的矩形数组
• 行列式：矩阵的一个数值

错误 2：非方阵计算行列式

只有方阵才有行列式。

错误 3：计算错误

要仔细计算，注意符号。

小练习

1. 计算 $\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{vmatrix}$
2. 计算 $\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{vmatrix}$
3. 如果 $\det(A) = 5$，求 $\det(2A)$（$A$ 是 $3 \times 3$ 矩阵）
4. 应用题：判断矩阵 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$ 是否可逆

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💡 小贴士：行列式是方阵的一个数值。记住：只有方阵才有行列式，$\det(AB) = \det(A)\det(B)$。矩阵可逆当且仅当 $\det(A) \neq 0$！