导数

导数是微积分的核心概念！理解导数，能帮助我们研究函数的变化率和优化问题。

什么是导数？

导数（Derivative）是函数在某点的瞬时变化率。

简单理解

导数就像"瞬间的速度"：

• 描述函数在某个点的变化快慢
• 是函数图像在该点的切线斜率
• 表示函数值随自变量变化的速率

定义

函数 $f(x)$ 在点 $x = a$ 处的导数：

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$

如果这个极限存在，则称 $f(x)$ 在 $x = a$ 处可导。

另一种定义

$f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$

导数的几何意义

切线斜率

导数是函数图像在该点的切线斜率。

例子：函数 $f(x) = x^2$ 在 $x = 1$ 处的导数

$f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{(1 + h)^2 - 1^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1 + 2h + h^2 - 1}{h} = \lim_{h \to 0} (2 + h) = 2$

所以函数 $f(x) = x^2$ 在 $x = 1$ 处的切线斜率是 2。

导函数

定义

如果函数 $f(x)$ 在定义域的每一点都可导，则称 $f(x)$ 可导，其导函数（Derivative Function）记作 $f'(x)$ 或 $\frac{df}{dx}$。

表示方法

导函数有多种表示方法：

• $f'(x)$（拉格朗日记号）
• $\frac{df}{dx}$（莱布尼茨记号）
• $Df(x)$（算子记号）
• $\dot{f}(x)$（牛顿记号，常用于时间导数）

基本函数的导数

常数函数

如果 $f(x) = c$（$c$ 是常数），则：

$f'(x) = 0$

幂函数

如果 $f(x) = x^n$（$n$ 是实数），则：

$f'(x) = nx^{n-1}$

例子：

• $f(x) = x^2$，$f'(x) = 2x$
• $f(x) = x^3$，$f'(x) = 3x^2$
• $f(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}$，$f'(x) = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

指数函数

如果 $f(x) = e^x$，则：

$f'(x) = e^x$

如果 $f(x) = a^x$（$a > 0$，$a \neq 1$），则：

$f'(x) = a^x \ln a$

对数函数

如果 $f(x) = \ln x$，则：

$f'(x) = \frac{1}{x}$

如果 $f(x) = \log_a x$（$a > 0$，$a \neq 1$），则：

$f'(x) = \frac{1}{x \ln a}$

三角函数

• $(\sin x)' = \cos x$
• $(\cos x)' = -\sin x$
• $(\tan x)' = \sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$
• $(\cot x)' = -\csc^2 x = -\frac{1}{\sin^2 x}$

导数的运算法则

加法法则

$(f + g)' = f' + g'$

减法法则

$(f - g)' = f' - g'$

乘法法则

$(fg)' = f'g + fg'$

除法法则

$\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$

其中 $g(x) \neq 0$。

链式法则

如果 $y = f(u)$，$u = g(x)$，则：

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx} = f'(u) \times g'(x)$

例子：$y = (x^2 + 1)^3$

• 设 $u = x^2 + 1$，则 $y = u^3$
• $\frac{du}{dx} = 2x$，$\frac{dy}{du} = 3u^2 = 3(x^2 + 1)^2$
• $\frac{dy}{dx} = 2x \times 3(x^2 + 1)^2 = 6x(x^2 + 1)^2$

高阶导数

定义

二阶导数是导数的导数，记作 $f''(x)$ 或 $\frac{d^2f}{dx^2}$。

n 阶导数是 $(n-1)$ 阶导数的导数，记作 $f^{(n)}(x)$ 或 $\frac{d^nf}{dx^n}$。

例子

例子：$f(x) = x^3$

• $f'(x) = 3x^2$
• $f''(x) = 6x$
• $f'''(x) = 6$
• $f^{(4)}(x) = 0$

导数的应用

应用 1：求切线方程

函数 $f(x)$ 在点 $(a, f(a))$ 处的切线方程：

$y - f(a) = f'(a)(x - a)$

应用 2：求函数的单调性

• 如果 $f'(x) > 0$，则 $f(x)$ 在该区间内单调递增
• 如果 $f'(x) < 0$，则 $f(x)$ 在该区间内单调递减

应用 3：求极值

• 如果 $f'(a) = 0$ 且 $f''(a) > 0$，则 $f(x)$ 在 $x = a$ 处有极小值
• 如果 $f'(a) = 0$ 且 $f''(a) < 0$，则 $f(x)$ 在 $x = a$ 处有极大值

应用 4：物理应用

• 速度：位移对时间的导数是速度
• 加速度：速度对时间的导数是加速度

生活中的应用

物理

• ⚡ 运动学：描述物体的运动
• 🔬 力学：分析力和加速度

经济

• 💰 边际成本：成本函数的导数
• 📈 边际收益：收益函数的导数

工程

• 🏗️ 优化设计：优化工程设计
• ⚙️ 系统分析：分析系统行为

常见错误

错误 1：导数定义使用错误

要正确使用导数的定义，注意极限的计算。

错误 2：链式法则使用错误

使用链式法则时，要注意中间变量的处理。

错误 3：符号错误

要注意导数的符号，特别是三角函数的导数。

小练习

1. 求 $f(x) = x^2 + 3x - 1$ 的导数
2. 求 $f(x) = \sin x \cos x$ 的导数
3. 求 $f(x) = e^{2x}$ 的导数（用链式法则）
4. 应用题：一个物体的位移函数是 $s(t) = t^2 + 3t$，求 $t = 2$ 时的速度和加速度

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💡 小贴士：导数是函数在某点的瞬时变化率。记住：$(x^n)' = nx^{n-1}$，$(\sin x)' = \cos x$，$(\cos x)' = -\sin x$，$(e^x)' = e^x$。掌握导数的计算，你就能研究函数的变化！