圆柱坐标系

圆柱坐标系是极坐标系在三维空间的推广！它特别适合描述具有轴对称特性的物体。

什么是圆柱坐标系？

圆柱坐标系（Cylindrical Coordinate System）是一种三维坐标系统。它是二维极坐标系往 z 轴的延伸，添加的第三个坐标 $z$ 专门用来表示点离 xy 平面的高低。

简单理解，圆柱坐标系就像"极坐标 + 高度"：

• 在 xy 平面上用极坐标 $(r, \theta)$ 表示位置
• 用 $z$ 表示高度
• 适合描述圆柱形的物体

按照国际标准化组织建立的约定（ISO 31-11），径向距离、方位角、高度，分别标记为 $(\rho, \phi, z)$。

注意：有些教材使用 $(r, \theta, z)$ 表示，其中：

• $\rho$ 或 $r$：径向距离（到 z 轴的距离）
• $\phi$ 或 $\theta$：方位角（在 xy 平面上的角度）
• $z$：高度（z 坐标）

圆柱坐标系的构成

坐标轴

圆柱坐标系有三个坐标：

• $\rho$（径向距离）：从 z 轴到点的距离（$\rho \ge 0$）
• $\phi$（方位角）：在 xy 平面上，从 x 轴正方向到点的投影的角度
• $z$（高度）：点在 z 轴上的坐标

坐标表示

圆柱坐标系中的点用 $(\rho, \phi, z)$ 表示。

例子

例子：圆柱坐标 $(5, 30°, 3)$

• 径向距离：5 个单位
• 方位角：$30°$
• 高度：3 个单位

圆柱坐标与笛卡尔坐标的转换

圆柱坐标转笛卡尔坐标

如果圆柱坐标为 $(\rho, \phi, z)$，则笛卡尔坐标为：

$x = \rho\cos\phi$

$y = \rho\sin\phi$

$z = z$

笛卡尔坐标转圆柱坐标

如果笛卡尔坐标为 $(x, y, z)$，则圆柱坐标为：

$\rho = \sqrt{x^2 + y^2}$

$\phi = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)$

$z = z$

注意：$\phi$ 的值需要根据 $x, y$ 的符号确定所在的象限。

圆柱坐标系的应用

轴对称物体

圆柱坐标常被用来分析，选用 z 轴为对称轴，有轴对称特性的物体。

例子：

• 一个无限长的圆柱，具有直角坐标方程式 $x^2 + y^2 = c^2$
• 用圆柱坐标来表示，有一个非常简易的方程式 $\rho = c$
• 这也是圆柱坐标系名称的由来

物理应用

• ⚡ 电磁学：描述具有轴对称的电磁场
• 🌊 流体力学：描述圆柱形容器中的流体

工程应用

• ⚙️ 机械设计：描述旋转机械
• 🔧 管道系统：描述管道中的流动

生活中的应用

工程

• 🏗️ 管道设计：设计管道系统
• ⚙️ 机械设计：设计旋转机械

物理

• ⚡ 电磁场：描述电磁场
• 🌊 波动：描述波动现象

常见错误

错误 1：坐标符号混淆

要注意 $\rho$ 和 $r$ 的区别，以及 $\phi$ 和 $\theta$ 的区别。

错误 2：转换公式使用错误

转换公式中要注意象限的判断。

错误 3：高度和径向距离混淆

• $\rho$：到 z 轴的距离（在 xy 平面上的距离）
• $z$：高度（z 坐标）

小练习

1. 将圆柱坐标 $(5, 45°, 3)$ 转换为笛卡尔坐标
2. 将笛卡尔坐标 $(3, 4, 5)$ 转换为圆柱坐标
3. 如果一个圆柱的半径是 2，高度是 5，用圆柱坐标表示其表面上的点
4. 应用题：一个管道系统，用圆柱坐标描述，管道中心在 z 轴上，半径 1 米，高度 10 米，求管道表面的方程

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💡 小贴士：圆柱坐标系是极坐标系在三维空间的推广。记住：$x = \rho\cos\phi$，$y = \rho\sin\phi$，$z = z$。圆柱坐标系特别适合描述具有轴对称特性的物体！