圆柱体

圆柱体是常见的立体图形！从水管到柱子，从罐头到杯子，圆柱体在我们的生活中随处可见。

什么是圆柱体？

圆柱体（Cylinder）是由两个平行且相等的圆面和一个侧面围成的立体图形。

组成部分

• 底面：两个平行的圆面（上底面和下底面）
• 侧面：连接两个底面的曲面
• 高：两个底面之间的距离，通常用 $h$ 表示
• 半径：底面的半径，通常用 $r$ 表示

性质

• 两个底面：都是圆，且平行、相等
• 侧面：展开后是长方形，长 = 底面周长，宽 = 高
• 对称性：关于通过两个底面圆心的直线对称

圆柱体的体积

公式

$V = \pi r^2 h$

其中：

• $V$：体积
• $r$：底面半径
• $h$：高
• $\pi$：圆周率

推导（直观理解）

把圆柱体想象成"很多个圆片叠起来"：

• 每个圆片的面积 = $\pi r^2$
• 圆片的厚度 = $h$
• 体积 = 圆片面积 × 厚度 = $\pi r^2 \times h = \pi r^2 h$

例子

例子 1：半径 $r = 5$ cm，高 $h = 10$ cm 的圆柱体

• 体积 $V = \pi \times 5^2 \times 10 = \pi \times 25 \times 10 = 250\pi \approx 785.4$ cm³

例子 2：直径 $d = 8$ cm，高 $h = 12$ cm 的圆柱体

• 半径 $r = \frac{d}{2} = 4$ cm
• 体积 $V = \pi \times 4^2 \times 12 = \pi \times 16 \times 12 = 192\pi \approx 603.2$ cm³

圆柱体的表面积

公式

$S = 2\pi r^2 + 2\pi rh = 2\pi r(r + h)$

其中：

• $S$：表面积
• $2\pi r^2$：两个底面的面积
• $2\pi rh$：侧面积（展开后是长方形，长 = $2\pi r$，宽 = $h$）

推导

• 两个底面积：$2 \times \pi r^2 = 2\pi r^2$
• 侧面积：展开后是长方形，长 = 底面周长 = $2\pi r$，宽 = 高 = $h$，所以侧面积 = $2\pi r \times h = 2\pi rh$
• 总表面积：$S = 2\pi r^2 + 2\pi rh = 2\pi r(r + h)$

例子

例子 1：半径 $r = 5$ cm，高 $h = 10$ cm 的圆柱体

• 表面积 $S = 2\pi \times 5(5 + 10) = 2\pi \times 5 \times 15 = 150\pi \approx 471.2$ cm²

例子 2：直径 $d = 8$ cm，高 $h = 12$ cm 的圆柱体

• 半径 $r = 4$ cm
• 表面积 $S = 2\pi \times 4(4 + 12) = 2\pi \times 4 \times 16 = 128\pi \approx 402.1$ cm²

圆柱体的侧面积

公式

$S_{\text{侧}} = 2\pi rh$

其中：

• $S_{\text{侧}}$：侧面积
• $r$：底面半径
• $h$：高

例子

例子：半径 $r = 5$ cm，高 $h = 10$ cm 的圆柱体

• 侧面积 $S_{\text{侧}} = 2\pi \times 5 \times 10 = 100\pi \approx 314.2$ cm²

圆柱体的展开图

侧面展开图

圆柱体的侧面展开后是一个长方形：

• 长：底面周长 = $2\pi r$
• 宽：高 = $h$

完整展开图

• 两个圆：上底面和下底面
• 一个长方形：侧面

常见错误

错误 1：体积和表面积公式混淆

• 体积：$V = \pi r^2 h$
• 表面积：$S = 2\pi r(r + h)$

错误 2：侧面积和表面积混淆

• 侧面积：只有侧面的面积 = $2\pi rh$
• 表面积：包括两个底面 = $2\pi r^2 + 2\pi rh$

错误 3：半径和直径混淆

❌ 错误：$r = d$
✅ 正确：$r = \frac{d}{2}$

小练习

1. 如果圆柱体的半径是 6 cm，高是 8 cm，求体积和表面积
2. 如果圆柱体的直径是 10 cm，高是 15 cm，求体积和表面积
3. 如果圆柱体的体积是 $100\pi$ cm³，高是 4 cm，求半径
4. 应用题：一个圆柱形水桶，底面半径 30 cm，高 50 cm，能装多少升水？（1 升 = 1000 cm³）

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💡 小贴士：圆柱体是常见的立体图形。记住：体积 $V = \pi r^2 h$，表面积 $S = 2\pi r(r + h)$。侧面积展开后是长方形，长 = 底面周长，宽 = 高！