正方体和长方体

正方体和长方体是最常见的立体图形！从建筑到包装，从家具到容器，它们在我们的生活中无处不在。

正方体

什么是正方体？

正方体（Cube）是六个面都是正方形的立体图形。

性质

• 6 个面：都是正方形，面积相等
• 12 条棱：长度都相等
• 8 个顶点：每个顶点连接 3 条棱
• 所有面都相等：每个面都是边长为 $a$ 的正方形

体积

$V = a^3$

其中：

• $V$：体积
• $a$：棱长（边长）

例子：

• 棱长 $a = 5$ cm 的正方体
• 体积 $V = 5^3 = 125$ cm³

表面积

$S = 6a^2$

其中：

• $S$：表面积
• $a$：棱长

例子：

• 棱长 $a = 5$ cm 的正方体
• 表面积 $S = 6 \times 5^2 = 6 \times 25 = 150$ cm²

对角线

体对角线（空间对角线）：

$d = a\sqrt{3}$

推导：根据勾股定理，体对角线的平方 = 三条棱的平方和 = $a^2 + a^2 + a^2 = 3a^2$，所以 $d = a\sqrt{3}$

长方体

什么是长方体？

长方体（Cuboid）是六个面都是长方形的立体图形。

性质

• 6 个面：都是长方形，相对的面相等
• 12 条棱：分为 3 组，每组 4 条棱长度相等
• 8 个顶点：每个顶点连接 3 条棱
• 相对的面平行且相等

体积

$V = abc$

其中：

• $V$：体积
• $a$：长
• $b$：宽
• $c$：高

例子：

• 长 $a = 6$ cm，宽 $b = 4$ cm，高 $c = 3$ cm 的长方体
• 体积 $V = 6 \times 4 \times 3 = 72$ cm³

表面积

$S = 2(ab + bc + ca)$

其中：

• $S$：表面积
• $a, b, c$：长、宽、高

推导：

• 前面和后面：$2ab$
• 左面和右面：$2bc$
• 上面和下面：$2ca$
• 总和：$S = 2ab + 2bc + 2ca = 2(ab + bc + ca)$

例子：

• 长 $a = 6$ cm，宽 $b = 4$ cm，高 $c = 3$ cm 的长方体
• 表面积 $S = 2(6 \times 4 + 4 \times 3 + 3 \times 6) = 2(24 + 12 + 18) = 2 \times 54 = 108$ cm²

对角线

体对角线（空间对角线）：

$d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$

推导：根据勾股定理，体对角线的平方 = 三条棱的平方和 = $a^2 + b^2 + c^2$，所以 $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$

正方体和长方体的关系

关系

正方体是特殊的长方体（长、宽、高都相等的长方体）。

对比

特征	正方体	长方体
面	6 个正方形	6 个长方形
棱	12 条都相等	12 条分为 3 组
体积公式	$V = a^3$	$V = abc$
表面积公式	$S = 6a^2$	$S = 2(ab + bc + ca)$

展开图

正方体的展开图

正方体有 11 种不同的展开图，常见的有：

• "一四一"型：中间 4 个正方形，上下各 1 个
• "二三一"型：中间 3 个正方形，上下各 1 个，一侧 1 个
• "三三"型：两行各 3 个正方形
• "二二二"型：三行各 2 个正方形

长方体的展开图

长方体也有多种展开图，相对的面在展开图中不相邻。

常见错误

错误 1：体积和表面积混淆

• 体积：图形所占空间的大小（立方单位）
• 表面积：图形所有面的面积和（平方单位）

错误 2：正方体和长方体混淆

正方体是特殊的长方体，但长方体不一定是正方体。

错误 3：单位错误

• 体积单位是立方单位（cm³, m³ 等）
• 表面积单位是平方单位（cm², m² 等）

错误 4：表面积公式使用错误

长方体的表面积公式是 $S = 2(ab + bc + ca)$，不要漏掉某个面。

小练习

1. 如果正方体的棱长是 6 cm，求体积和表面积
2. 如果长方体的长是 8 cm，宽是 5 cm，高是 4 cm，求体积和表面积
3. 如果正方体的体积是 64 cm³，求棱长和表面积
4. 应用题：一个长方体水箱长 2 米，宽 1.5 米，高 1 米，能装多少升水？（1 立方米 = 1000 升）

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💡 小贴士：正方体和长方体是最常见的立体图形。记住：正方体是特殊的长方体（长 = 宽 = 高）。体积是长 × 宽 × 高，表面积是所有面的面积和！