条件概率

条件概率是概率论的重要概念！理解条件概率，能帮助我们分析在已知条件下事件发生的概率。

什么是条件概率？

条件概率（Conditional Probability）是在已知事件 $B$ 发生的条件下，事件 $A$ 发生的概率，记作 $P(A|B)$。

简单理解

条件概率就像"在已知条件下，事件发生的可能性"：

• 已知某个条件（事件 $B$ 发生）
• 求在这个条件下，另一个事件（事件 $A$）发生的概率

定义

$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

其中 $P(B) > 0$。

例子

例子 1：从 52 张扑克牌中随机抽取一张

• 事件 $A$：抽到 A
• 事件 $B$：抽到红心
• $P(A) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$（有 4 张 A）
• $P(B) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$（有 13 张红心）
• $P(A \cap B) = \frac{1}{52}$（红心 A 只有 1 张）
• $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1/52}{1/4} = \frac{1}{13}$

例子 2：从 1 到 10 中随机选一个数

• 事件 $A$：偶数 = $\{2, 4, 6, 8, 10\}$
• 事件 $B$：大于 5 = $\{6, 7, 8, 9, 10\}$
• $P(A) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$
• $P(B) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$
• $P(A \cap B) = \frac{3}{10}$（偶数且大于 5 = $\{6, 8, 10\}$）
• $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{3/10}{1/2} = \frac{3}{5}$

条件概率的性质

性质 1：非负性

$P(A|B) \ge 0$

性质 2：规范性

$P(\Omega|B) = 1$

性质 3：可加性

如果 $A_1$ 和 $A_2$ 互不相容，则：

$P(A_1 \cup A_2|B) = P(A_1|B) + P(A_2|B)$

乘法公式

公式

从条件概率的定义可以得到：

$P(A \cap B) = P(B) \times P(A|B)$

或

$P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)$

多个事件的乘法公式

对于 $n$ 个事件 $A_1, A_2, \ldots, A_n$，如果 $P(A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_{n-1}) > 0$，则：

$P(A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n) = P(A_1) \times P(A_2|A_1) \times P(A_3|A_1 \cap A_2) \times \cdots \times P(A_n|A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_{n-1})$

例子

例子：从 52 张扑克牌中连续抽取三张（不放回），求都是红心的概率

• 事件 $A_1$：第一张是红心，$P(A_1) = \frac{13}{52}$
• 事件 $A_2$：第二张是红心，$P(A_2|A_1) = \frac{12}{51}$
• 事件 $A_3$：第三张是红心，$P(A_3|A_1 \cap A_2) = \frac{11}{50}$
• $P(A_1 \cap A_2 \cap A_3) = \frac{13}{52} \times \frac{12}{51} \times \frac{11}{50} = \frac{1716}{132600} = \frac{11}{850}$

生活中的应用

医学

• 🏥 疾病诊断：在已知症状的条件下，诊断疾病的概率
• 💊 药物效果：在已知用药的条件下，治愈的概率

市场

• 📊 市场分析：在已知市场条件下，销售成功的概率
• 💰 投资决策：在已知市场条件下，投资获利的概率

游戏

• 🎲 游戏设计：在已知条件下，游戏事件的概率
• 🎰 博彩：在已知条件下，中奖的概率

常见错误

错误 1：条件概率公式错误

条件概率公式是 $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$，不是 $P(A|B) = \frac{P(A)}{P(B)}$。

错误 2：条件概率和联合概率混淆

• 条件概率：$P(A|B)$（在 $B$ 发生的条件下 $A$ 发生的概率）
• 联合概率：$P(A \cap B)$（$A$ 和 $B$ 同时发生的概率）

错误 3：条件概率的方向

$P(A|B)$ 和 $P(B|A)$ 是不同的，要注意方向。

小练习

1. 如果 $P(A) = 0.4$，$P(B) = 0.5$，$P(A \cap B) = 0.2$，求 $P(A|B)$ 和 $P(B|A)$
2. 从 52 张扑克牌中连续抽取两张（不放回），求第二张是 A 的概率（已知第一张不是 A）
3. 一个袋子里有 5 个红球和 3 个蓝球，连续抽取两个球（不放回），求第二个是红球的概率（已知第一个是红球）
4. 应用题：在医学诊断中，如果已知某种疾病的患病率是 $1\%$，检测的准确率是 $95\%$，求检测呈阳性时患病的概率

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💡 小贴士：条件概率是在已知条件下事件发生的概率。记住：$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$，$P(A \cap B) = P(B) \times P(A|B)$。掌握条件概率，你就能分析在已知条件下的事件概率！