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复数的几何表示

复数的几何表示帮助我们直观地理解复数！

复平面​

定义​

复平面（Complex Plane）是用平面上的点表示复数的坐标系。

  • 横轴（实轴）：表示实部
  • 纵轴（虚轴）：表示虚部
  • 原点：表示 0=0+0i0 = 0 + 0i

表示方法​

复数 z=a+biz = a + bi 对应复平面上的点 (a,b)(a, b)。

例子​

例子：z=3+4iz = 3 + 4i 对应点 (3,4)(3, 4)

复数的模和幅角​

模的几何意义​

复数 z=a+biz = a + bi 的模 ∣z∣=a2+b2|z| = \sqrt{a^2 + b^2} 表示：

  • 点 (a,b)(a, b) 到原点的距离
  • 向量的长度

幅角的几何意义​

复数 z=a+biz = a + bi 的幅角 θ=arg⁡(z)\theta = \arg(z) 表示：

  • 点 (a,b)(a, b) 与正实轴的夹角
  • 向量的方向

关系​

a=∣z∣cos⁡θ,b=∣z∣sin⁡θa = |z| \cos \theta, \quad b = |z| \sin \theta

∣z∣=a2+b2,θ=arctan⁡(ba)|z| = \sqrt{a^2 + b^2}, \quad \theta = \arctan\left(\frac{b}{a}\right)

极坐标形式​

定义​

复数 z=a+biz = a + bi 的极坐标形式：

z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)=reiθz = r(\cos \theta + i \sin \theta) = r e^{i\theta}

其中：

  • r=∣z∣r = |z| 是模（半径）
  • θ=arg⁡(z)\theta = \arg(z) 是幅角（角度）

转换​

从代数形式到极坐标形式：

r=a2+b2,θ=arctan⁡(ba)r = \sqrt{a^2 + b^2}, \quad \theta = \arctan\left(\frac{b}{a}\right)

从极坐标形式到代数形式：

a=rcos⁡θ,b=rsin⁡θa = r \cos \theta, \quad b = r \sin \theta

例子​

例子：z=1+iz = 1 + i

  • r=12+12=2r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}
  • θ=arctan⁡(1)=π4\theta = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}

所以：

z=2(cos⁡π4+isin⁡π4)=2eiπ/4z = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} e^{i\pi/4}

复数的几何运算​

加法的几何意义​

两个复数 z1z_1 和 z2z_2 的加法：

z1+z2z_1 + z_2

对应复平面上两个向量的向量加法（平行四边形法则）。

减法的几何意义​

两个复数 z1z_1 和 z2z_2 的减法：

z1−z2z_1 - z_2

对应复平面上从 z2z_2 指向 z1z_1 的向量。

乘法的几何意义​

两个复数 z1=r1eiθ1z_1 = r_1 e^{i\theta_1} 和 z2=r2eiθ2z_2 = r_2 e^{i\theta_2} 的乘法：

z1z2=r1r2ei(θ1+θ2)z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{i(\theta_1 + \theta_2)}

几何意义：

  • 模：∣z1z2∣=∣z1∣∣z2∣|z_1 z_2| = |z_1| |z_2|（模相乘）
  • 幅角：arg⁡(z1z2)=arg⁡(z1)+arg⁡(z2)\arg(z_1 z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2)（幅角相加）

即：旋转 + 缩放

除法的几何意义​

两个复数 z1=r1eiθ1z_1 = r_1 e^{i\theta_1} 和 z2=r2eiθ2z_2 = r_2 e^{i\theta_2} 的除法：

z1z2=r1r2ei(θ1−θ2)\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} e^{i(\theta_1 - \theta_2)}

几何意义：

  • 模：∣z1z2∣=∣z1∣∣z2∣\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}（模相除）
  • 幅角：arg⁡(z1z2)=arg⁡(z1)−arg⁡(z2)\arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \arg(z_1) - \arg(z_2)（幅角相减）

幂的几何意义​

复数 z=reiθz = r e^{i\theta} 的 nn 次幂：

zn=rneinθz^n = r^n e^{in\theta}

几何意义：

  • 模：∣zn∣=∣z∣n|z^n| = |z|^n（模的 nn 次幂）
  • 幅角：arg⁡(zn)=narg⁡(z)\arg(z^n) = n \arg(z)（幅角的 nn 倍）

即：旋转 nn 倍角度 + 缩放 nn 次幂

根的几何意义​

复数 z=reiθz = r e^{i\theta} 的 nn 次根：

zn=rnei(θ+2kπ)/n(k=0,1,2,…,n−1)\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r} e^{i(\theta + 2k\pi)/n} \quad (k = 0, 1, 2, \ldots, n-1)

几何意义：

  • nn 个根均匀分布在以原点为圆心、半径为 rn\sqrt[n]{r} 的圆上
  • 相邻根的幅角相差 2πn\frac{2\pi}{n}

共轭复数的几何意义​

复数 z=a+biz = a + bi 的共轭复数 zˉ=a−bi\bar{z} = a - bi 在复平面上：

  • 关于实轴对称
  • 模相同：∣zˉ∣=∣z∣|\bar{z}| = |z|
  • 幅角相反：arg⁡(zˉ)=−arg⁡(z)\arg(\bar{z}) = -\arg(z)

复数的集合​

圆​

圆：∣z−z0∣=r|z - z_0| = r

  • 圆心：z0z_0
  • 半径：rr

直线​

直线：Im(az+b)=0\text{Im}(az + b) = 0 或 Re(az+b)=0\text{Re}(az + b) = 0

半平面​

半平面：Im(z)>0\text{Im}(z) > 0（上半平面）

几何变换​

平移​

复数 zz 加上常数 cc：

z+cz + c

对应复平面上的平移。

旋转​

复数 zz 乘以 eiθe^{i\theta}：

zeiθz e^{i\theta}

对应复平面上的旋转（绕原点逆时针旋转角度 θ\theta）。

缩放​

复数 zz 乘以实数 r>0r > 0：

rzr z

对应复平面上的缩放（以原点为中心，缩放 rr 倍）。

反射​

复数 zz 取共轭：

zˉ\bar{z}

对应复平面上的反射（关于实轴）。

生活中的应用​

物理​

  • ⚡ 电路分析：用复平面表示电压和电流的相位关系
  • 🔬 波动：用复平面表示波的振幅和相位

工程​

  • 📡 信号处理：用复平面分析信号的频率和相位
  • 🏗️ 控制理论：用复平面分析系统的稳定性

常见错误​

错误 1：幅角计算错误​

要注意幅角的象限，使用 arctan⁡\arctan 时要考虑 aa 和 bb 的符号。

错误 2：极坐标形式转换错误​

要正确使用 a=rcos⁡θa = r \cos \theta 和 b=rsin⁡θb = r \sin \theta。

错误 3：几何意义理解错误​

要理解复数的运算在复平面上的几何意义。

小练习​

  1. 在复平面上标出 z=3+4iz = 3 + 4i 和 zˉ=3−4i\bar{z} = 3 - 4i
  2. 将 z=−1+3iz = -1 + \sqrt{3}i 写成极坐标形式
  3. 说明 zeiπ/2z e^{i\pi/2} 的几何意义
  4. 应用题：在电路分析中，如何用复平面表示交流电压和电流的关系？

💡 小贴士：复数的几何表示帮助我们直观地理解复数。记住：模表示距离，幅角表示角度，乘法对应旋转+缩放。掌握复数的几何表示，你就能更好地理解复数的性质！