复数的几何表示

复数的几何表示帮助我们直观地理解复数！

复平面

定义

复平面（Complex Plane）是用平面上的点表示复数的坐标系。

• 横轴（实轴）：表示实部
• 纵轴（虚轴）：表示虚部
• 原点：表示 $0 = 0 + 0i$

表示方法

复数 $z = a + bi$ 对应复平面上的点 $(a, b)$。

例子

例子：$z = 3 + 4i$ 对应点 $(3, 4)$

复数的模和幅角

模的几何意义

复数 $z = a + bi$ 的模 $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ 表示：

• 点 $(a, b)$ 到原点的距离
• 向量的长度

幅角的几何意义

复数 $z = a + bi$ 的幅角 $\theta = \arg(z)$ 表示：

• 点 $(a, b)$ 与正实轴的夹角
• 向量的方向

关系

$a = |z| \cos \theta, \quad b = |z| \sin \theta$

$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}, \quad \theta = \arctan\left(\frac{b}{a}\right)$

极坐标形式

定义

复数 $z = a + bi$ 的极坐标形式：

$z = r(\cos \theta + i \sin \theta) = r e^{i\theta}$

其中：

• $r = |z|$ 是模（半径）
• $\theta = \arg(z)$ 是幅角（角度）

转换

从代数形式到极坐标形式：

$r = \sqrt{a^2 + b^2}, \quad \theta = \arctan\left(\frac{b}{a}\right)$

从极坐标形式到代数形式：

$a = r \cos \theta, \quad b = r \sin \theta$

例子

例子：$z = 1 + i$

• $r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$
• $\theta = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}$

所以：

$z = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} e^{i\pi/4}$

复数的几何运算

加法的几何意义

两个复数 $z_1$ 和 $z_2$ 的加法：

$z_1 + z_2$

对应复平面上两个向量的向量加法（平行四边形法则）。

减法的几何意义

两个复数 $z_1$ 和 $z_2$ 的减法：

$z_1 - z_2$

对应复平面上从 $z_2$ 指向 $z_1$ 的向量。

乘法的几何意义

两个复数 $z_1 = r_1 e^{i\theta_1}$ 和 $z_2 = r_2 e^{i\theta_2}$ 的乘法：

$z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{i(\theta_1 + \theta_2)}$

几何意义：

• 模：$|z_1 z_2| = |z_1| |z_2|$（模相乘）
• 幅角：$\arg(z_1 z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2)$（幅角相加）

即：旋转 + 缩放

除法的几何意义

两个复数 $z_1 = r_1 e^{i\theta_1}$ 和 $z_2 = r_2 e^{i\theta_2}$ 的除法：

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} e^{i(\theta_1 - \theta_2)}$

几何意义：

• 模：$\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}$（模相除）
• 幅角：$\arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \arg(z_1) - \arg(z_2)$（幅角相减）

幂的几何意义

复数 $z = r e^{i\theta}$ 的 $n$ 次幂：

$z^n = r^n e^{in\theta}$

几何意义：

• 模：$|z^n| = |z|^n$（模的 $n$ 次幂）
• 幅角：$\arg(z^n) = n \arg(z)$（幅角的 $n$ 倍）

即：旋转 $n$ 倍角度 + 缩放 $n$ 次幂

根的几何意义

复数 $z = r e^{i\theta}$ 的 $n$ 次根：

$\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r} e^{i(\theta + 2k\pi)/n} \quad (k = 0, 1, 2, \ldots, n-1)$

几何意义：

• $n$ 个根均匀分布在以原点为圆心、半径为 $\sqrt[n]{r}$ 的圆上
• 相邻根的幅角相差 $\frac{2\pi}{n}$

共轭复数的几何意义

复数 $z = a + bi$ 的共轭复数 $\bar{z} = a - bi$ 在复平面上：

• 关于实轴对称
• 模相同：$|\bar{z}| = |z|$
• 幅角相反：$\arg(\bar{z}) = -\arg(z)$

复数的集合

圆

圆：$|z - z_0| = r$

• 圆心：$z_0$
• 半径：$r$

直线

直线：$\text{Im}(az + b) = 0$ 或 $\text{Re}(az + b) = 0$

半平面

半平面：$\text{Im}(z) > 0$（上半平面）

几何变换

平移

复数 $z$ 加上常数 $c$：

$z + c$

对应复平面上的平移。

旋转

复数 $z$ 乘以 $e^{i\theta}$：

$z e^{i\theta}$

对应复平面上的旋转（绕原点逆时针旋转角度 $\theta$）。

缩放

复数 $z$ 乘以实数 $r > 0$：

$r z$

对应复平面上的缩放（以原点为中心，缩放 $r$ 倍）。

反射

复数 $z$ 取共轭：

$\bar{z}$

对应复平面上的反射（关于实轴）。

生活中的应用

物理

• ⚡ 电路分析：用复平面表示电压和电流的相位关系
• 🔬 波动：用复平面表示波的振幅和相位

工程

• 📡 信号处理：用复平面分析信号的频率和相位
• 🏗️ 控制理论：用复平面分析系统的稳定性

常见错误

错误 1：幅角计算错误

要注意幅角的象限，使用 $\arctan$ 时要考虑 $a$ 和 $b$ 的符号。

错误 2：极坐标形式转换错误

要正确使用 $a = r \cos \theta$ 和 $b = r \sin \theta$。

错误 3：几何意义理解错误

要理解复数的运算在复平面上的几何意义。

小练习

1. 在复平面上标出 $z = 3 + 4i$ 和 $\bar{z} = 3 - 4i$
2. 将 $z = -1 + \sqrt{3}i$ 写成极坐标形式
3. 说明 $z e^{i\pi/2}$ 的几何意义
4. 应用题：在电路分析中，如何用复平面表示交流电压和电流的关系？

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💡 小贴士：复数的几何表示帮助我们直观地理解复数。记住：模表示距离，幅角表示角度，乘法对应旋转+缩放。掌握复数的几何表示，你就能更好地理解复数的性质！