复数的基本概念

理解复数的基本概念，是学习复数的第一步！

什么是复数？

复数（Complex Number）是形如 $a + bi$ 的数，其中 $a$ 和 $b$ 是实数，$i$ 是虚数单位。

虚数单位

虚数单位 $i$ 定义为：

$i^2 = -1$

因此：

$i = \sqrt{-1}$

复数的形式

复数 $z$ 的一般形式：

$z = a + bi$

其中：

• $a$ 是实部（Real Part），记作 $\text{Re}(z) = a$
• $b$ 是虚部（Imaginary Part），记作 $\text{Im}(z) = b$

例子

例子 1：$z = 3 + 4i$

• 实部：$\text{Re}(z) = 3$
• 虚部：$\text{Im}(z) = 4$

例子 2：$z = -2 + 5i$

• 实部：$\text{Re}(z) = -2$
• 虚部：$\text{Im}(z) = 5$

例子 3：$z = 7$（纯实数）

• 实部：$\text{Re}(z) = 7$
• 虚部：$\text{Im}(z) = 0$
• 可以写成：$z = 7 + 0i$

例子 4：$z = 3i$（纯虚数）

• 实部：$\text{Re}(z) = 0$
• 虚部：$\text{Im}(z) = 3$
• 可以写成：$z = 0 + 3i$

复数的分类

实数

如果 $b = 0$，则 $z = a$ 是实数（Real Number）。

所有实数都是复数（虚部为 0）。

虚数

如果 $b \neq 0$，则 $z = a + bi$ 是虚数（Imaginary Number）。

纯虚数

如果 $a = 0$ 且 $b \neq 0$，则 $z = bi$ 是纯虚数（Pure Imaginary Number）。

复数的相等

两个复数 $z_1 = a_1 + b_1 i$ 和 $z_2 = a_2 + b_2 i$ 相等当且仅当：

$a_1 = a_2 \quad \text{且} \quad b_1 = b_2$

即实部和虚部分别相等。

共轭复数

定义

复数 $z = a + bi$ 的共轭复数（Conjugate）是：

$\bar{z} = a - bi$

即保持实部不变，虚部取相反数。

性质

• $\overline{\bar{z}} = z$
• $\overline{z_1 + z_2} = \bar{z_1} + \bar{z_2}$
• $\overline{z_1 z_2} = \bar{z_1} \bar{z_2}$
• $\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)} = \frac{\bar{z_1}}{\bar{z_2}}$

例子

例子：$z = 3 + 4i$

$\bar{z} = 3 - 4i$

复数的模

定义

复数 $z = a + bi$ 的模（Modulus）或绝对值是：

$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$

几何意义

模表示复数在复平面上到原点的距离。

性质

• $|z| \ge 0$，且 $|z| = 0$ 当且仅当 $z = 0$
• $|z_1 z_2| = |z_1| |z_2|$
• $\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}$（$z_2 \neq 0$）
• $|z|^2 = z \bar{z}$

例子

例子：$z = 3 + 4i$

$|z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

复数的幅角

定义

复数 $z = a + bi$（$z \neq 0$）的幅角（Argument）$\theta$ 是：

$\theta = \arg(z) = \arctan\left(\frac{b}{a}\right)$

通常取 $-\pi < \theta \le \pi$（主值）。

几何意义

幅角表示复数在复平面上与正实轴的夹角。

例子

例子：$z = 1 + i$

$\theta = \arg(z) = \arctan\left(\frac{1}{1}\right) = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}$

复数的极坐标形式

定义

复数 $z = a + bi$ 可以写成极坐标形式：

$z = r(\cos \theta + i \sin \theta) = r e^{i\theta}$

其中：

• $r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ 是模
• $\theta = \arg(z)$ 是幅角

转换公式

从代数形式到极坐标形式：

$r = \sqrt{a^2 + b^2}, \quad \theta = \arctan\left(\frac{b}{a}\right)$

从极坐标形式到代数形式：

$a = r \cos \theta, \quad b = r \sin \theta$

例子

例子：$z = 1 + i$

• $r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$
• $\theta = \frac{\pi}{4}$

所以：

$z = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} e^{i\pi/4}$

生活中的应用

物理

• ⚡ 电路分析：分析交流电路
• 🔬 量子力学：描述量子态

工程

• 📡 信号处理：处理信号和波形
• 🏗️ 控制理论：分析控制系统

常见错误

错误 1：虚数单位计算错误

记住：$i^2 = -1$，$i^3 = -i$，$i^4 = 1$，然后循环。

错误 2：模的计算错误

模是 $\sqrt{a^2 + b^2}$，不是 $a + b$。

错误 3：幅角的范围错误

要注意幅角的主值范围是 $-\pi < \theta \le \pi$。

小练习

1. 写出复数 $z = -3 + 4i$ 的实部、虚部、共轭复数和模
2. 将 $z = 1 + \sqrt{3}i$ 写成极坐标形式
3. 计算 $|3 + 4i|$
4. 应用题：在电路分析中，如何用复数表示交流电压？

---

💡 小贴士：复数是形如 $a + bi$ 的数，其中 $i^2 = -1$。记住：模 $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$，共轭复数 $\bar{z} = a - bi$。掌握复数的基本概念，你就能进行复数的运算！