复变函数

复变函数是研究复数函数的数学分支！理解复变函数，能帮助我们解决许多实际问题。

什么是复变函数？

复变函数（Complex Function）是从复数到复数的映射。

定义

复变函数 $f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ 将复数 $z$ 映射到复数 $w = f(z)$。

表示方法

复变函数可以写成：

$w = f(z) = u(x, y) + iv(x, y)$

其中：

• $z = x + iy$
• $u(x, y)$ 是实部函数
• $v(x, y)$ 是虚部函数

基本复变函数

多项式函数

多项式函数：

$f(z) = a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \cdots + a_1 z + a_0$

其中 $a_i$ 是复数。

有理函数

有理函数是两个多项式的商：

$f(z) = \frac{P(z)}{Q(z)}$

其中 $P(z)$ 和 $Q(z)$ 是多项式。

指数函数

指数函数：

$f(z) = e^z = e^{x + iy} = e^x (\cos y + i \sin y)$

性质：

• $e^{z_1 + z_2} = e^{z_1} e^{z_2}$
• $e^{z_1 - z_2} = \frac{e^{z_1}}{e^{z_2}}$
• $(e^z)^n = e^{nz}$

对数函数

对数函数：

$f(z) = \ln z = \ln |z| + i \arg(z)$

主值：

$\text{Log } z = \ln |z| + i \text{Arg}(z)$

其中 $-\pi < \text{Arg}(z) \le \pi$。

三角函数

正弦函数：

$\sin z = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}$

余弦函数：

$\cos z = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}$

正切函数：

$\tan z = \frac{\sin z}{\cos z}$

双曲函数

双曲正弦函数：

$\sinh z = \frac{e^z - e^{-z}}{2}$

双曲余弦函数：

$\cosh z = \frac{e^z + e^{-z}}{2}$

复变函数的极限

定义

如果当 $z \to z_0$ 时，$f(z) \to L$，则：

$\lim_{z \to z_0} f(z) = L$

性质

• $\lim_{z \to z_0} [f(z) + g(z)] = \lim_{z \to z_0} f(z) + \lim_{z \to z_0} g(z)$
• $\lim_{z \to z_0} [f(z) g(z)] = \lim_{z \to z_0} f(z) \lim_{z \to z_0} g(z)$
• $\lim_{z \to z_0} \frac{f(z)}{g(z)} = \frac{\lim_{z \to z_0} f(z)}{\lim_{z \to z_0} g(z)}$（如果分母不为 0）

复变函数的连续性

定义

如果 $\lim_{z \to z_0} f(z) = f(z_0)$，则函数 $f(z)$ 在 $z_0$ 处连续。

性质

• 连续函数的和、差、积、商（分母不为 0）都是连续的
• 连续函数的复合函数是连续的

复变函数的导数

定义

复变函数 $f(z)$ 在 $z_0$ 处的导数：

$f'(z_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(z_0 + h) - f(z_0)}{h}$

如果这个极限存在，则称 $f(z)$ 在 $z_0$ 处可导。

解析函数

如果函数 $f(z)$ 在某个区域内每一点都可导，则称 $f(z)$ 在该区域内解析（Analytic）。

柯西-黎曼方程

函数 $f(z) = u(x, y) + iv(x, y)$ 可导的必要条件是满足柯西-黎曼方程：

$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$

如果 $u$ 和 $v$ 的偏导数连续且满足柯西-黎曼方程，则 $f(z)$ 可导。

复变函数的积分

定义

复变函数 $f(z)$ 沿路径 $C$ 的积分：

$\int_C f(z) dz = \int_C (u + iv)(dx + idy) = \int_C (u dx - v dy) + i \int_C (v dx + u dy)$

柯西积分定理

如果 $f(z)$ 在单连通区域 $D$ 内解析，$C$ 是 $D$ 内的简单闭曲线，则：

$\oint_C f(z) dz = 0$

柯西积分公式

如果 $f(z)$ 在区域 $D$ 内解析，$C$ 是 $D$ 内的简单闭曲线，$z_0$ 在 $C$ 内部，则：

$f(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} dz$

复变函数的应用

物理

• ⚡ 电磁学：分析电磁场
• 🔬 流体力学：分析流体的流动

工程

• 📡 信号处理：分析信号的频率特性
• 🏗️ 控制理论：分析系统的稳定性

数学

• 📐 复分析：研究复变函数的性质
• 🔢 数论：解析数论

常见错误

错误 1：可导和连续混淆

• 连续：$\lim_{z \to z_0} f(z) = f(z_0)$
• 可导：导数存在（更强的条件）

错误 2：柯西-黎曼方程使用错误

要正确使用柯西-黎曼方程判断函数是否可导。

错误 3：积分路径错误

要注意积分路径的选择。

小练习

1. 判断函数 $f(z) = z^2$ 是否解析
2. 验证 $f(z) = e^z$ 满足柯西-黎曼方程
3. 计算 $\int_C \frac{1}{z} dz$，其中 $C$ 是单位圆
4. 应用题：在信号处理中，如何用复变函数分析信号的频率特性？

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💡 小贴士：复变函数是从复数到复数的映射。记住：可导函数必须满足柯西-黎曼方程。掌握复变函数，你就能解决许多实际问题！