笛卡尔坐标系

笛卡尔坐标系是最常用的坐标系！从数学到物理，从工程到计算机，笛卡尔坐标系无处不在。

什么是笛卡尔坐标系？

笛卡尔坐标系（Cartesian Coordinate System）也称直角坐标系，在数学中是一种正交坐标系，由法国数学家勒内·笛卡尔引入而得名。

简单理解，笛卡尔坐标系就像"画格子"：

• 用两条（或三条）相互垂直的直线作为坐标轴
• 用数字标记位置
• 每个点都有唯一的坐标

二维笛卡尔坐标系

构成

二维的直角坐标系是由两条相互垂直、相交于原点的数线构成的，通常分别称为 x 轴和 y 轴。

• x 轴：水平轴，通常指向右方，称为横轴
• y 轴：竖直轴，通常指向上方，称为纵轴
• 原点：两个坐标轴的相交点，通常标记为 $O$，既有"零"的意思，又是法语"Origine"的首字母

坐标

为了确定坐标轴的任何一点离原点的距离，假设我们可以刻画数值于坐标轴。那么，从原点开始，往坐标轴所指的方向，每隔一个单位长度，就刻画数值于坐标轴。这数值是刻画的次数，也是离原点的正值整数距离；同样地，背着坐标轴所指的方向，我们也可以刻画出离原点的负值整数距离。

• x 坐标：又称横坐标，表示点在 x 轴上的位置
• y 坐标：又称纵坐标，表示点在 y 轴上的位置

这两个坐标就是直角坐标系的直角坐标，标记为 $(x, y)$。

象限

坐标轴将平面分成四个象限：

• 第一象限：$x > 0, y > 0$
• 第二象限：$x < 0, y > 0$
• 第三象限：$x < 0, y < 0$
• 第四象限：$x > 0, y < 0$

三维笛卡尔坐标系

构成

如果将直角坐标系推广至三维空间，即在原本的二维直角坐标系，再添加一个垂直于 x 轴和 y 轴的坐标轴，称为 z 轴。使得这三个坐标轴满足"右手定则"（Right-hand rule），则可得到三维的直角坐标系。

这 z 轴与 x 轴、y 轴相互正交于原点，那么在三维空间的任何一点 $P$，就可以用直角坐标 $(x, y, z)$ 来表达其位置。

右手定则

在三维空间中，同样面临轴线方向的问题，即在 z 轴以原点为共同点的两条半线中，哪一条半线的点的坐标是正值的，哪一条是负值的？于是形成了两种不同的坐标系统，称为左手坐标系和右手坐标系。其中，右手坐标系又称为标准坐标系或正值坐标系。

右手坐标系这名词是由右手定则而来的：

1. 先将右手的手掌与手指伸直
2. 然后将中指指向往手掌的掌面半空间，与食指呈直角关系
3. 再将大拇指往上指去，与中指、食指都呈直角关系
4. 则大拇指、食指与中指分别表示了右手坐标系的 x 轴、y 轴与 z 轴

同样地，用左手也可以表示出左手坐标系。

坐标

在三维空间中，任何一点 $P$ 可以用直角坐标 $(x, y, z)$ 来表达其位置：

• x 坐标：点在 x 轴上的位置
• y 坐标：点在 y 轴上的位置
• z 坐标：点在 z 轴上的位置

坐标的表示

点的坐标

• 二维：点 $P$ 的坐标表示为 $(x, y)$
• 三维：点 $P$ 的坐标表示为 $(x, y, z)$

例子

例子 1：二维坐标系中的点

• 点 $A(3, 4)$：x 坐标为 3，y 坐标为 4
• 点 $B(-2, 5)$：x 坐标为 -2，y 坐标为 5

例子 2：三维坐标系中的点

• 点 $P(1, 2, 3)$：x 坐标为 1，y 坐标为 2，z 坐标为 3
• 点 $Q(-1, 0, 2)$：x 坐标为 -1，y 坐标为 0，z 坐标为 2

距离公式

二维距离

两点 $A(x_1, y_1)$ 和 $B(x_2, y_2)$ 之间的距离：

$$|AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

三维距离

两点 $P(x_1, y_1, z_1)$ 和 $Q(x_2, y_2, z_2)$ 之间的距离：

$$|PQ| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$$

生活中的应用

地图

• 🗺️ 地图坐标：地图使用坐标系统
• 📍 位置标记：用坐标标记位置

计算机图形学

• 💻 2D 图形：二维图形使用笛卡尔坐标系
• 🎮 3D 图形：三维图形使用三维笛卡尔坐标系

工程

• 🏗️ 工程制图：制图使用坐标系
• 📐 测量：测量中使用坐标系

常见错误

错误 1：坐标顺序错误

坐标的顺序很重要，$(x, y)$ 和 $(y, x)$ 表示不同的点。

错误 2：象限判断错误

要正确判断点所在的象限。

错误 3：距离公式使用错误

距离公式中要注意坐标的差值的平方。

小练习

1. 在二维坐标系中，点 $A(3, 4)$ 和点 $B(-2, 5)$ 之间的距离是多少？
2. 在三维坐标系中，点 $P(1, 2, 3)$ 和点 $Q(4, 5, 6)$ 之间的距离是多少？
3. 判断点 $(2, -3)$ 在哪个象限？
4. 应用题：在地图上，两个城市的坐标分别是 $(100, 200)$ 和 $(150, 250)$，求两个城市之间的距离（单位：公里）

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💡 小贴士：笛卡尔坐标系是最常用的坐标系。记住：二维用 $(x, y)$，三维用 $(x, y, z)$。右手定则可以帮助你确定三维坐标系的方向！