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笛卡尔坐标系

笛卡尔坐标系是最常用的坐标系！从数学到物理，从工程到计算机，笛卡尔坐标系无处不在。

什么是笛卡尔坐标系？​

笛卡尔坐标系（Cartesian Coordinate System）也称直角坐标系，在数学中是一种正交坐标系，由法国数学家勒内·笛卡尔引入而得名。

简单理解，笛卡尔坐标系就像"画格子"：

  • 用两条（或三条）相互垂直的直线作为坐标轴
  • 用数字标记位置
  • 每个点都有唯一的坐标

二维笛卡尔坐标系​

构成​

二维的直角坐标系是由两条相互垂直、相交于原点的数线构成的，通常分别称为 x 轴和 y 轴。

  • x 轴：水平轴，通常指向右方，称为横轴
  • y 轴：竖直轴，通常指向上方，称为纵轴
  • 原点：两个坐标轴的相交点，通常标记为 OO，既有"零"的意思，又是法语"Origine"的首字母

坐标​

为了确定坐标轴的任何一点离原点的距离，假设我们可以刻画数值于坐标轴。那么，从原点开始，往坐标轴所指的方向，每隔一个单位长度，就刻画数值于坐标轴。这数值是刻画的次数，也是离原点的正值整数距离；同样地，背着坐标轴所指的方向，我们也可以刻画出离原点的负值整数距离。

  • x 坐标：又称横坐标，表示点在 x 轴上的位置
  • y 坐标：又称纵坐标，表示点在 y 轴上的位置

这两个坐标就是直角坐标系的直角坐标，标记为 (x,y)(x, y)。

象限​

坐标轴将平面分成四个象限：

  • 第一象限：x>0,y>0x > 0, y > 0
  • 第二象限：x<0,y>0x < 0, y > 0
  • 第三象限：x<0,y<0x < 0, y < 0
  • 第四象限：x>0,y<0x > 0, y < 0

三维笛卡尔坐标系​

构成​

如果将直角坐标系推广至三维空间，即在原本的二维直角坐标系，再添加一个垂直于 x 轴和 y 轴的坐标轴，称为 z 轴。使得这三个坐标轴满足"右手定则"（Right-hand rule），则可得到三维的直角坐标系。

这 z 轴与 x 轴、y 轴相互正交于原点，那么在三维空间的任何一点 PP，就可以用直角坐标 (x,y,z)(x, y, z) 来表达其位置。

右手定则​

在三维空间中，同样面临轴线方向的问题，即在 z 轴以原点为共同点的两条半线中，哪一条半线的点的坐标是正值的，哪一条是负值的？于是形成了两种不同的坐标系统，称为左手坐标系和右手坐标系。其中，右手坐标系又称为标准坐标系或正值坐标系。

右手坐标系这名词是由右手定则而来的：

  1. 先将右手的手掌与手指伸直
  2. 然后将中指指向往手掌的掌面半空间，与食指呈直角关系
  3. 再将大拇指往上指去，与中指、食指都呈直角关系
  4. 则大拇指、食指与中指分别表示了右手坐标系的 x 轴、y 轴与 z 轴

同样地，用左手也可以表示出左手坐标系。

坐标​

在三维空间中，任何一点 PP 可以用直角坐标 (x,y,z)(x, y, z) 来表达其位置：

  • x 坐标：点在 x 轴上的位置
  • y 坐标：点在 y 轴上的位置
  • z 坐标：点在 z 轴上的位置

坐标的表示​

点的坐标​

  • 二维：点 PP 的坐标表示为 (x,y)(x, y)
  • 三维：点 PP 的坐标表示为 (x,y,z)(x, y, z)

例子​

例子 1：二维坐标系中的点

  • 点 A(3,4)A(3, 4)：x 坐标为 3，y 坐标为 4
  • 点 B(−2,5)B(-2, 5)：x 坐标为 -2，y 坐标为 5

例子 2：三维坐标系中的点

  • 点 P(1,2,3)P(1, 2, 3)：x 坐标为 1，y 坐标为 2，z 坐标为 3
  • 点 Q(−1,0,2)Q(-1, 0, 2)：x 坐标为 -1，y 坐标为 0，z 坐标为 2

距离公式​

二维距离​

两点 A(x1,y1)A(x_1, y_1) 和 B(x2,y2)B(x_2, y_2) 之间的距离：

∣AB∣=(x2−x1)2+(y2−y1)2|AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

三维距离​

两点 P(x1,y1,z1)P(x_1, y_1, z_1) 和 Q(x2,y2,z2)Q(x_2, y_2, z_2) 之间的距离：

∣PQ∣=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2|PQ| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}

生活中的应用​

地图​

  • 🗺️ 地图坐标：地图使用坐标系统
  • 📍 位置标记：用坐标标记位置

计算机图形学​

  • 💻 2D 图形：二维图形使用笛卡尔坐标系
  • 🎮 3D 图形：三维图形使用三维笛卡尔坐标系

工程​

  • 🏗️ 工程制图：制图使用坐标系
  • 📐 测量：测量中使用坐标系

常见错误​

错误 1：坐标顺序错误​

坐标的顺序很重要，(x,y)(x, y) 和 (y,x)(y, x) 表示不同的点。

错误 2：象限判断错误​

要正确判断点所在的象限。

错误 3：距离公式使用错误​

距离公式中要注意坐标的差值的平方。

小练习​

  1. 在二维坐标系中，点 A(3,4)A(3, 4) 和点 B(−2,5)B(-2, 5) 之间的距离是多少？
  2. 在三维坐标系中，点 P(1,2,3)P(1, 2, 3) 和点 Q(4,5,6)Q(4, 5, 6) 之间的距离是多少？
  3. 判断点 (2,−3)(2, -3) 在哪个象限？
  4. 应用题：在地图上，两个城市的坐标分别是 (100,200)(100, 200) 和 (150,250)(150, 250)，求两个城市之间的距离（单位：公里）

💡 小贴士：笛卡尔坐标系是最常用的坐标系。记住：二维用 (x,y)(x, y)，三维用 (x,y,z)(x, y, z)。右手定则可以帮助你确定三维坐标系的方向！