等差数列

等差数列是最重要的数列之一！它的规律简单明了，应用非常广泛。

什么是等差数列？

等差数列（Arithmetic Sequence）是相邻两项的差都相等的数列。

定义

如果数列 $\{a_n\}$ 满足：$a_{n+1} - a_n = d$（常数），则这个数列是等差数列。

其中：

• $d$：公差（common difference），相邻两项的差
• $a_1$：首项（first term）

例子

例子 1：

1, 3, 5, 7, 9, ...

• 首项 $a_1 = 1$
• 公差 $d = 2$
• 相邻两项的差都是 $2$

例子 2：

10, 7, 4, 1, -2, ...

• 首项 $a_1 = 10$
• 公差 $d = -3$
• 相邻两项的差都是 $-3$（递减）

例子 3：

5, 5, 5, 5, 5, ...

• 首项 $a_1 = 5$
• 公差 $d = 0$
• 这是常数列（特殊的等差数列）

通项公式

公式

$a_n = a_1 + (n - 1)d$

其中：

• $a_n$：第 $n$ 项
• $a_1$：首项
• $d$：公差
• $n$：项数

推导

• $a_1 = a_1$
• $a_2 = a_1 + d$
• $a_3 = a_2 + d = a_1 + 2d$
• $a_4 = a_3 + d = a_1 + 3d$
• $\ldots$
• $a_n = a_1 + (n - 1)d$

例子

例子 1：求等差数列 1, 3, 5, 7, ... 的第 10 项

• $a_1 = 1$, $d = 2$
• $a_{10} = 1 + (10 - 1) \times 2 = 1 + 18 = 19$

例子 2：等差数列的首项是 5，公差是 -2，求第 8 项

• $a_1 = 5$, $d = -2$
• $a_8 = 5 + (8 - 1) \times (-2) = 5 - 14 = -9$

前 n 项和公式

公式 1

$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$

公式 2

$S_n = \frac{n[2a_1 + (n - 1)d]}{2}$

推导

设 $S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$

方法 1：配对法

• $S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$
• $S_n = a_n + a_{n-1} + \cdots + a_1$（倒序）
• 两式相加：$2S_n = (a_1 + a_n) + (a_2 + a_{n-1}) + \cdots + (a_n + a_1)$
• 因为 $a_1 + a_n = a_2 + a_{n-1} = \cdots$（等差数列的性质）
• 所以 $2S_n = n(a_1 + a_n)$
• 所以 $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$

方法 2：代入通项公式

• $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$
• 因为 $a_n = a_1 + (n - 1)d$
• 所以 $S_n = \frac{n[2a_1 + (n - 1)d]}{2}$

例子

例子 1：求等差数列 1, 3, 5, 7, 9 的前 5 项和

• $a_1 = 1$, $a_5 = 9$, $n = 5$
• $S_5 = \frac{5(1 + 9)}{2} = \frac{5 \times 10}{2} = 25$

例子 2：求等差数列 2, 5, 8, 11, ... 的前 10 项和

• $a_1 = 2$, $d = 3$, $n = 10$
• $S_{10} = \frac{10[2 \times 2 + (10-1) \times 3]}{2} = \frac{10(4 + 27)}{2} = \frac{10 \times 31}{2} = 155$

等差数列的性质

性质 1：中项公式

如果 $a, b, c$ 成等差数列，则 $2b = a + c$（$b$ 是 $a$ 和 $c$ 的等差中项）。

例子：

• 2, 5, 8 成等差数列，因为 $2 \times 5 = 2 + 8 = 10$

性质 2：对称性

在等差数列中，与首末两项等距离的两项和相等。

例子：

• 在 1, 3, 5, 7, 9 中，$a_1 + a_5 = a_2 + a_4 = 1 + 9 = 3 + 7 = 10$

性质 3：项数公式

如果知道首项、末项和公差，可以求项数：

$n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1$

例子：

• 等差数列首项 2，末项 20，公差 3，求项数
• $n = \frac{20 - 2}{3} + 1 = \frac{18}{3} + 1 = 6 + 1 = 7$

生活中的应用

楼梯问题

• 🪜 楼梯有 $n$ 级，第一级高 $a_1$，每级高差 $d$
  • 第 $n$ 级高度：$a_n = a_1 + (n - 1)d$
  • 总高度：$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$

工资问题

• 💰 工资每年增加固定金额
  • 第 $n$ 年工资：$a_n = a_1 + (n - 1)d$
  • $n$ 年总工资：$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$

时间问题

• ⏰ 每隔固定时间发生一次事件
  • 第 $n$ 次发生时间：$a_n = a_1 + (n - 1)d$

植树问题

• 🌳 在一条直线上等距离植树
  • 第 $n$ 棵树的位置：$a_n = a_1 + (n - 1)d$
  • $n$ 棵树的总距离：$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$

常见错误

错误 1：通项公式中 n-1 写成 n

❌ 错误：$a_n = a_1 + nd$
✅ 正确：$a_n = a_1 + (n - 1)d$

错误 2：求和公式使用错误

要分清两个求和公式的使用场景。

错误 3：公差计算错误

❌ 错误：$d = a_n - a_1$
✅ 正确：$d = a_{n+1} - a_n$（相邻两项的差）

小练习

1. 求等差数列 3, 7, 11, 15, ... 的第 10 项
2. 求等差数列 5, 2, -1, -4, ... 的前 8 项和
3. 等差数列的首项是 10，第 5 项是 30，求公差
4. 应用题：楼梯有 10 级，第一级高 20cm，每级高差 5cm，求第 10 级的高度和总高度

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💡 小贴士：等差数列的规律是"相邻两项的差相等"。记住通项公式 $a_n = a_1 + (n - 1)d$ 和求和公式 $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$，你就能解决大部分等差数列问题！