面积计算

面积是图形大小的度量。掌握面积的计算方法，是学习几何的重要内容！

什么是面积？

面积（Area）是平面图形所围成的区域的大小。

简单理解

面积就像"铺地砖"：

• 用单位正方形铺满图形
• 需要多少个单位正方形，面积就是多少

常见图形的面积公式

正方形

$S = a^2$

其中：

• $S$：面积
• $a$：边长

例子：

• 边长 $a = 5$ cm 的正方形
• 面积 $S = 5^2 = 25$ cm²

长方形

$S = ab$

其中：

• $S$：面积
• $a$：长
• $b$：宽

例子：

• 长 $a = 6$ cm，宽 $b = 4$ cm 的长方形
• 面积 $S = 6 \times 4 = 24$ cm²

三角形

$S = \frac{1}{2}bh$

其中：

• $S$：面积
• $b$：底边长
• $h$：对应的高

例子：

• 底 $b = 8$ cm，高 $h = 6$ cm 的三角形
• 面积 $S = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24$ cm²

海伦公式（已知三边）：

$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

其中 $s = \frac{a + b + c}{2}$（半周长）

平行四边形

$S = bh$

其中：

• $S$：面积
• $b$：底边长
• $h$：对应的高

例子：

• 底 $b = 10$ cm，高 $h = 5$ cm 的平行四边形
• 面积 $S = 10 \times 5 = 50$ cm²

菱形

$S = \frac{1}{2}d_1d_2$

其中：

• $S$：面积
• $d_1, d_2$：两条对角线的长度

例子：

• 对角线 $d_1 = 8$ cm，$d_2 = 6$ cm 的菱形
• 面积 $S = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24$ cm²

梯形

$S = \frac{1}{2}(a + b)h$

其中：

• $S$：面积
• $a, b$：上底和下底
• $h$：高

例子：

• 上底 $a = 4$ cm，下底 $b = 8$ cm，高 $h = 5$ cm 的梯形
• 面积 $S = \frac{1}{2}(4 + 8) \times 5 = \frac{1}{2} \times 12 \times 5 = 30$ cm²

圆

$S = \pi r^2$

其中：

• $S$：面积
• $r$：半径
• $\pi$：圆周率

例子：

• 半径 $r = 5$ cm 的圆
• 面积 $S = \pi \times 5^2 = 25\pi \approx 78.54$ cm²

扇形

$S = \frac{n°}{360°} \times \pi r^2 = \frac{1}{2}lr$

其中：

• $S$：面积
• $n°$：圆心角的度数
• $r$：半径
• $l$：弧长

例子：

• 半径 $r = 6$ cm，圆心角 $n° = 60°$ 的扇形
• 面积 $S = \frac{60°}{360°} \times \pi \times 6^2 = \frac{1}{6} \times 36\pi = 6\pi \approx 18.85$ cm²

组合图形的面积

方法 1：分割法

把组合图形分割成几个简单图形，分别计算面积，然后相加。

例子：L 形图形

┌───┐
│   │
│   └───┐
│       │
└───────┘

• 可以分成两个长方形，分别计算面积，然后相加

方法 2：补全法

把组合图形补全成简单图形，计算总面积，然后减去多余部分的面积。

例子：缺角的图形

• 先计算完整图形的面积
• 再减去缺角部分的面积

方法 3：移补法

通过移动、补充图形，把组合图形变成简单图形。

面积单位换算

常用单位

• 平方毫米（mm²）
• 平方厘米（cm²）
• 平方分米（dm²）
• 平方米（m²）
• 平方千米（km²）

换算关系

$1 \text{ m}^2 = 100 \text{ dm}^2 = 10000 \text{ cm}^2 = 1000000 \text{ mm}^2$

$1 \text{ km}^2 = 1000000 \text{ m}^2$

生活中的应用

建筑

• 🏗️ 房间面积：计算房间的面积
• 🏛️ 建筑面积：计算建筑物的面积

设计

• 🎨 平面设计：计算设计区域的面积
• 📐 布局：计算布局的面积

工程

• ⚙️ 材料：计算需要的材料面积
• 🔧 加工：计算加工的面积

常见错误

错误 1：周长和面积混淆

• 周长：所有边的和（长度单位）
• 面积：图形的大小（面积单位）

错误 2：单位错误

面积单位是平方单位（cm², m² 等），不是长度单位。

错误 3：公式使用错误

不同图形有不同的面积公式，要选择正确的公式。

错误 4：忘记除以 2

三角形和梯形的面积公式中都有 $\frac{1}{2}$，不要忘记。

小练习

1. 如果正方形的边长是 8 cm，求面积
2. 如果三角形的底是 10 cm，高是 6 cm，求面积
3. 如果梯形的上底是 5 cm，下底是 9 cm，高是 4 cm，求面积
4. 应用题：一个圆形花坛半径 6 米，要在周围铺一条 1 米宽的小路，求小路的面积

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💡 小贴士：面积是图形的大小。记住：正方形 $S = a^2$，长方形 $S = ab$，三角形 $S = \frac{1}{2}bh$，圆 $S = \pi r^2$。注意单位是平方单位！