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角度和弧度

角度和弧度是度量角大小的两种方式！理解它们的关系，是学习三角函数的基础。

角度（Degree）​

定义​

角度（Degree）是用度（°）来度量角的大小。

单位​

  • 度（°）：一个圆周 = 360°360°
  • 分（′）：1°=60′1° = 60′
  • 秒（″）：1′=60″1′ = 60″

常见角度​

  • 直角：90°90°
  • 平角：180°180°
  • 周角：360°360°
  • 锐角：0°<θ<90°0° < \theta < 90°
  • 钝角：90°<θ<180°90° < \theta < 180°

弧度（Radian）​

定义​

弧度（Radian）是用弧长与半径的比值来度量角的大小。

单位​

弧度用 rad 表示，通常可以省略。

定义式​

如果角 θ\theta 对应的弧长是 ss，半径是 rr，则：

θ=sr rad\theta = \frac{s}{r} \text{ rad}

特殊值​

  • 直角：π2\frac{\pi}{2} rad
  • 平角：π\pi rad
  • 周角：2π2\pi rad

角度和弧度的换算​

换算关系​

180°=π rad180° = \pi \text{ rad}

换算公式​

角度转弧度：

θrad=θdeg×π180°\theta_{\text{rad}} = \theta_{\text{deg}} \times \frac{\pi}{180°}

弧度转角度：

θdeg=θrad×180°π\theta_{\text{deg}} = \theta_{\text{rad}} \times \frac{180°}{\pi}

例子​

例子 1：将 30°30° 转换为弧度

θ=30°×π180°=π6 rad\theta = 30° \times \frac{\pi}{180°} = \frac{\pi}{6} \text{ rad}

例子 2：将 π4\frac{\pi}{4} rad 转换为角度

θ=π4×180°π=45°\theta = \frac{\pi}{4} \times \frac{180°}{\pi} = 45°

例子 3：将 90°90° 转换为弧度

θ=90°×π180°=π2 rad\theta = 90° \times \frac{\pi}{180°} = \frac{\pi}{2} \text{ rad}

常用角度和弧度对照表​

角度弧度角度弧度
0°0°00180°180°π\pi
30°30°π6\frac{\pi}{6}210°210°7π6\frac{7\pi}{6}
45°45°π4\frac{\pi}{4}225°225°5π4\frac{5\pi}{4}
60°60°π3\frac{\pi}{3}240°240°4π3\frac{4\pi}{3}
90°90°π2\frac{\pi}{2}270°270°3π2\frac{3\pi}{2}
120°120°2π3\frac{2\pi}{3}300°300°5π3\frac{5\pi}{3}
135°135°3π4\frac{3\pi}{4}315°315°7π4\frac{7\pi}{4}
150°150°5π6\frac{5\pi}{6}360°360°2π2\pi

为什么使用弧度？​

数学优势​

在数学中，弧度有很多优势：

  • 自然性：弧度是"自然"的角度单位
  • 简化公式：许多公式在弧度下更简洁
  • 微积分：在微积分中，使用弧度更方便

例子​

例子 1：弧长公式

  • 使用弧度：s=rθs = r\theta
  • 使用角度：s=r×θ×π180°s = r \times \theta \times \frac{\pi}{180°}

例子 2：导数公式

  • 使用弧度：ddθsin⁡θ=cos⁡θ\frac{d}{d\theta}\sin\theta = \cos\theta
  • 使用角度：ddθsin⁡θ=cos⁡θ×π180°\frac{d}{d\theta}\sin\theta = \cos\theta \times \frac{\pi}{180°}

什么时候用角度？什么时候用弧度？​

使用角度​

  • 📐 日常测量：测量角度时通常使用度
  • 🧭 导航：航海、航空中使用度
  • 🏗️ 工程：工程制图中使用度

使用弧度​

  • 📊 数学计算：数学计算中通常使用弧度
  • ⚡ 物理：物理计算中通常使用弧度
  • 💻 编程：编程中通常使用弧度

常见错误​

错误 1：换算公式错误​

❌ 错误：180°=π180° = \pi

✅ 正确：180°=π rad180° = \pi \text{ rad}

错误 2：单位混淆​

要分清角度和弧度，注意单位。

错误 3：计算器设置错误​

使用计算器时，要注意角度模式（DEG）和弧度模式（RAD）的设置。

小练习​

  1. 将 45°45° 转换为弧度
  2. 将 π3\frac{\pi}{3} rad 转换为角度
  3. 将 120°120° 转换为弧度
  4. 应用题：一个圆的半径是 5 cm，圆心角是 60°60°，求对应的弧长（用弧度计算）

💡 小贴士：角度和弧度是度量角大小的两种方式。记住：180°=π rad180° = \pi \text{ rad}。在数学计算中通常使用弧度，在日常测量中通常使用角度！