角度和弧度

角度和弧度是度量角大小的两种方式！理解它们的关系，是学习三角函数的基础。

角度（Degree）

定义

角度（Degree）是用度（°）来度量角的大小。

单位

• 度（°）：一个圆周 = $360°$
• 分（′）：$1° = 60′$
• 秒（″）：$1′ = 60″$

常见角度

• 直角：$90°$
• 平角：$180°$
• 周角：$360°$
• 锐角：$0° < \theta < 90°$
• 钝角：$90° < \theta < 180°$

弧度（Radian）

定义

弧度（Radian）是用弧长与半径的比值来度量角的大小。

单位

弧度用 rad 表示，通常可以省略。

定义式

如果角 $\theta$ 对应的弧长是 $s$，半径是 $r$，则：

$$\theta = \frac{s}{r} \text{ rad}$$

特殊值

• 直角：$\frac{\pi}{2}$ rad
• 平角：$\pi$ rad
• 周角：$2\pi$ rad

角度和弧度的换算

换算关系

$$180° = \pi \text{ rad}$$

换算公式

角度转弧度：

$$\theta_{\text{rad}} = \theta_{\text{deg}} \times \frac{\pi}{180°}$$

弧度转角度：

$$\theta_{\text{deg}} = \theta_{\text{rad}} \times \frac{180°}{\pi}$$

例子

例子 1：将 $30°$ 转换为弧度

$$\theta = 30° \times \frac{\pi}{180°} = \frac{\pi}{6} \text{ rad}$$

例子 2：将 $\frac{\pi}{4}$ rad 转换为角度

$$\theta = \frac{\pi}{4} \times \frac{180°}{\pi} = 45°$$

例子 3：将 $90°$ 转换为弧度

$$\theta = 90° \times \frac{\pi}{180°} = \frac{\pi}{2} \text{ rad}$$

常用角度和弧度对照表

角度	弧度	角度	弧度
$0°$	$0$	$180°$	$\pi$
$30°$	$\frac{\pi}{6}$	$210°$	$\frac{7\pi}{6}$
$45°$	$\frac{\pi}{4}$	$225°$	$\frac{5\pi}{4}$
$60°$	$\frac{\pi}{3}$	$240°$	$\frac{4\pi}{3}$
$90°$	$\frac{\pi}{2}$	$270°$	$\frac{3\pi}{2}$
$120°$	$\frac{2\pi}{3}$	$300°$	$\frac{5\pi}{3}$
$135°$	$\frac{3\pi}{4}$	$315°$	$\frac{7\pi}{4}$
$150°$	$\frac{5\pi}{6}$	$360°$	$2\pi$

为什么使用弧度？

数学优势

在数学中，弧度有很多优势：

• 自然性：弧度是"自然"的角度单位
• 简化公式：许多公式在弧度下更简洁
• 微积分：在微积分中，使用弧度更方便

例子

例子 1：弧长公式

• 使用弧度：$s = r\theta$
• 使用角度：$s = r \times \theta \times \frac{\pi}{180°}$

例子 2：导数公式

• 使用弧度：$\frac{d}{d\theta}\sin\theta = \cos\theta$
• 使用角度：$\frac{d}{d\theta}\sin\theta = \cos\theta \times \frac{\pi}{180°}$

什么时候用角度？什么时候用弧度？

使用角度

• 📐 日常测量：测量角度时通常使用度
• 🧭 导航：航海、航空中使用度
• 🏗️ 工程：工程制图中使用度

使用弧度

• 📊 数学计算：数学计算中通常使用弧度
• ⚡ 物理：物理计算中通常使用弧度
• 💻 编程：编程中通常使用弧度

常见错误

错误 1：换算公式错误

❌ 错误：$180° = \pi$

✅ 正确：$180° = \pi \text{ rad}$

错误 2：单位混淆

要分清角度和弧度，注意单位。

错误 3：计算器设置错误

使用计算器时，要注意角度模式（DEG）和弧度模式（RAD）的设置。

小练习

1. 将 $45°$ 转换为弧度
2. 将 $\frac{\pi}{3}$ rad 转换为角度
3. 将 $120°$ 转换为弧度
4. 应用题：一个圆的半径是 5 cm，圆心角是 $60°$，求对应的弧长（用弧度计算）

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💡 小贴士：角度和弧度是度量角大小的两种方式。记住：$180° = \pi \text{ rad}$。在数学计算中通常使用弧度，在日常测量中通常使用角度！