数学基础：代数表达式

代数表达式是数学中的"通用公式"，用字母代替数字，让数学变得更灵活、更强大！

什么是代数表达式？

代数表达式是用数字、字母和运算符号组成的数学式子。

基本概念

• 数字：具体的数值，如 3、5、10
• 字母（变量）：可以代表任何数的符号，常用 x、y、z、a、b、c
• 运算符号：+、-、×、÷ 等

例子

3 + 5          ← 这是算术表达式（只有数字）
3 + x          ← 这是代数表达式（有字母）
x + y          ← 这也是代数表达式
2x + 3         ← 这也是代数表达式

为什么需要代数表达式？

1. 表示未知数

当我们不知道具体数字时，用字母代替：

• 🍎 一个苹果的价格是 x 元，买 3 个要花多少钱？
  • 答案：3x 元

2. 表示规律

用代数表达式可以表示数学规律：

• 📐 长方形的面积 = 长 × 宽
  • 如果长是 a，宽是 b
  • 面积 = a × b 或 ab

3. 解决实际问题

把实际问题转化为数学问题：

• 💰 小明有 x 元，花了 10 元，还剩多少？
  • 答案：x - 10 元

代数表达式的组成部分

项

代数表达式由项组成，项之间用 + 或 - 连接：

2x + 3y - 5
 ↑    ↑    ↑
项1  项2  项3

系数

字母前面的数字叫做系数：

3x
 ↑
系数是 3

如果系数是 1，通常省略不写：

x = 1x

常数项

没有字母的项叫做常数项：

2x + 5
     ↑
   常数项

同类项

含有相同字母（且字母的指数相同）的项叫做同类项：

3x 和 5x     ← 同类项（都是 x）
2x 和 2y     ← 不是同类项（字母不同）
3x² 和 5x    ← 不是同类项（指数不同）

代数表达式的运算

合并同类项

把同类项的系数相加：

3x + 5x = (3 + 5)x = 8x
2a + 3a - a = (2 + 3 - 1)a = 4a

步骤：

1. 找出同类项
2. 系数相加（或相减）
3. 字母部分不变

去括号

括号前是加号

直接去掉括号，符号不变：

3 + (2x + 5) = 3 + 2x + 5 = 2x + 8

括号前是减号

去掉括号，括号里的符号都要变：

3 - (2x + 5) = 3 - 2x - 5 = -2x - 2

规律：

• 加号：符号不变
• 减号：符号全变（+ 变 -，- 变 +）

乘法分配律

一个数乘括号里的和，等于分别乘再相加：

3(x + 2) = 3x + 3×2 = 3x + 6
2(3x - 5) = 2×3x - 2×5 = 6x - 10

代数表达式的化简

化简步骤

1. 去括号（如果有）
2. 合并同类项
3. 按字母顺序排列

例子

例子 1：

3x + 2 + 5x - 1
= 3x + 5x + 2 - 1    （重新排列）
= 8x + 1              （合并同类项）

例子 2：

2(x + 3) + 3(x - 1)
= 2x + 6 + 3x - 3     （去括号）
= 2x + 3x + 6 - 3     （重新排列）
= 5x + 3              （合并同类项）

代数表达式的值

当我们给字母一个具体数值时，可以算出代数表达式的值。

求值步骤

1. 把字母替换成具体数字
2. 按照运算顺序计算

例子

例子 1：当 x = 5 时，求 3x + 2 的值

3x + 2
= 3×5 + 2      （把 x 替换成 5）
= 15 + 2
= 17

例子 2：当 x = 2, y = 3 时，求 2x + 3y 的值

2x + 3y
= 2×2 + 3×3    （把 x 替换成 2，y 替换成 3）
= 4 + 9
= 13

生活中的代数表达式

购物问题

• 💰 一个苹果 x 元，一个香蕉 y 元
  • 买 3 个苹果和 2 个香蕉：3x + 2y 元

距离问题

• 🚗 速度是 v 公里/小时，时间是 t 小时
  • 路程：vt 公里

面积问题

• 📐 长方形的长是 a 米，宽是 b 米
  • 面积：ab 平方米
  • 周长：2(a + b) 米

年龄问题

• 👶 小明今年 x 岁
  • 3 年后：x + 3 岁
  • 5 年前：x - 5 岁

常见错误

错误 1：忘记系数 1

❌ 错误：x + x = x
✅ 正确：x + x = 2x

错误 2：合并不同类项

❌ 错误：3x + 2y = 5xy
✅ 正确：3x + 2y（不能合并，不是同类项）

错误 3：去括号时符号错误

❌ 错误：3 - (x + 2) = 3 - x + 2
✅ 正确：3 - (x + 2) = 3 - x - 2

小练习

1. 化简：3x + 5x = ?
2. 化简：2(x + 3) = ?
3. 当 x = 4 时，求 2x + 5 的值
4. 当 x = 3, y = 2 时，求 3x + 2y 的值
5. 应用题：一本书 x 元，一支笔 y 元，买 2 本书和 3 支笔要花多少钱？

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💡 小贴士：代数表达式就像"数学的模板"，学会了它，你就能解决很多实际问题！记住：同类项才能合并，去括号要注意符号。