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向量

向量是线性代数的基础！理解向量，是学习线性代数的第一步。

什么是向量？​

向量（Vector）是既有大小又有方向的量。

简单理解​

向量就像"带方向的箭头"：

  • 有起点和终点
  • 有长度（大小）
  • 有方向

表示方法​

向量可以用：

  • 有向线段：AB→\overrightarrow{AB}（从 AA 到 BB）
  • 坐标表示：v⃗=(x,y)\vec{v} = (x, y) 或 v⃗=(x,y,z)\vec{v} = (x, y, z)
  • 单位向量：i⃗=(1,0)\vec{i} = (1, 0)，j⃗=(0,1)\vec{j} = (0, 1)（二维）

向量的表示​

坐标表示​

在二维空间中，向量 v⃗\vec{v} 可以表示为：

v⃗=(x,y)\vec{v} = (x, y)

在三维空间中，向量 v⃗\vec{v} 可以表示为：

v⃗=(x,y,z)\vec{v} = (x, y, z)

列向量表示​

向量也可以用列向量的形式表示：

v⃗=[xy]或v⃗=[xyz]\vec{v} = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \quad \text{或} \quad \vec{v} = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}

向量的模长​

定义​

向量的模长（Magnitude）是向量的长度，记作 ∣v⃗∣|\vec{v}|。

公式​

二维向量：

∣v⃗∣=x2+y2|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}

三维向量：

∣v⃗∣=x2+y2+z2|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}

例子​

例子 1：向量 v⃗=(3,4)\vec{v} = (3, 4)

∣v⃗∣=32+42=9+16=25=5|\vec{v}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5

例子 2：向量 v⃗=(1,2,2)\vec{v} = (1, 2, 2)

∣v⃗∣=12+22+22=1+4+4=9=3|\vec{v}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3

单位向量​

定义​

单位向量是模长为 1 的向量。

求法​

如果 v⃗≠0⃗\vec{v} \neq \vec{0}，则单位向量：

e⃗=v⃗∣v⃗∣\vec{e} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}

例子​

例子：向量 v⃗=(3,4)\vec{v} = (3, 4)

  • 模长 ∣v⃗∣=5|\vec{v}| = 5
  • 单位向量 e⃗=(3,4)5=(35,45)\vec{e} = \frac{(3, 4)}{5} = \left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right)

向量的运算​

加法​

如果 u⃗=(x1,y1)\vec{u} = (x_1, y_1)，v⃗=(x2,y2)\vec{v} = (x_2, y_2)，则：

u⃗+v⃗=(x1+x2,y1+y2)\vec{u} + \vec{v} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)

几何意义：向量加法的平行四边形法则或三角形法则

减法​

如果 u⃗=(x1,y1)\vec{u} = (x_1, y_1)，v⃗=(x2,y2)\vec{v} = (x_2, y_2)，则：

u⃗−v⃗=(x1−x2,y1−y2)\vec{u} - \vec{v} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)

数乘​

如果 v⃗=(x,y)\vec{v} = (x, y)，kk 是实数，则：

kv⃗=(kx,ky)k\vec{v} = (kx, ky)

几何意义：

  • 如果 k>0k > 0，方向不变，长度变为原来的 kk 倍
  • 如果 k<0k < 0，方向相反，长度变为原来的 ∣k∣|k| 倍

点积（数量积）​

如果 u⃗=(x1,y1)\vec{u} = (x_1, y_1)，v⃗=(x2,y2)\vec{v} = (x_2, y_2)，则：

u⃗⋅v⃗=x1x2+y1y2\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2

几何意义：

u⃗⋅v⃗=∣u⃗∣∣v⃗∣cos⁡θ\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta

其中 θ\theta 是两向量的夹角

性质：

  • 如果 u⃗⊥v⃗\vec{u} \perp \vec{v}，则 u⃗⋅v⃗=0\vec{u} \cdot \vec{v} = 0
  • 如果 u⃗∥v⃗\vec{u} \parallel \vec{v}，则 u⃗⋅v⃗=∣u⃗∣∣v⃗∣\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|（同向）或 −∣u⃗∣∣v⃗∣-|\vec{u}||\vec{v}|（反向）

叉积（向量积，仅三维）​

如果 u⃗=(x1,y1,z1)\vec{u} = (x_1, y_1, z_1)，v⃗=(x2,y2,z2)\vec{v} = (x_2, y_2, z_2)，则：

u⃗×v⃗=∣i⃗j⃗k⃗x1y1z1x2y2z2∣=(y1z2−z1y2,z1x2−x1z2,x1y2−y1x2)\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end{vmatrix} = (y_1z_2 - z_1y_2, z_1x_2 - x_1z_2, x_1y_2 - y_1x_2)

几何意义：

  • 结果是一个向量，垂直于 u⃗\vec{u} 和 v⃗\vec{v} 所在的平面
  • 方向由右手法则确定
  • 模长 ∣u⃗×v⃗∣=∣u⃗∣∣v⃗∣sin⁡θ|\vec{u} \times \vec{v}| = |\vec{u}||\vec{v}|\sin\theta（θ\theta 是两向量的夹角）

向量的性质​

交换律​

u⃗+v⃗=v⃗+u⃗\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}

结合律​

(u⃗+v⃗)+w⃗=u⃗+(v⃗+w⃗)(\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w} = \vec{u} + (\vec{v} + \vec{w})

分配律​

k(u⃗+v⃗)=ku⃗+kv⃗k(\vec{u} + \vec{v}) = k\vec{u} + k\vec{v} (k+l)v⃗=kv⃗+lv⃗(k + l)\vec{v} = k\vec{v} + l\vec{v}

生活中的应用​

物理​

  • ⚡ 力：力是向量
  • 🚀 速度：速度是向量
  • 📐 加速度：加速度是向量

计算机图形学​

  • 💻 3D 图形：用向量表示 3D 图形
  • 🎮 游戏开发：用向量进行游戏开发

工程​

  • 🏗️ 工程计算：用向量进行工程计算
  • ⚙️ 机械设计：用向量进行机械设计

常见错误​

错误 1：向量和标量混淆​

  • 向量：有大小和方向
  • 标量：只有大小，没有方向

错误 2：点积和叉积混淆​

  • 点积：结果是标量
  • 叉积：结果是向量（仅三维）

错误 3：模长计算错误​

模长公式是 x2+y2\sqrt{x^2 + y^2}（二维）或 x2+y2+z2\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}（三维），不要忘记开平方。

小练习​

  1. 如果向量 u⃗=(1,2)\vec{u} = (1, 2)，v⃗=(3,4)\vec{v} = (3, 4)，求 u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} 和 u⃗−v⃗\vec{u} - \vec{v}
  2. 如果向量 v⃗=(3,4)\vec{v} = (3, 4)，求 ∣v⃗∣|\vec{v}| 和单位向量
  3. 如果向量 u⃗=(1,0)\vec{u} = (1, 0)，v⃗=(0,1)\vec{v} = (0, 1)，求 u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}
  4. 应用题：用向量计算两点 A(1,2)A(1, 2) 和 B(4,5)B(4, 5) 之间的距离

💡 小贴士：向量是线性代数的基础。记住：向量有大小和方向，点积结果是标量，叉积结果是向量。掌握向量的运算，你就能解决很多线性代数问题！