图形的平移、旋转、翻转

图形的变换是几何的重要内容！通过平移、旋转、翻转，我们可以创造出各种美丽的图案。

什么是图形变换？

图形变换（Transformation）是把一个图形变成另一个图形的操作，变换后图形的形状和大小可能改变，也可能不变。

平移

定义

平移（Translation）是把图形沿着某个方向移动一定距离的变换。

性质

• 形状不变：平移后图形的形状和大小不变
• 方向不变：平移后图形的方向不变
• 对应点连线平行且相等：所有对应点的连线都平行且相等

表示

平移可以用向量表示：

$\vec{v} = (a, b)$

表示向右移动 $a$ 个单位，向上移动 $b$ 个单位。

例子

例子：把点 $A(2, 3)$ 向右平移 3 个单位，向上平移 2 个单位

• 平移向量：$\vec{v} = (3, 2)$
• 新位置：$A'(2 + 3, 3 + 2) = (5, 5)$

坐标公式

如果点 $P(x, y)$ 沿向量 $\vec{v} = (a, b)$ 平移，则：

$P'(x + a, y + b)$

旋转

定义

旋转（Rotation）是把图形绕某个点（旋转中心）旋转一定角度的变换。

性质

• 形状不变：旋转后图形的形状和大小不变
• 距离不变：旋转中心到图形上任意一点的距离不变
• 角度相等：所有对应点与旋转中心的连线所成的角都相等

表示

旋转需要指定：

• 旋转中心：绕哪个点旋转
• 旋转角度：旋转多少度
• 旋转方向：顺时针或逆时针

例子

例子：把点 $A$ 绕原点 $O$ 逆时针旋转 $90°$

• 如果 $A(3, 0)$，旋转后 $A'(0, 3)$
• 如果 $A(0, 3)$，旋转后 $A'(-3, 0)$

坐标公式

如果点 $P(x, y)$ 绕原点逆时针旋转 $\theta$ 角，则：

$P'(x\cos\theta - y\sin\theta, x\sin\theta + y\cos\theta)$

特殊角度：

• 旋转 $90°$：$P'(-y, x)$
• 旋转 $180°$：$P'(-x, -y)$
• 旋转 $270°$：$P'(y, -x)$

翻转（反射）

定义

翻转（Reflection）是把图形关于一条直线（对称轴）翻折的变换。

性质

• 形状不变：翻转后图形的形状和大小不变
• 距离相等：对称轴到图形上任意一点的距离等于到对应点的距离
• 角度相等：对称轴与连接对应点的线段垂直

表示

翻转需要指定对称轴（关于哪条直线翻转）。

例子

例子 1：关于 $x$ 轴翻转

• 如果 $A(3, 4)$，翻转后 $A'(3, -4)$

例子 2：关于 $y$ 轴翻转

• 如果 $A(3, 4)$，翻转后 $A'(-3, 4)$

例子 3：关于直线 $y = x$ 翻转

• 如果 $A(3, 4)$，翻转后 $A'(4, 3)$

坐标公式

关于 $x$ 轴翻转： $P'(x, -y)$

关于 $y$ 轴翻转： $P'(-x, y)$

关于直线 $y = x$ 翻转： $P'(y, x)$

缩放

定义

缩放（Dilation）是把图形按一定比例放大或缩小的变换。

性质

• 形状不变：缩放后图形的形状不变（相似）
• 大小改变：缩放后图形的大小改变
• 比例相等：所有对应边的比例都相等

表示

缩放需要指定：

• 缩放中心：以哪个点为中心缩放
• 缩放比例：$k$（$k > 1$ 放大，$0 < k < 1$ 缩小）

坐标公式

如果点 $P(x, y)$ 以原点为中心，按比例 $k$ 缩放，则：

$P'(kx, ky)$

复合变换

定义

复合变换是把多个变换组合起来。

例子

例子：先平移，再旋转

• 先沿向量 $(2, 3)$ 平移
• 再绕原点旋转 $90°$

注意：变换的顺序很重要，先平移再旋转和先旋转再平移的结果通常不同。

生活中的应用

计算机图形学

• 💻 图形处理：图像的平移、旋转、缩放
• 🎮 游戏开发：游戏中的图形变换

设计

• 🎨 图案设计：通过变换创造图案
• 📐 平面设计：设计中的图形变换

工程

• 🏗️ 制图：工程制图中的图形变换
• ⚙️ 机械设计：机械零件的变换

常见错误

错误 1：变换顺序错误

复合变换的顺序很重要，不能随意改变。

错误 2：坐标公式使用错误

要分清不同变换的坐标公式。

错误 3：旋转方向混淆

要明确是顺时针还是逆时针旋转。

小练习

1. 把点 $A(2, 3)$ 向右平移 4 个单位，向上平移 2 个单位，求新坐标
2. 把点 $B(3, 4)$ 绕原点逆时针旋转 $90°$，求新坐标
3. 把点 $C(5, 6)$ 关于 $x$ 轴翻转，求新坐标
4. 应用题：设计一个通过平移、旋转、翻转创造的图案

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💡 小贴士：图形变换是创造图案的工具。记住：平移是移动，旋转是转动，翻转是镜像。掌握变换，你就能创造出各种美丽的图案！