函数的性质
函数的性质帮助我们更好地理解和分析函数。掌握这些性质，你就能快速判断函数的特点！
函数的单调性
单调递增
定义：如果对于定义域内的任意 x₁ < x₂，都有 f(x₁) < f(x₂)，则函数是单调递增。
图像特征：从左到右上升
例子：
- y = x（直线上升）
- y = x³（曲线上升）
- y = 2ˣ（指数增长）
单调递减
定义：如果对于定义域内的任意 x₁ < x₂，都有 f(x₁) > f(x₂)，则函数是单调递减。
图像特征：从左到右下降
例子：
- y = -x（直线下降）
- y = (1/2)ˣ（指数衰减）
- y = 1/x（x > 0 时）
判断单调性的方法
方法 1：图像法
观察函数图像：
- 如果从左到右上升：单调递增
- 如果从左到右下降：单调递减
方法 2：定义法
比较 f(x₁) 和 f(x₂) 的大小：
- 如果 x₁ < x₂ 时，f(x₁) < f(x₂)：单调递增
- 如果 x₁ < x₂ 时，f(x₁) > f(x₂)：单调递减
方法 3：导数法（高等数学）
如果 f'(x) > 0：单调递增 如果 f'(x) < 0：单调递减
函数的奇偶性
奇函数
定义：如果对于定义域内的任意 x，都有 f(-x) = -f(x)，则函数是奇函数。
图像特征：关于原点对称
例子：
- y = x
- y = x³
- y = sin x
- y = 1/x
性质：
- 如果奇函数在 x = 0 处有定义，则 f(0) = 0
偶函数
定义：如果对于定义域内的任意 x，都有 f(-x) = f(x)，则函数是偶函数。
图像特征：关于 y 轴对称
例子：
- y = x²
- y = x⁴
- y = cos x
- y = |x|
性质：
- 偶函数的图像关于 y 轴对称
判断奇偶性的方法
方法 1：定义法
计算 f(-x)：
- 如果 f(-x) = -f(x)：奇函数
- 如果 f(-x) = f(x)：偶函数
- 如果都不满足：既不是奇函数也不是偶函数
方法 2：图像法
观察函数图像：
- 关于原点对称：奇函数
- 关于 y 轴对称：偶函数
奇偶性的运算
- 奇函数 + 奇函数 = 奇函数
- 偶函数 + 偶函数 = 偶函数
- 奇函数 × 奇函数 = 偶函数
- 偶函数 × 偶函数 = 偶函数
- 奇函数 × 偶函数 = 奇函数
函数的周期性
周期函数
定义：如果存在常数 T（T ≠ 0），使得对于定义域内的任意 x，都有 f(x + T) = f(x)，则函数是周期函数。
T 叫做函数的周期。
最小正周期：如果 T 是周期，且 T > 0，且不存在更小的正周期，则 T 是最小正周期。
图像特征：图像重复出现
例子：
- y = sin x（周期 2π）
- y = cos x（周期 2π）
- y = tan x（周期 π）
判断周期性的方法
- 找出可能的周期 T
- 验证 f(x + T) = f(x) 是否对所有 x 成立
- 找出最小正周期
函数的有界性
有界函数
定义：如果存在常数 M，使得对于定义域内的任意 x，都有 |f(x)| ≤ M，则函数是有界函数。
例子：
- y = sin x（|sin x| ≤ 1）
- y = cos x（|cos x| ≤ 1）
- y = 1/(1 + x²)（有上界 1）
无界函数
定义：如果不存在这样的常数 M，则函数是无界函数。
例子：
- y = x（无界）
- y = x²（无上界）
- y = 2ˣ（无上界）
函数的连续性
连续函数
直观理解：函数图像是一条连续不断的曲线，没有"断点"。
严格定义（高等数学）：
- 函数在点 x₀ 处连续：lim(x→x₀) f(x) = f(x₀)
- 函数在区间上连续：在区间内每一点都连续
例子：
- y = x²（在所有点连续）
- y = sin x（在所有点连续）
- y = 1/x（在 x = 0 处不连续）
间断点
函数不连续的点叫做间断点。
例子：
- y = 1/x 在 x = 0 处有间断点
- y = tan x 在 x = π/2 + kπ 处有间断点
函数的极值
极大值
定义：如果存在点 x₀，使得在 x₀ 的某个邻域内，f(x) ≤ f(x₀)，则 f(x₀) 是极大值。
图像特征：局部最高点
极小值
定义：如果存在点 x₀，使得在 x₀ 的某个邻域内，f(x) ≥ f(x₀)，则 f(x₀) 是极小值。
图像特征：局部最低点
最值
最大值：函数在整个 定义域上的最大值 最小值：函数在整个定义域上的最小值
例子：
- y = x² 的最小值是 0（在 x = 0 处）
- y = sin x 的最大值是 1，最小值是 -1
函数的对称性
关于原点对称（奇函数）
f(-x) = -f(x)
关于 y 轴对称（偶函数）
f(-x) = f(x)
关于直线 y = x 对称（反函数）
如果 y = f(x) 和 y = f⁻¹(x) 互为反函数，它们的图像关于直线 y = x 对称。
综合应用
例子：分析函数 y = x² - 4x + 3
-
单调性：
- 在 (-∞, 2) 上单调递减
- 在 (2, +∞) 上单调递增
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奇偶性：
- f(-x) = x² + 4x + 3 ≠ f(x) 且 ≠ -f(x)
- 既不是奇函数也不是偶函数
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极值：
- 在 x = 2 处取得极小值 y = -1
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有界性：
- 有下界 -1，无上界
小练习
- 判断函数 y = x³ 的奇偶性和单调性
- 判断函数 y = x² + 1 的奇偶性和有界性
- 分析函数 y = 1/x 的性质（定义域、值域、单调性、奇偶性）
- 找出函数 y = sin x 的周期、有界性和奇偶性
💡 小贴士：函数的性质帮助我们全面了解函数的特点。记住：单调性看增减，奇偶性看对称，周期性看重复，有界性看范围！