复数的运算

掌握复数的运算，是使用复数的关键！

复数的加法

定义

两个复数 $z_1 = a_1 + b_1 i$ 和 $z_2 = a_2 + b_2 i$ 的和：

$z_1 + z_2 = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)i$

即实部和虚部分别相加。

例子

例子：$(3 + 4i) + (1 + 2i) = (3 + 1) + (4 + 2)i = 4 + 6i$

性质

• 交换律：$z_1 + z_2 = z_2 + z_1$
• 结合律：$(z_1 + z_2) + z_3 = z_1 + (z_2 + z_3)$
• 零元：$z + 0 = z$（$0 = 0 + 0i$）
• 负元：$z + (-z) = 0$（$-z = -a - bi$）

复数的减法

定义

两个复数 $z_1 = a_1 + b_1 i$ 和 $z_2 = a_2 + b_2 i$ 的差：

$z_1 - z_2 = (a_1 - a_2) + (b_1 - b_2)i$

即实部和虚部分别相减。

例子

例子：$(3 + 4i) - (1 + 2i) = (3 - 1) + (4 - 2)i = 2 + 2i$

复数的乘法

定义

两个复数 $z_1 = a_1 + b_1 i$ 和 $z_2 = a_2 + b_2 i$ 的积：

$z_1 z_2 = (a_1 + b_1 i)(a_2 + b_2 i)$

展开并利用 $i^2 = -1$：

$z_1 z_2 = a_1 a_2 + a_1 b_2 i + b_1 a_2 i + b_1 b_2 i^2$

$= (a_1 a_2 - b_1 b_2) + (a_1 b_2 + b_1 a_2)i$

例子

例子：$(3 + 4i)(1 + 2i)$

$= 3 \times 1 + 3 \times 2i + 4i \times 1 + 4i \times 2i$

$= 3 + 6i + 4i + 8i^2 = 3 + 10i - 8 = -5 + 10i$

性质

• 交换律：$z_1 z_2 = z_2 z_1$
• 结合律：$(z_1 z_2) z_3 = z_1 (z_2 z_3)$
• 分配律：$z_1(z_2 + z_3) = z_1 z_2 + z_1 z_3$
• 单位元：$z \times 1 = z$（$1 = 1 + 0i$）

模的性质

$|z_1 z_2| = |z_1| |z_2|$

证明：

$|z_1 z_2|^2 = (z_1 z_2)(\overline{z_1 z_2}) = z_1 z_2 \bar{z_1} \bar{z_2} = (z_1 \bar{z_1})(z_2 \bar{z_2}) = |z_1|^2 |z_2|^2$

复数的除法

定义

两个复数 $z_1 = a_1 + b_1 i$ 和 $z_2 = a_2 + b_2 i$（$z_2 \neq 0$）的商：

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1 \bar{z_2}}{z_2 \bar{z_2}} = \frac{z_1 \bar{z_2}}{|z_2|^2}$

计算方法

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{(a_1 + b_1 i)(a_2 - b_2 i)}{a_2^2 + b_2^2}$

$= \frac{(a_1 a_2 + b_1 b_2) + (b_1 a_2 - a_1 b_2)i}{a_2^2 + b_2^2}$

例子

例子：$\frac{3 + 4i}{1 + 2i}$

$\frac{3 + 4i}{1 + 2i} = \frac{(3 + 4i)(1 - 2i)}{(1 + 2i)(1 - 2i)} = \frac{3 + 4i - 6i - 8i^2}{1 + 4} = \frac{11 - 2i}{5} = \frac{11}{5} - \frac{2}{5}i$

模的性质

$\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}$

复数的幂运算

整数幂

正整数幂

使用乘法定义：

$z^n = z \times z \times \cdots \times z \quad (n \text{ 个 } z)$

负整数幂

$z^{-n} = \frac{1}{z^n} \quad (z \neq 0)$

极坐标形式

如果 $z = r e^{i\theta}$，则：

$z^n = (r e^{i\theta})^n = r^n e^{in\theta} = r^n (\cos n\theta + i \sin n\theta)$

例子：$(1 + i)^4$

• $1 + i = \sqrt{2} e^{i\pi/4}$
• $(1 + i)^4 = (\sqrt{2})^4 e^{i\pi} = 4 e^{i\pi} = 4(-1) = -4$

分数幂（根）

定义

复数 $z = r e^{i\theta}$ 的 $n$ 次根：

$\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r} e^{i(\theta + 2k\pi)/n} \quad (k = 0, 1, 2, \ldots, n-1)$

有 $n$ 个不同的根。

例子

例子：求 $\sqrt[3]{1}$

• $1 = 1 e^{i0}$
• $\sqrt[3]{1} = e^{i(0 + 2k\pi)/3} = e^{i2k\pi/3}$（$k = 0, 1, 2$）

三个根：

• $k = 0$：$e^{i0} = 1$
• $k = 1$：$e^{i2\pi/3} = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$
• $k = 2$：$e^{i4\pi/3} = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$

复数的指数运算

定义

复数 $z = a + bi$ 的指数：

$e^z = e^{a + bi} = e^a e^{bi} = e^a (\cos b + i \sin b)$

性质

• $e^{z_1 + z_2} = e^{z_1} e^{z_2}$
• $e^{z_1 - z_2} = \frac{e^{z_1}}{e^{z_2}}$
• $(e^z)^n = e^{nz}$

复数的对数

定义

复数 $z = r e^{i\theta}$ 的对数：

$\ln z = \ln r + i(\theta + 2k\pi) \quad (k \in \mathbb{Z})$

主值（$k = 0$）：

$\text{Log } z = \ln r + i\theta$

性质

• $\ln(z_1 z_2) = \ln z_1 + \ln z_2$
• $\ln\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \ln z_1 - \ln z_2$
• $\ln(z^n) = n \ln z$

生活中的应用

物理

• ⚡ 电路分析：计算交流电路的电压和电流
• 🔬 量子力学：计算量子态的演化

工程

• 📡 信号处理：处理信号的相位和幅度
• 🏗️ 控制理论：分析系统的稳定性

常见错误

错误 1：乘法计算错误

要正确展开 $(a_1 + b_1 i)(a_2 + b_2 i)$，记住 $i^2 = -1$。

错误 2：除法计算错误

要用共轭复数进行有理化：$\frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1 \bar{z_2}}{|z_2|^2}$。

错误 3：根的计算遗漏

$n$ 次根有 $n$ 个不同的值，不要遗漏。

小练习

1. 计算 $(2 + 3i) + (1 - 4i)$
2. 计算 $(2 + 3i)(1 - 4i)$
3. 计算 $\frac{2 + 3i}{1 - 4i}$
4. 计算 $(1 + i)^8$
5. 应用题：在电路分析中，如何用复数运算计算交流电路的阻抗？

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💡 小贴士：复数的运算要分别处理实部和虚部。记住：乘法时 $i^2 = -1$，除法时要用共轭复数有理化。掌握复数的运算，你就能解决许多实际问题！