单摆和弹簧振子

单摆和弹簧振子是简谐振动的典型例子。理解它们的运动规律，掌握它们的应用，是学习振动的基础。

单摆

什么是单摆？

单摆（Simple Pendulum）：由不可伸长的轻绳（或轻杆）和悬挂在其一端的质点组成的理想模型。

结构：

• 轻绳（或轻杆）：长度 $l$，质量忽略不计
• 质点：质量 $m$，体积忽略不计
• 悬挂点：固定点

通俗理解：单摆就是"钟摆"，像"摆钟"的摆一样。

单摆的运动规律

单摆的运动规律（小角度近似）：

当摆角 $\theta < 5°$（或 $10°$）时，单摆近似做简谐振动。

位移方程（小角度近似）：

$\theta(t) = \theta_0 \cos(\omega t + \phi)$

其中：

• $\theta(t)$：摆角（单位：rad）
• $\theta_0$：最大摆角（单位：rad），振幅
• $\omega$：角频率（单位：rad/s）
• $t$：时间（单位：s）
• $\phi$：初相位（单位：rad）

周期（单摆周期公式）：

$T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$

其中：

• $T$：周期（单位：s）
• $l$：摆长（单位：m）
• $g$：重力加速度（单位：m/s²），通常取 $g = 9.8 \text{ m/s}^2$ 或 $10 \text{ m/s}^2$

频率：

$f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{l}}$

角频率：

$\omega = \frac{2\pi}{T} = \sqrt{\frac{g}{l}}$

通俗理解：

• 周期与摆长的平方根成正比：摆长越长，周期越长
• 周期与重力加速度的平方根成反比：重力越大，周期越短
• 周期与质量无关：质量不同，周期相同（理想单摆）

单摆的特点

单摆的特点：

1. 小角度近似：只有在摆角很小（$\theta < 5°$）时，才近似做简谐振动
2. 周期与质量无关：周期只取决于摆长和重力加速度
3. 等时性：相同摆长，周期相同（理想单摆）

通俗理解：

• 小角度：摆角越小，越接近简谐振动
• 周期固定：相同摆长，周期不变
• 质量无关：质量不影响周期

弹簧振子

什么是弹簧振子？

弹簧振子（Spring Oscillator）：由轻弹簧和质量块组成的理想模型。

结构：

• 轻弹簧：劲度系数 $k$，质量忽略不计
• 质量块：质量 $m$
• 光滑水平面：无摩擦（理想情况）

通俗理解：弹簧振子就是"弹簧上的物体"，像"弹簧玩具"一样。

弹簧振子的运动规律

弹簧振子的运动规律：

弹簧振子做简谐振动（无需小角度近似）。

位移方程：

$x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$

其中：

• $x(t)$：位移（单位：m）
• $A$：振幅（单位：m），位移的最大值
• $\omega$：角频率（单位：rad/s）
• $t$：时间（单位：s）
• $\phi$：初相位（单位：rad）

周期（弹簧振子周期公式）：

$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$

其中：

• $T$：周期（单位：s）
• $m$：质量（单位：kg）
• $k$：劲度系数（单位：N/m）

频率：

$f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$

角频率：

$\omega = \frac{2\pi}{T} = \sqrt{\frac{k}{m}}$

通俗理解：

• 周期与质量的平方根成正比：质量越大，周期越长
• 周期与劲度系数的平方根成反比：劲度越大，周期越短
• 精确简谐振动：弹簧振子始终做简谐振动（无小角度限制）

弹簧振子的特点

弹簧振子的特点：

1. 精确简谐振动：始终做简谐振动（无小角度限制）
2. 周期与质量有关：周期取决于质量和劲度系数
3. 能量守恒：动能和势能相互转换，总能量守恒

通俗理解：

• 精确简谐：弹簧振子总是做简谐振动
• 质量影响：质量越大，周期越长
• 能量转换：动能和势能来回转换

弹簧振子的能量

弹簧振子的能量：

总能量：

$E = \frac{1}{2} k A^2$

其中：

• $E$：总能量（单位：J）
• $k$：劲度系数（单位：N/m）
• $A$：振幅（单位：m）

动能：

$E_k = \frac{1}{2} m v^2$

势能：

$E_p = \frac{1}{2} k x^2$

能量守恒：

$E = E_k + E_p = \frac{1}{2} k A^2 = \text{\text{常数}}$

通俗理解：

• 总能量：只与振幅和劲度系数有关
• 动能和势能：相互转换，总和不变
• 平衡位置：动能最大，势能为零
• 最大位移：动能为零，势能最大

单摆 vs 弹簧振子

对比表

特征	单摆	弹簧振子
周期公式	$T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$	$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$
周期与质量	无关	有关（$T \propto \sqrt{m}$）
周期与长度	有关（$T \propto \sqrt{l}$）	无关（与劲度系数有关）
简谐振动	小角度近似	精确简谐
能量	重力势能和动能	弹性势能和动能

通俗理解：

• 单摆：周期由摆长决定，小角度近似
• 弹簧振子：周期由质量和劲度决定，精确简谐

实际应用

游戏开发

在游戏开发中，单摆和弹簧振子用于：

• 物理引擎：模拟单摆和弹簧振子的运动
• 游戏机制：钟摆、弹簧、弹性效果等
• 动画设计：模拟弹性动画效果

// 单摆和弹簧振子的应用
class PendulumSpringOscillator {
  static G = 9.8; // \text{重力加速度} m/s²
  
  // \text{计算单摆周期}
  static calculatePendulumPeriod(length) {
    // T = 2π√(l/g)
    return 2 * Math.PI * Math.sqrt(length / this.G);
  }
  
  // 计算单摆频率
  static calculatePendulumFrequency(length) {
    // f = 1/T = 1/(2π√(l/g))
    return 1 / this.calculatePendulumPeriod(length);
  }
  
  // 计算单摆角频率
  static calculatePendulumAngularFrequency(length) {
    // ω = 2π/T = √(g/l)
    return Math.sqrt(this.G / length);
  }
  
  // 计算单摆位移（小角度近似）
  static calculatePendulumDisplacement(maxAngle, angularFrequency, time, phase = 0) {
    // θ(t) = θ₀cos(ωt + φ)（\text{角度}：\text{弧度}）
    return maxAngle * Math.cos(angularFrequency * time + phase);
  }
  
  // 计算弹簧振子周期
  static calculateSpringPeriod(mass, springConstant) {
    // T = 2π√(m/k)
    return 2 * Math.PI * Math.sqrt(mass / springConstant);
  }
  
  // 计算弹簧振子频率
  static calculateSpringFrequency(mass, springConstant) {
    // f = 1/T = 1/(2π√(m/k))
    return 1 / this.calculateSpringPeriod(mass, springConstant);
  }
  
  // 计算弹簧振子角频率
  static calculateSpringAngularFrequency(mass, springConstant) {
    // ω = 2π/T = √(k/m)
    return Math.sqrt(springConstant / mass);
  }
  
  // 计算弹簧振子位移
  static calculateSpringDisplacement(amplitude, angularFrequency, time, phase = 0) {
    // x(t) = A cos(ωt + φ)
    return amplitude * Math.cos(angularFrequency * time + phase);
  }
  
  // 计算弹簧振子速度
  static calculateSpringVelocity(amplitude, angularFrequency, time, phase = 0) {
    // v(t) = -Aω sin(ωt + φ)
    return -amplitude * angularFrequency * Math.sin(angularFrequency * time + phase);
  }
  
  // 计算弹簧振子加速度
  static calculateSpringAcceleration(amplitude, angularFrequency, time, phase = 0) {
    // a(t) = -Aω² cos(ωt + φ)
    return -amplitude * angularFrequency * angularFrequency * Math.cos(angularFrequency * time + phase);
  }
  
  // 计算弹簧振子总能量
  static calculateSpringTotalEnergy(springConstant, amplitude) {
    // E = ½kA²
    return 0.5 * springConstant * amplitude * amplitude;
  }
  
  // 计算弹簧振子动能
  static calculateSpringKineticEnergy(mass, velocity) {
    // E_k = ½mv²
    return 0.5 * mass * velocity * velocity;
  }
  
  // 计算弹簧振子势能
  static calculateSpringPotentialEnergy(springConstant, displacement) {
    // E_p = ½kx²
    return 0.5 * springConstant * displacement * displacement;
  }
}

// 使用示例
let pendulumPeriod = PendulumSpringOscillator.calculatePendulumPeriod(1);
// 摆长 1 m
// T = 2π√(1/9.8) ≈ 2.01 s

let pendulumDisplacement = PendulumSpringOscillator.calculatePendulumDisplacement(0.1, 3.13, 0.5);
// 最大摆角 0.1 rad，角频率 3.13 rad/s（摆长 1 m），时间 0.5 s
// θ(0.5) = 0.1 × cos(3.13 × 0.5) ≈ 0.1 × cos(1.565) ≈ 0.007 rad

let springPeriod = PendulumSpringOscillator.calculateSpringPeriod(0.5, 100);
// 质量 0.5 kg，劲度系数 100 N/m
// T = 2π√(0.5/100) ≈ 0.444 s

let springDisplacement = PendulumSpringOscillator.calculateSpringDisplacement(0.05, 14.14, 0.1);
// 振幅 0.05 m，角频率 14.14 rad/s（质量 0.5 kg，劲度 100 N/m），时间 0.1 s
// x(0.1) = 0.05 × cos(14.14 × 0.1) ≈ 0.05 × cos(1.414) ≈ 0.005 m

let springTotalEnergy = PendulumSpringOscillator.calculateSpringTotalEnergy(100, 0.05);
// 劲度系数 100 N/m，振幅 0.05 m
// E = ½ × 100 × 0.05² = 0.125 J

电子工程

在电子工程中，单摆和弹簧振子用于：

• 传感器应用：加速度传感器、振动传感器等
• 滤波器设计：利用振动特性设计滤波器
• 时钟系统：利用单摆的等时性设计时钟

Arduino/Raspberry Pi

在 Arduino/Raspberry Pi 中，单摆和弹簧振子用于：

• 传感器应用：加速度传感器、振动传感器等
• 时钟系统：利用单摆设计时钟系统
• 控制应用：利用振动特性进行控制

常见问题

1. 单摆周期

问题：单摆，摆长 0.5 m，求周期（取 $g = 10 \text{ m/s}^2$）。

分析： $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} = 2\pi \sqrt{\frac{0.5}{10}} = 2\pi \sqrt{0.05} \approx 1.41 \text{ s}$

2. 弹簧振子周期

问题：弹簧振子，质量 0.2 kg，劲度系数 80 N/m，求周期。

分析： $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi \sqrt{\frac{0.2}{80}} = 2\pi \sqrt{0.0025} \approx 0.314 \text{ s}$

3. 弹簧振子能量

问题：弹簧振子，劲度系数 100 N/m，振幅 0.03 m，求总能量。

分析： $E = \frac{1}{2} k A^2 = \frac{1}{2} \times 100 \times 0.03^2 = 0.045 \text{ J}$

常见错误

1. 公式混淆：单摆和弹簧振子的周期公式不同，注意区分
2. 单位错误：摆长单位是 m，质量单位是 kg，劲度系数单位是 N/m
3. 小角度限制：单摆只有小角度时才近似简谐振动
4. 质量影响：单摆周期与质量无关，弹簧振子周期与质量有关

小结

单摆和弹簧振子的核心内容：

1. 单摆：

   • 周期：$T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$
   • 周期与摆长有关，与质量无关
   • 小角度近似做简谐振动

2. 弹簧振子：

   • 周期：$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$
   • 周期与质量和劲度系数有关
   • 精确做简谐振动

3. 能量：

   • 弹簧振子总能量：$E = \frac{1}{2} k A^2$
   • 能量守恒：动能和势能相互转换

4. 应用：

   • 单摆：钟摆、振动传感器
   • 弹簧振子：弹簧系统、弹性效果

记住：单摆周期 $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$，弹簧振子周期 $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$！