向量的概念和运算

向量是描述物理量的重要工具。理解向量，掌握向量的运算，是学习二维运动的基础。

什么是向量？

向量的定义

向量（Vector）：既有大小又有方向的量。

通俗理解：向量就像箭头，既有长度（大小），又有方向。

向量 vs 标量

物理量可以分为两种：

1. 向量（Vector）：既有大小又有方向

   • 例子：位移、速度、加速度、力、动量等
   • 表示：用带箭头的字母表示，如 $\vec{v}$、$\vec{F}$，或用粗体表示，如 $\mathbf{v}$、$\mathbf{F}$

2. 标量（Scalar）：只有大小，没有方向

   • 例子：质量、时间、温度、能量等
   • 表示：用普通字母表示，如 $m$、$t$、$T$、$E$

向量的表示

向量可以用多种方式表示：

1. 有向线段：用带箭头的线段表示，起点到终点表示方向，长度表示大小
2. 坐标表示：在坐标系中，用坐标表示，如 $\vec{v} = (v_x, v_y)$
3. 单位向量表示：用大小和单位向量的乘积表示，如 $\vec{v} = v\hat{v}$

向量的表示方法

1. 几何表示（有向线段）

    B
    ↑
    |
    |
    A

从点 A 指向点 B 的有向线段表示向量 $\vec{AB}$。

2. 坐标表示

在直角坐标系中，向量可以表示为：

$$\vec{v} = (v_x, v_y)$$

其中：

• $v_x$：向量在 $x$ 轴上的分量（水平分量）
• $v_y$：向量在 $y$ 轴上的分量（竖直分量）

3. 单位向量表示

$$\vec{v} = v_x\hat{i} + v_y\hat{j}$$

其中：

• $\hat{i}$：$x$ 轴方向的单位向量（大小为 1，方向向右）
• $\hat{j}$：$y$ 轴方向的单位向量（大小为 1，方向向上）
• $v_x$、$v_y$：向量的分量

向量的大小（模）

向量的大小（模长）用 $|\vec{v}|$ 或 $v$ 表示：

$$|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$$

通俗理解：向量的大小就是"箭头的长度"。

向量的方向

向量的方向可以用角度表示：

$$\tan\theta = \frac{v_y}{v_x}$$

其中 $\theta$ 是向量与 $x$ 轴正方向的夹角。

向量的基本运算

1. 向量的加法

定义

向量的加法：将两个向量首尾相连，从起点到终点的向量就是和向量。

$$\vec{C} = \vec{A} + \vec{B}$$

方法

1. 三角形法则：

   • 将第一个向量画出来
   • 将第二个向量的起点放在第一个向量的终点
   • 从第一个向量的起点到第二个向量的终点，就是和向量

2. 平行四边形法则：

   • 以两个向量为邻边作平行四边形
   • 从起点画对角线
   • 对角线就是和向量

坐标运算

$$\vec{A} + \vec{B} = (A_x + B_x, A_y + B_y)$$

通俗理解：向量的加法就是对应分量相加。

性质

• 交换律：$\vec{A} + \vec{B} = \vec{B} + \vec{A}$
• 结合律：$(\vec{A} + \vec{B}) + \vec{C} = \vec{A} + (\vec{B} + \vec{C})$

2. 向量的减法

定义

向量的减法：向量的减法可以看作加上负向量。

$$\vec{C} = \vec{A} - \vec{B} = \vec{A} + (-\vec{B})$$

其中 $-\vec{B}$ 是与 $\vec{B}$ 大小相等、方向相反的向量。

方法

1. 几何方法：

   • 将两个向量的起点放在一起
   • 从减数向量的终点指向被减数向量的终点，就是差向量

2. 坐标运算：

   $$\vec{A} - \vec{B} = (A_x - B_x, A_y - B_y)$$

3. 数乘（标量乘法）

定义

数乘：向量与标量的乘积，结果是同方向的向量（标量为正）或反方向的向量（标量为负）。

$$k\vec{v} = (kv_x, kv_y)$$

其中 $k$ 是标量（实数）。

性质

• 大小：$|k\vec{v}| = |k||\vec{v}|$
• 方向：
  • 如果 $k > 0$，方向与 $\vec{v}$ 相同
  • 如果 $k < 0$，方向与 $\vec{v}$ 相反
  • 如果 $k = 0$，结果为零向量

例子

• $2\vec{v}$：大小是 $\vec{v}$ 的 2 倍，方向相同
• $-3\vec{v}$：大小是 $\vec{v}$ 的 3 倍，方向相反
• $0\vec{v} = \vec{0}$：零向量（大小为零，方向任意）

4. 向量的分解

定义

向量的分解：将一个向量分解为两个或多个分向量的过程。

常用方法：正交分解（分解到互相垂直的两个方向）

分解公式

如果向量 $\vec{v}$ 与 $x$ 轴正方向的夹角为 $\theta$：

• 水平分量：$v_x = |\vec{v}|\cos\theta$
• 竖直分量：$v_y = |\vec{v}|\sin\theta$

反过来，如果已知分量：

• 大小：$|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$
• 方向：$\tan\theta = \frac{v_y}{v_x}$

单位向量

什么是单位向量？

单位向量：大小为 1 的向量。

用途：表示方向。

常见单位向量

在直角坐标系中：

• $\hat{i}$：$x$ 轴正方向的单位向量（向右）
• $\hat{j}$：$y$ 轴正方向的单位向量（向上）

单位向量的求法

给定向量 $\vec{v}$，其单位向量为：

$$\hat{v} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}$$

通俗理解：单位向量就是"长度为 1 的箭头"，只表示方向。

实际应用

游戏开发

在游戏开发中，向量用于表示位置、速度、加速度等：

// 向量的定义
class Vector2D {
  constructor(x, y) {
    this.x = x;
    this.y = y;
  }
  
  // 向量的大小
  magnitude() {
    return Math.sqrt(this.x * this.x + this.y * this.y);
  }
  
  // 向量的加法
  add(other) {
    return new Vector2D(this.x + other.x, this.y + other.y);
  }
  
  // 向量的减法
  subtract(other) {
    return new Vector2D(this.x - other.x, this.y - other.y);
  }
  
  // 数乘
  multiply(scalar) {
    return new Vector2D(this.x * scalar, this.y * scalar);
  }
  
  // 单位向量
  normalize() {
    const mag = this.magnitude();
    if (mag === 0) return new Vector2D(0, 0);
    return new Vector2D(this.x / mag, this.y / mag);
  }
}

// 使用示例
let velocity = new Vector2D(10, 5);
let acceleration = new Vector2D(0, -9.8);
let newVelocity = velocity.add(acceleration.multiply(deltaTime));

机器人控制

在机器人控制中，向量用于：

• 位置表示：机器人的位置用向量表示 $(x, y)$
• 速度控制：机器人的速度用向量表示 $(v_x, v_y)$
• 路径规划：路径可以用向量序列表示

图形编程

在图形编程中，向量用于：

• 2D 图形：点、线、面都可以用向量表示
• 3D 图形：三维向量表示空间中的点和方向
• 动画：物体的移动、旋转都可以用向量描述

常见错误

1. 混淆向量和标量：向量有方向，标量没有方向
2. 方向错误：向量的方向判断错误
3. 计算错误：向量的加减法计算错误（注意对应分量）
4. 单位错误：向量的分量单位不统一

小结

向量的基本概念和运算：

1. 向量：既有大小又有方向的量
2. 表示：几何表示、坐标表示、单位向量表示
3. 大小：$|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$
4. 方向：$\tan\theta = \frac{v_y}{v_x}$

向量的基本运算：

1. 加法：$\vec{A} + \vec{B} = (A_x + B_x, A_y + B_y)$
2. 减法：$\vec{A} - \vec{B} = (A_x - B_x, A_y - B_y)$
3. 数乘：$k\vec{v} = (kv_x, kv_y)$
4. 分解：$v_x = |\vec{v}|\cos\theta$，$v_y = |\vec{v}|\sin\theta$

掌握向量的基本运算，是学习二维运动的基础！