跳到主要内容

向量的概念和运算

向量是描述物理量的重要工具。理解向量，掌握向量的运算，是学习二维运动的基础。

什么是向量？​

向量的定义​

向量（Vector）：既有大小又有方向的量。

通俗理解：向量就像箭头，既有长度（大小），又有方向。

向量 vs 标量​

物理量可以分为两种：

  1. 向量（Vector）：既有大小又有方向

    • 例子：位移、速度、加速度、力、动量等
    • 表示：用带箭头的字母表示，如 v⃗\vec{v}、F⃗\vec{F}，或用粗体表示，如 v\mathbf{v}、F\mathbf{F}

  2. 标量（Scalar）：只有大小，没有方向

    • 例子：质量、时间、温度、能量等
    • 表示：用普通字母表示，如 mm、tt、TT、EE

向量的表示​

向量可以用多种方式表示：

  1. 有向线段：用带箭头的线段表示，起点到终点表示方向，长度表示大小
  2. 坐标表示：在坐标系中，用坐标表示，如 v⃗=(vx,vy)\vec{v} = (v_x, v_y)
  3. 单位向量表示：用大小和单位向量的乘积表示，如 v⃗=vv^\vec{v} = v\hat{v}

向量的表示方法​

1. 几何表示（有向线段）​

    B
    ↑
    |
    |
    A

从点 A 指向点 B 的有向线段表示向量 AB⃗\vec{AB}。

2. 坐标表示​

在直角坐标系中，向量可以表示为：

v⃗=(vx,vy)\vec{v} = (v_x, v_y)

其中：

  • vxv_x：向量在 xx 轴上的分量（水平分量）
  • vyv_y：向量在 yy 轴上的分量（竖直分量）

3. 单位向量表示​

v⃗=vxi^+vyj^\vec{v} = v_x\hat{i} + v_y\hat{j}

其中：

  • i^\hat{i}：xx 轴方向的单位向量（大小为 1，方向向右）
  • j^\hat{j}：yy 轴方向的单位向量（大小为 1，方向向上）
  • vxv_x、vyv_y：向量的分量

向量的大小（模）​

向量的大小（模长）用 ∣v⃗∣|\vec{v}| 或 vv 表示：

∣v⃗∣=vx2+vy2|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}

通俗理解：向量的大小就是"箭头的长度"。

向量的方向​

向量的方向可以用角度表示：

tan⁡θ=vyvx\tan\theta = \frac{v_y}{v_x}

其中 θ\theta 是向量与 xx 轴正方向的夹角。

向量的基本运算​

1. 向量的加法​

定义​

向量的加法：将两个向量首尾相连，从起点到终点的向量就是和向量。

C⃗=A⃗+B⃗\vec{C} = \vec{A} + \vec{B}

方法​

  1. 三角形法则：

    • 将第一个向量画出来
    • 将第二个向量的起点放在第一个向量的终点
    • 从第一个向量的起点到第二个向量的终点，就是和向量

  2. 平行四边形法则：

    • 以两个向量为邻边作平行四边形
    • 从起点画对角线
    • 对角线就是和向量

坐标运算​

A⃗+B⃗=(Ax+Bx,Ay+By)\vec{A} + \vec{B} = (A_x + B_x, A_y + B_y)

通俗理解：向量的加法就是对应分量相加。

性质​

  • 交换律：A⃗+B⃗=B⃗+A⃗\vec{A} + \vec{B} = \vec{B} + \vec{A}
  • 结合律：(A⃗+B⃗)+C⃗=A⃗+(B⃗+C⃗)(\vec{A} + \vec{B}) + \vec{C} = \vec{A} + (\vec{B} + \vec{C})

2. 向量的减法​

定义​

向量的减法：向量的减法可以看作加上负向量。

C⃗=A⃗−B⃗=A⃗+(−B⃗)\vec{C} = \vec{A} - \vec{B} = \vec{A} + (-\vec{B})

其中 −B⃗-\vec{B} 是与 B⃗\vec{B} 大小相等、方向相反的向量。

方法​

  1. 几何方法：

    • 将两个向量的起点放在一起
    • 从减数向量的终点指向被减数向量的终点，就是差向量

  2. 坐标运算：

    A⃗−B⃗=(Ax−Bx,Ay−By)\vec{A} - \vec{B} = (A_x - B_x, A_y - B_y)

3. 数乘（标量乘法）​

定义​

数乘：向量与标量的乘积，结果是同方向的向量（标量为正）或反方向的向量（标量为负）。

kv⃗=(kvx,kvy)k\vec{v} = (kv_x, kv_y)

其中 kk 是标量（实数）。

性质​

  • 大小：∣kv⃗∣=∣k∣∣v⃗∣|k\vec{v}| = |k||\vec{v}|
  • 方向：
    • 如果 k>0k > 0，方向与 v⃗\vec{v} 相同
    • 如果 k<0k < 0，方向与 v⃗\vec{v} 相反
    • 如果 k=0k = 0，结果为零向量

例子​

  • 2v⃗2\vec{v}：大小是 v⃗\vec{v} 的 2 倍，方向相同
  • −3v⃗-3\vec{v}：大小是 v⃗\vec{v} 的 3 倍，方向相反
  • 0v⃗=0⃗0\vec{v} = \vec{0}：零向量（大小为零，方向任意）

4. 向量的分解​

定义​

向量的分解：将一个向量分解为两个或多个分向量的过程。

常用方法：正交分解（分解到互相垂直的两个方向）

分解公式​

如果向量 v⃗\vec{v} 与 xx 轴正方向的夹角为 θ\theta：

  • 水平分量：vx=∣v⃗∣cos⁡θv_x = |\vec{v}|\cos\theta
  • 竖直分量：vy=∣v⃗∣sin⁡θv_y = |\vec{v}|\sin\theta

反过来，如果已知分量：

  • 大小：∣v⃗∣=vx2+vy2|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}
  • 方向：tan⁡θ=vyvx\tan\theta = \frac{v_y}{v_x}

单位向量​

什么是单位向量？​

单位向量：大小为 1 的向量。

用途：表示方向。

常见单位向量​

在直角坐标系中：

  • i^\hat{i}：xx 轴正方向的单位向量（向右）
  • j^\hat{j}：yy 轴正方向的单位向量（向上）

单位向量的求法​

给定向量 v⃗\vec{v}，其单位向量为：

v^=v⃗∣v⃗∣\hat{v} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}

通俗理解：单位向量就是"长度为 1 的箭头"，只表示方向。

实际应用​

游戏开发​

在游戏开发中，向量用于表示位置、速度、加速度等：

// 向量的定义
class Vector2D {
  constructor(x, y) {
    this.x = x;
    this.y = y;
  }
  
  // 向量的大小
  magnitude() {
    return Math.sqrt(this.x * this.x + this.y * this.y);
  }
  
  // 向量的加法
  add(other) {
    return new Vector2D(this.x + other.x, this.y + other.y);
  }
  
  // 向量的减法
  subtract(other) {
    return new Vector2D(this.x - other.x, this.y - other.y);
  }
  
  // 数乘
  multiply(scalar) {
    return new Vector2D(this.x * scalar, this.y * scalar);
  }
  
  // 单位向量
  normalize() {
    const mag = this.magnitude();
    if (mag === 0) return new Vector2D(0, 0);
    return new Vector2D(this.x / mag, this.y / mag);
  }
}

// 使用示例
let velocity = new Vector2D(10, 5);
let acceleration = new Vector2D(0, -9.8);
let newVelocity = velocity.add(acceleration.multiply(deltaTime));

机器人控制​

在机器人控制中，向量用于：

  • 位置表示：机器人的位置用向量表示 (x,y)(x, y)
  • 速度控制：机器人的速度用向量表示 (vx,vy)(v_x, v_y)
  • 路径规划：路径可以用向量序列表示

图形编程​

在图形编程中，向量用于：

  • 2D 图形：点、线、面都可以用向量表示
  • 3D 图形：三维向量表示空间中的点和方向
  • 动画：物体的移动、旋转都可以用向量描述

常见错误​

  1. 混淆向量和标量：向量有方向，标量没有方向
  2. 方向错误：向量的方向判断错误
  3. 计算错误：向量的加减法计算错误（注意对应分量）
  4. 单位错误：向量的分量单位不统一

小结​

向量的基本概念和运算：

  1. 向量：既有大小又有方向的量
  2. 表示：几何表示、坐标表示、单位向量表示
  3. 大小：∣v⃗∣=vx2+vy2|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}
  4. 方向：tan⁡θ=vyvx\tan\theta = \frac{v_y}{v_x}

向量的基本运算：

  1. 加法：A⃗+B⃗=(Ax+Bx,Ay+By)\vec{A} + \vec{B} = (A_x + B_x, A_y + B_y)
  2. 减法：A⃗−B⃗=(Ax−Bx,Ay−By)\vec{A} - \vec{B} = (A_x - B_x, A_y - B_y)
  3. 数乘：kv⃗=(kvx,kvy)k\vec{v} = (kv_x, kv_y)
  4. 分解：vx=∣v⃗∣cos⁡θv_x = |\vec{v}|\cos\theta，vy=∣v⃗∣sin⁡θv_y = |\vec{v}|\sin\theta

掌握向量的基本运算，是学习二维运动的基础！