抛体运动

抛体运动是二维运动的经典例子。物体以一定的初速度抛出，在重力作用下做曲线运动。

什么是抛体运动？

定义

抛体运动（Projectile Motion）：物体以一定的初速度抛出，只在重力作用下的运动。

通俗理解：扔东西、投篮、发射炮弹等，都是抛体运动。

特点

1. 初速度不为零：物体以初速度 $v_0$ 抛出
2. 只受重力：忽略空气阻力，只受重力作用
3. 二维运动：在平面内做曲线运动

运动分析

抛体运动可以看作两个一维运动的合成：

• 水平方向：匀速直线运动（没有水平方向的加速度）
• 竖直方向：匀加速直线运动（重力加速度向下）

抛体运动的基本公式

坐标系的建立

建立直角坐标系：

• 原点：抛出点
• $x$ 轴：水平方向，向右为正
• $y$ 轴：竖直方向，向上为正

速度分解

将初速度 $\vec{v}_0$ 分解为：

• 水平初速度：$v_{0x} = v_0\cos\theta$
• 竖直初速度：$v_{0y} = v_0\sin\theta$

其中 $\theta$ 是初速度与水平方向的夹角（抛射角）。

运动方程

水平方向（$x$ 方向）

水平方向是匀速直线运动（$a_x = 0$）：

• 速度：$v_x = v_{0x} = v_0\cos\theta$（恒定）
• 位移：$x = v_{0x}t = v_0\cos\theta \cdot t$

竖直方向（$y$ 方向）

竖直方向是匀加速直线运动（$a_y = -g$）：

• 速度：$v_y = v_{0y} - gt = v_0\sin\theta - gt$
• 位移：$y = v_{0y}t - \frac{1}{2}gt^2 = v_0\sin\theta \cdot t - \frac{1}{2}gt^2$

轨迹方程

从运动方程中消去时间 $t$，得到轨迹方程：

$$y = x\tan\theta - \frac{g}{2v_0^2\cos^2\theta}x^2$$

这是一个抛物线方程。

通俗理解：抛体运动的轨迹是一条抛物线。

特殊抛体运动

1. 平抛运动（$\theta = 0°$）

平抛运动：水平抛出的运动（初速度水平）。

特点

• 初速度：$v_{0x} = v_0$，$v_{0y} = 0$
• 水平方向：匀速直线运动，$x = v_0 t$
• 竖直方向：自由落体运动，$y = -\frac{1}{2}gt^2$（向下为正）

轨迹方程

$$y = -\frac{g}{2v_0^2}x^2$$

例子

• 从桌子上滚下的小球
• 水平射出的子弹（忽略空气阻力）
• 飞机上投下的炸弹

2. 斜抛运动（$\theta \neq 0°$）

斜抛运动：以一定角度抛出的运动。

特点

• 初速度：$v_{0x} = v_0\cos\theta$，$v_{0y} = v_0\sin\theta$
• 水平方向：匀速直线运动
• 竖直方向：先上升后下降的匀加速运动

例子

• 投掷篮球
• 发射炮弹
• 踢足球

3. 竖直上抛（$\theta = 90°$）

竖直上抛：竖直向上抛出的运动。

这其实是一维运动，在《一维运动学》中已经介绍过。

重要参数

1. 飞行时间（总时间）

物体从抛出到落地的时间：

$$t_{\text{总}} = \frac{2v_0\sin\theta}{g}$$

推导：当 $y = 0$（回到抛出点）时，$v_0\sin\theta \cdot t - \frac{1}{2}gt^2 = 0$，得到 $t_{\text{总}} = \frac{2v_0\sin\theta}{g}$。

2. 最大高度

物体能达到的最大高度：

$$h_{\text{最大}} = \frac{v_0^2\sin^2\theta}{2g}$$

推导：在最高点，$v_y = 0$，由 $v_y^2 = v_{0y}^2 - 2gh_{\text{最大}}$，得到 $h_{\text{最大}} = \frac{v_0^2\sin^2\theta}{2g}$。

3. 水平射程

物体在水平方向上飞行的距离：

$$R = \frac{v_0^2\sin 2\theta}{g}$$

推导：当 $y = 0$ 时，$x = R = v_0\cos\theta \cdot t_{\text{总}} = v_0\cos\theta \cdot \frac{2v_0\sin\theta}{g} = \frac{v_0^2\sin 2\theta}{g}$。

注意：$\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$。

4. 最大射程

当 $\sin 2\theta = 1$，即 $\theta = 45°$ 时，水平射程最大：

$$R_{\text{最大}} = \frac{v_0^2}{g}$$

通俗理解：以 45° 角抛出，水平射程最远。

运动特点

对称性

斜抛运动具有对称性：

1. 时间对称：上升时间和下降时间相等，各为 $\frac{t_{\text{总}}}{2} = \frac{v_0\sin\theta}{g}$
2. 速度对称：在相同高度处，上升速度和下降速度大小相等，方向相反
3. 路径对称：上升路径和下降路径关于最高点对称

速度的变化

• 水平速度：$v_x = v_0\cos\theta$（恒定不变）
• 竖直速度：$v_y = v_0\sin\theta - gt$（从 $v_0\sin\theta$ 减小到 0，再变为负值）
• 合速度：$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$（大小变化，方向变化）

实际应用

游戏开发

在游戏开发中，抛体运动用于：

• 弹道计算：计算炮弹、子弹的轨迹
• 角色跳跃：角色的跳跃动画
• 投掷游戏：投掷物品的游戏

// 抛体运动示例
class Projectile {
  constructor(x, y, v0, angle) {
    this.x = x;
    this.y = y;
    this.v0 = v0;
    this.angle = angle; // \text{弧度}
    this.vx = v0 * Math.cos(angle);
    this.vy = v0 * Math.sin(angle);
    this.gravity = 9.8;
    this.time = 0;
  }
  
  update(deltaTime) {
    this.time += deltaTime;
    
    // \text{水平方向}：\text{匀速运动}
    this.x += this.vx * deltaTime;
    
    // \text{竖直方向}：\text{匀加速运动}
    this.vy -= this.gravity * deltaTime;
    this.y += this.vy * deltaTime;
    
    // \text{检查是否落地}
    if (this.y <= 0) {
      this.y = 0;
      this.vy = 0;
    }
  }
}

// 使用示例
let projectile = new Projectile(0, 0, 20, Math.PI / 4); // 45度角抛出

体育运动

在体育中，抛体运动用于：

• 投篮：计算篮球的轨迹
• 投掷：标枪、铅球等投掷项目
• 射箭：计算箭的轨迹

工程应用

在工程中，抛体运动用于：

• 弹道学：计算导弹、火箭的轨迹
• 建筑：计算物料抛射的距离
• 消防：计算水枪的射程

常见问题

1. 求飞行时间

已知初速度和抛射角，求飞行时间：

$t_{\text{总}} = \frac{2v_0\sin\theta}{g}$

例子：以 20 m/s 的初速度，30° 角抛出，求飞行时间。

$t_{\text{总}} = \frac{2 \times 20 \times \sin 30°}{9.8} = \frac{2 \times 20 \times 0.5}{9.8} \approx 2.04 \text{ s}$

2. 求最大高度

已知初速度和抛射角，求最大高度：

$h_{\text{最大}} = \frac{v_0^2\sin^2\theta}{2g}$

例子：以 20 m/s 的初速度，30° 角抛出，求最大高度。

$h_{\text{最大}} = \frac{20^2 \times \sin^2 30°}{2 \times 9.8} = \frac{400 \times 0.25}{19.6} \approx 5.1 \text{ m}$

3. 求水平射程

已知初速度和抛射角，求水平射程：

$R = \frac{v_0^2\sin 2\theta}{g}$

例子：以 20 m/s 的初速度，30° 角抛出，求水平射程。

$R = \frac{20^2 \times \sin 60°}{9.8} = \frac{400 \times 0.866}{9.8} \approx 35.3 \text{ m}$

4. 求最优抛射角

已知初速度，求最大水平射程的抛射角：

当 $\theta = 45°$ 时，水平射程最大。

注意：这是忽略空气阻力的情况。实际中，由于空气阻力的影响，最优抛射角可能略小于 45°。

常见错误

1. 忽略方向：竖直方向的加速度为 $-g$（向下），注意符号
2. 混淆坐标：$x$ 和 $y$ 的方向要正确
3. 单位不统一：确保所有物理量的单位统一
4. 忽略空气阻力：实际情况下，空气阻力会影响抛体运动（尤其在高速时）

小结

抛体运动的核心公式：

1. 水平方向：

   • 速度：$v_x = v_0\cos\theta$（恒定）
   • 位移：$x = v_0\cos\theta \cdot t$

2. 竖直方向：

   • 速度：$v_y = v_0\sin\theta - gt$
   • 位移：$y = v_0\sin\theta \cdot t - \frac{1}{2}gt^2$

3. 重要参数：

   • 飞行时间：$t_{\text{总}} = \frac{2v_0\sin\theta}{g}$
   • 最大高度：$h_{\text{最大}} = \frac{v_0^2\sin^2\theta}{2g}$
   • 水平射程：$R = \frac{v_0^2\sin 2\theta}{g}$
   • 最大射程：当 $\theta = 45°$ 时，$R_{\text{最大}} = \frac{v_0^2}{g}$

记住：抛体运动可以分解为水平方向的匀速运动和竖直方向的匀加速运动！