透镜成像

透镜是利用折射改变光的方向，会聚或发散光线，形成像的光学元件。理解透镜成像的基本原理，掌握透镜成像的规律，是学习光学和实际应用的基础。

什么是透镜？

透镜的定义

透镜（Lens）：利用折射改变光的方向，会聚或发散光线的光学元件。

分类：

1. 凸透镜（Convex Lens）：中间厚、边缘薄的透镜（会聚透镜）
2. 凹透镜（Concave Lens）：中间薄、边缘厚的透镜（发散透镜）

通俗理解：

• 凸透镜：像"放大镜"，中间厚、边缘薄（会聚光线）
• 凹透镜：像"凹镜"，中间薄、边缘厚（发散光线）

透镜的主要参数

透镜的主要参数：

1. 光心（Optical Center，$O$）：透镜中心点
2. 主轴（Principal Axis）：通过光心和两个球心的直线
3. 焦点（Focus，$F$）：平行光经过透镜后会聚（凸透镜）或发散（凹透镜）的点
4. 焦距（Focal Length，$f$）：焦点到光心的距离
5. 物距（Object Distance，$s$）：物到光心的距离
6. 像距（Image Distance，$s'$）：像到光心的距离

通俗理解：

• 光心：透镜的中心点
• 焦点：平行光经过透镜后的会聚点（凸透镜）或发散点（凹透镜）
• 焦距：焦点到光心的距离
• 物距：物体到光心的距离
• 像距：像到光心的距离

透镜成像的基本原理

凸透镜成像

凸透镜（Convex Lens）：会聚透镜，平行光经过凸透镜后会聚到焦点。

特点：

• 中间厚、边缘薄
• 会聚光线（平行光会聚到焦点）
• 可以成实像或虚像

成像规律：

• 物距不同，成像情况不同
• 可以成实像（倒立）或虚像（正立）
• 可以放大、等大或缩小

凹透镜成像

凹透镜（Concave Lens）：发散透镜，平行光经过凹透镜后发散（好像从虚焦点发出）。

特点：

• 中间薄、边缘厚
• 发散光线（平行光发散）
• 总是成虚像、正立、缩小

成像规律：

• 总是成虚像、正立、缩小
• 像距为负（$s' < 0$）
• 放大率小于 1（$|m| < 1$）

透镜成像的三种光线

凸透镜的三条特殊光线

凸透镜的三条特殊光线：

1. 平行于主轴的光线：经过凸透镜后通过焦点（会聚）
2. 通过焦点的光线：经过凸透镜后平行于主轴
3. 通过光心的光线：不改变方向（直线传播）

通俗理解：

• 平行光：经过凸透镜后通过焦点
• 通过焦点的光：经过凸透镜后平行
• 通过光心的光：不改变方向

凹透镜的三条特殊光线

凹透镜的三条特殊光线：

1. 平行于主轴的光线：经过凹透镜后发散，好像从虚焦点发出
2. 指向虚焦点的光线：经过凹透镜后平行于主轴
3. 通过光心的光线：不改变方向（直线传播）

通俗理解：

• 平行光：经过凹透镜后发散（好像从虚焦点发出）
• 指向虚焦点的光：经过凹透镜后平行
• 通过光心的光：不改变方向

透镜成像的特点

凸透镜成像的特点

凸透镜成像的特点（物距变化）：

物距 $s$	像距 $s'$	像的性质	放大率 $m$
$s > 2f$	$f < s' < 2f$	实像、倒立、缩小	$
$s = 2f$	$s' = 2f$	实像、倒立、等大	$
$f < s < 2f$	$s' > 2f$	实像、倒立、放大	$
$s = f$	$s' = \infty$	不成像（平行光）	-
$s < f$	$s' < 0$	虚像、正立、放大	$

通俗理解：

• 物体很远（$s > 2f$）：像小、倒立（像"相机"）
• 物体较远（$s = 2f$）：像等大、倒立
• 物体较近（$f < s < 2f$）：像大、倒立（像"投影仪"）
• 物体很近（$s < f$）：像大、正立（像"放大镜"）

凹透镜成像的特点

凹透镜成像的特点：

• 总是成虚像：像距为负（$s' < 0$）
• 总是正立：放大率为正（$m > 0$）
• 总是缩小：$|m| < 1$

通俗理解：

• 凹透镜：总是成虚像、正立、缩小（像"缩小镜"）

实际应用

游戏开发

在游戏开发中，透镜成像用于：

• 图形渲染：模拟透镜成像效果（如放大镜、照相机）
• 物理引擎：模拟光的折射和成像
• 视觉效果：实现透镜效果、成像效果

// 透镜成像的应用
class LensImaging {
  // 计算凸透镜成像（简化）
  static calculateConvexLensImaging(objectDistance, focalLength) {
    // 透镜成像公式：1/s + 1/s' = 1/f
    // 1/s' = 1/f - 1/s
    // s' = 1 / (1/f - 1/s) = fs / (s - f)
    if (objectDistance === focalLength) {
      return Infinity; // 不成像（平行光）
    }
    return (focalLength * objectDistance) / (objectDistance - focalLength);
  }
  
  // 计算凹透镜成像（简化）
  static calculateConcaveLensImaging(objectDistance, focalLength) {
    // 凹透镜：f < 0
    // s' = fs / (s - f)（公式相同，但 f < 0）
    if (focalLength >= 0) {
      throw new Error("凹透镜焦距必须为负");
    }
    return (focalLength * objectDistance) / (objectDistance - focalLength);
  }
  
  // 计算放大率
  static calculateMagnification(objectDistance, imageDistance) {
    // m = -s'/s
    if (objectDistance === 0) {
      throw new Error("物距不能为零");
    }
    return -imageDistance / objectDistance;
  }
  
  // 判断像的性质（简化）
  static determineImageProperties(objectDistance, focalLength, isConvex = true) {
    const imageDistance = isConvex 
      ? this.calculateConvexLensImaging(objectDistance, focalLength)
      : this.calculateConcaveLensImaging(objectDistance, focalLength);
    
    const magnification = this.calculateMagnification(objectDistance, imageDistance);
    
    const isReal = imageDistance > 0;
    const isVirtual = !isReal;
    const isUpright = magnification > 0;
    const isInverted = !isUpright;
    const isEnlarged = Math.abs(magnification) > 1;
    const isReduced = Math.abs(magnification) < 1;
    const isSameSize = Math.abs(magnification) === 1;
    
    return {
      objectDistance,
      focalLength,
      imageDistance,
      magnification,
      isReal,
      isVirtual,
      isUpright,
      isInverted,
      isEnlarged,
      isReduced,
      isSameSize
    };
  }
}

// 使用示例
let imageDistance1 = LensImaging.calculateConvexLensImaging(3, 1);
// 物距 3 m，焦距 1 m（凸透镜）
// s' = 1×3 / (3-1) = 1.5 m（实像）

let imageDistance2 = LensImaging.calculateConvexLensImaging(0.5, 1);
// 物距 0.5 m，焦距 1 m（凸透镜）
// s' = 1×0.5 / (0.5-1) = -1 m（虚像）

let magnification = LensImaging.calculateMagnification(3, 1.5);
// 物距 3 m，像距 1.5 m
// m = -1.5 / 3 = -0.5（倒立、缩小）

let properties = LensImaging.determineImageProperties(3, 1, true);
// 物距 3 m，焦距 1 m（凸透镜）
// 像距：1.5 m（实像）
// 放大率：-0.5（倒立、缩小）

电子工程

在电子工程中，透镜成像用于：

• 光学系统：设计透镜、成像系统
• 测量系统：光学测量系统
• 显示系统：透镜显示系统

Arduino/Raspberry Pi

在 Arduino/Raspberry Pi 中，透镜成像用于：

• 传感器应用：光传感器、成像传感器
• 实验项目：透镜成像实验
• 视觉应用：视觉系统、图像识别

常见问题

1. 凸透镜成像

问题：物体距离凸透镜 4 m，焦距 1 m，求像距和放大率。

分析：

$s' = \frac{fs}{s - f} = \frac{1 \times 4}{4 - 1} = \frac{4}{3} \approx 1.33 \text{ m}$

$m = -\frac{s'}{s} = -\frac{1.33}{4} = -0.33$

结论：像距 1.33 m（实像），放大率 -0.33（倒立、缩小）。

2. 凹透镜成像

问题：物体距离凹透镜 2 m，焦距 -1 m，求像距和放大率。

分析：

$s' = \frac{fs}{s - f} = \frac{-1 \times 2}{2 - (-1)} = \frac{-2}{3} \approx -0.67 \text{ m}$

$m = -\frac{s'}{s} = -\frac{-0.67}{2} = 0.33$

结论：像距 -0.67 m（虚像），放大率 0.33（正立、缩小）。

常见错误

1. 符号错误：注意物距、像距、焦距的符号规定（实像为正，虚像为负；凸透镜 $f > 0$，凹透镜 $f < 0$）
2. 公式混淆：凸透镜和凹透镜的公式相同，区别在于焦距的符号（凸透镜 $f > 0$，凹透镜 $f < 0$）
3. 成像情况混淆：凸透镜可以成实像或虚像，凹透镜总是成虚像

小结

透镜成像的核心内容：

1. 透镜：利用折射改变光的方向，会聚或发散光线

   • 凸透镜：会聚透镜（中间厚、边缘薄）
   • 凹透镜：发散透镜（中间薄、边缘厚）

2. 成像公式：$\frac{1}{s} + \frac{1}{s'} = \frac{1}{f}$（物距、像距、焦距的关系）

   • 放大率：$m = -\frac{s'}{s}$

3. 凸透镜成像：

   • 可以成实像或虚像
   • 物距 > 2f：实像、倒立、缩小
   • 物距 = 2f：实像、倒立、等大
   • 物距 < 2f 且 > f：实像、倒立、放大
   • 物距 < f：虚像、正立、放大

4. 凹透镜成像：

   • 总是成虚像、正立、缩小（$s' < 0$，$m > 0$，$|m| < 1$）

5. 三条特殊光线：

   • 平行于主轴的光线
   • 通过焦点的光线（凸透镜）或指向虚焦点的光线（凹透镜）
   • 通过光心的光线

记住：透镜成像公式 $\frac{1}{s} + \frac{1}{s'} = \frac{1}{f}$，凸透镜 $f > 0$，凹透镜 $f < 0$，凸透镜可以成实像或虚像，凹透镜总是成虚像！