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透镜成像公式

透镜成像公式是描述透镜成像时物距、像距和焦距关系的公式。掌握透镜成像公式，理解物距、像距、焦距的关系，是学习光学和实际应用的基础。

透镜成像公式​

透镜成像公式​

透镜成像公式（Lens Equation）：

1s+1s′=1f\frac{1}{s} + \frac{1}{s'} = \frac{1}{f}

其中：

  • ss：物距（物到光心的距离，单位：m）
  • s′s'：像距（像到光心的距离，单位：m）
  • ff：焦距（焦点到光心的距离，单位：m）

符号规定：

  • 物距 ss：实物为正（s>0s > 0）
  • 像距 s′s'：实像为正（s′>0s' > 0），虚像为负（s′<0s' < 0）
  • 焦距 ff：凸透镜为正（f>0f > 0），凹透镜为负（f<0f < 0）

通俗理解：

  • 物距：物体到光心的距离（实物为正）
  • 像距：像到光心的距离（实像为正，虚像为负）
  • 焦距：焦点到光心的距离（凸透镜为正，凹透镜为负）

透镜成像公式的推导​

透镜成像公式的推导（简化，几何光学）：

根据相似三角形和折射定律，可以推导出透镜成像公式：

1s+1s′=1f\frac{1}{s} + \frac{1}{s'} = \frac{1}{f}

通俗理解：

  • 公式表示了物距、像距、焦距之间的关系
  • 三个量中知道两个，可以求第三个

放大率公式​

放大率（Magnification，mm）：

m=h′h=−s′sm = \frac{h'}{h} = -\frac{s'}{s}

其中：

  • mm：放大率（单位：1，无量纲）
  • h′h'：像高（单位：m）
  • hh：物高（单位：m）
  • s′s'：像距（单位：m）
  • ss：物距（单位：m）

符号规定：

  • m>0m > 0：正立像（像和物同向）
  • m<0m < 0：倒立像（像和物反向）
  • ∣m∣>1|m| > 1：放大像
  • ∣m∣<1|m| < 1：缩小像
  • ∣m∣=1|m| = 1：等大像

通俗理解：

  • 放大率：像高与物高的比值（或像距与物距的比值的负值）
  • 正数：正立像
  • 负数：倒立像
  • 绝对值大于 1：放大
  • 绝对值小于 1：缩小

透镜成像公式的应用​

1. 求像距​

问题：物体距离透镜 3 m，焦距 1 m（凸透镜），求像距。

分析：

1s+1s′=1f\frac{1}{s} + \frac{1}{s'} = \frac{1}{f}

13+1s′=11\frac{1}{3} + \frac{1}{s'} = \frac{1}{1}

1s′=1−13=23\frac{1}{s'} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}

s′=32=1.5 ms' = \frac{3}{2} = 1.5 \text{ m}

结论：像距 1.5 m（实像，在镜后）。

2. 求物距​

问题：像距 2 m（实像），焦距 1 m（凸透镜），求物距。

分析：

1s+1s′=1f\frac{1}{s} + \frac{1}{s'} = \frac{1}{f}

1s+12=11\frac{1}{s} + \frac{1}{2} = \frac{1}{1}

1s=1−12=12\frac{1}{s} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

s=2 ms = 2 \text{ m}

结论：物距 2 m。

3. 求焦距​

问题：物距 4 m，像距 2 m（实像），求焦距。

分析：

1s+1s′=1f\frac{1}{s} + \frac{1}{s'} = \frac{1}{f}

14+12=1f\frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1}{f}

1f=14+12=34\frac{1}{f} = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4}

f=43≈1.33 mf = \frac{4}{3} \approx 1.33 \text{ m}

结论：焦距 1.33 m（凸透镜）。

4. 求放大率​

问题：物距 3 m，像距 1.5 m（实像），求放大率。

分析：

m=−s′s=−1.53=−0.5m = -\frac{s'}{s} = -\frac{1.5}{3} = -0.5

结论：放大率 -0.5（倒立、缩小）。

特殊情况​

1. 物距等于焦距​

物距等于焦距（s=fs = f）：

1s+1s′=1f\frac{1}{s} + \frac{1}{s'} = \frac{1}{f}

1f+1s′=1f\frac{1}{f} + \frac{1}{s'} = \frac{1}{f}

1s′=0\frac{1}{s'} = 0

s′=∞s' = \infty

结论：像距为无穷大（不成像，平行光）。

2. 物距等于 2 倍焦距​

物距等于 2 倍焦距（s=2fs = 2f）：

1s+1s′=1f\frac{1}{s} + \frac{1}{s'} = \frac{1}{f}

12f+1s′=1f\frac{1}{2f} + \frac{1}{s'} = \frac{1}{f}

1s′=1f−12f=12f\frac{1}{s'} = \frac{1}{f} - \frac{1}{2f} = \frac{1}{2f}

s′=2fs' = 2f

结论：像距等于 2 倍焦距（实像、倒立、等大）。

3. 物距小于焦距​

物距小于焦距（s<fs < f，凸透镜）：

1s+1s′=1f\frac{1}{s} + \frac{1}{s'} = \frac{1}{f}

1s′=1f−1s<0\frac{1}{s'} = \frac{1}{f} - \frac{1}{s} < 0

s′<0s' < 0

结论：像距为负（虚像、正立、放大）。

实际应用​

游戏开发​

在游戏开发中，透镜成像公式用于：

  • 图形渲染：计算透镜成像位置和大小
  • 物理引擎：模拟光的折射和成像
  • 视觉效果：实现透镜效果、成像效果
// 透镜成像公式的应用
class LensEquation {
  // \text{计算像距}（\text{从物距和焦距}）
  static calculateImageDistance(objectDistance, focalLength) {
    // 1/s + 1/s' = 1/f
    // 1/s' = 1/f - 1/s
    // s' = 1 / (1/f - 1/s) = fs / (s - f)
    if (objectDistance === focalLength) {
      return Infinity; // \text{不成像}（\text{平行光}）
    }
    if (objectDistance === 0) {
      throw new Error("\text{物距不能为零}");
    }
    return (focalLength * objectDistance) / (objectDistance - focalLength);
  }
  
  // 计算物距（从像距和焦距）
  static calculateObjectDistance(imageDistance, focalLength) {
    // 1/s = 1/f - 1/s'
    // s = 1 / (1/f - 1/s') = fs' / (s' - f)
    if (imageDistance === focalLength) {
      return Infinity; // \text{不成像}（\text{平行光}）
    }
    if (imageDistance === 0) {
      throw new Error("\text{像距不能为零}");
    }
    return (focalLength * imageDistance) / (imageDistance - focalLength);
  }
  
  // 计算焦距（从物距和像距）
  static calculateFocalLength(objectDistance, imageDistance) {
    // 1/f = 1/s + 1/s'
    // f = 1 / (1/s + 1/s') = ss' / (s + s')
    if (objectDistance === 0 || imageDistance === 0) {
      throw new Error("\text{物距和像距不能为零}");
    }
    return (objectDistance * imageDistance) / (objectDistance + imageDistance);
  }
  
  // 计算放大率（从物距和像距）
  static calculateMagnification(objectDistance, imageDistance) {
    // m = -s'/s
    if (objectDistance === 0) {
      throw new Error("\text{物距不能为零}");
    }
    return -imageDistance / objectDistance;
  }
  
  // 计算像高（从物高和放大率）
  static calculateImageHeight(objectHeight, magnification) {
    // h' = mh
    return magnification * objectHeight;
  }
  
  // 计算物高（从像高和放大率）
  static calculateObjectHeight(imageHeight, magnification) {
    // h = h'/m
    if (magnification === 0) {
      throw new Error("\text{放大率不能为零}");
    }
    return imageHeight / magnification;
  }
  
  // 判断像的性质（从像距和放大率）
  static determineImageProperties(imageDistance, magnification) {
    const isReal = imageDistance > 0;
    const isVirtual = !isReal;
    const isUpright = magnification > 0;
    const isInverted = !isUpright;
    const isEnlarged = Math.abs(magnification) > 1;
    const isReduced = Math.abs(magnification) < 1;
    const isSameSize = Math.abs(magnification) === 1;
    
    return {
      imageDistance,
      magnification,
      isReal,
      isVirtual,
      isUpright,
      isInverted,
      isEnlarged,
      isReduced,
      isSameSize
    };
  }
}

// 使用示例
let imageDistance = LensEquation.calculateImageDistance(3, 1);
// 物距 3 m，焦距 1 m
// s' = 1×3 / (3-1) = 1.5 m

let objectDistance = LensEquation.calculateObjectDistance(1.5, 1);
// 像距 1.5 m，焦距 1 m
// s = 1×1.5 / (1.5-1) = 3 m

let focalLength = LensEquation.calculateFocalLength(3, 1.5);
// 物距 3 m，像距 1.5 m
// f = 3×1.5 / (3+1.5) = 1 m

let magnification = LensEquation.calculateMagnification(3, 1.5);
// 物距 3 m，像距 1.5 m
// m = -1.5 / 3 = -0.5（倒立、缩小）

let imageHeight = LensEquation.calculateImageHeight(2, -0.5);
// 物高 2 m，放大率 -0.5
// h' = -0.5 × 2 = -1 m（倒立、像高 1 m）

let properties = LensEquation.determineImageProperties(1.5, -0.5);
// 像距 1.5 m，放大率 -0.5
// 实像：true
// 虚像：false
// 正立：false
// 倒立：true
// 放大：false
// 缩小：true

电子工程​

在电子工程中，透镜成像公式用于：

  • 光学系统：设计透镜、成像系统
  • 测量系统：光学测量系统
  • 显示系统：透镜显示系统

Arduino/Raspberry Pi​

在 Arduino/Raspberry Pi 中，透镜成像公式用于：

  • 传感器应用：光传感器、成像传感器
  • 实验项目：透镜成像实验
  • 视觉应用：视觉系统、图像识别

常见问题​

1. 像距计算​

问题：物体距离凸透镜 4 m，焦距 1 m，求像距。

分析：

s′=fss−f=1×44−1=43≈1.33 ms' = \frac{fs}{s - f} = \frac{1 \times 4}{4 - 1} = \frac{4}{3} \approx 1.33 \text{ m}

2. 物距计算​

问题：像距 2 m（实像），焦距 1 m，求物距。

分析：

s=fs′s′−f=1×22−1=2 ms = \frac{fs'}{s' - f} = \frac{1 \times 2}{2 - 1} = 2 \text{ m}

3. 焦距计算​

问题：物距 3 m，像距 1.5 m（实像），求焦距。

分析：

f=ss′s+s′=3×1.53+1.5=4.54.5=1 mf = \frac{ss'}{s + s'} = \frac{3 \times 1.5}{3 + 1.5} = \frac{4.5}{4.5} = 1 \text{ m}

4. 放大率计算​

问题：物距 4 m，像距 2 m（实像），求放大率。

分析：

m=−s′s=−24=−0.5m = -\frac{s'}{s} = -\frac{2}{4} = -0.5

常见错误​

  1. 符号错误：注意物距、像距、焦距的符号规定（实像为正，虚像为负；凸透镜 f>0f > 0，凹透镜 f<0f < 0）
  2. 公式应用错误：注意公式的适用条件（物距、像距、焦距不能为零或相等）
  3. 放大率符号理解错误：放大率负值表示倒立，正值表示正立

小结​

透镜成像公式的核心内容：

  1. 透镜成像公式：1s+1s′=1f\frac{1}{s} + \frac{1}{s'} = \frac{1}{f}

    • ss：物距（实物为正）
    • s′s'：像距（实像为正，虚像为负）
    • ff：焦距（凸透镜为正，凹透镜为负）

  2. 放大率公式：m=h′h=−s′sm = \frac{h'}{h} = -\frac{s'}{s}

    • m>0m > 0：正立像
    • m<0m < 0：倒立像
    • ∣m∣>1|m| > 1：放大像
    • ∣m∣<1|m| < 1：缩小像

  3. 特殊情况：

    • s=fs = f：s′=∞s' = \infty（不成像，平行光）
    • s=2fs = 2f：s′=2fs' = 2f（实像、倒立、等大）
    • s<fs < f（凸透镜）：s′<0s' < 0（虚像、正立、放大）

记住：透镜成像公式 1s+1s′=1f\frac{1}{s} + \frac{1}{s'} = \frac{1}{f}，放大率 m=−s′sm = -\frac{s'}{s}，注意符号规定！

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