球面镜成像

球面镜是反射面为球面的镜子。理解球面镜成像的特点，掌握球面镜成像的规律，是学习光学和实际应用的基础。

什么是球面镜？

球面镜的定义

球面镜（Spherical Mirror）：反射面为球面的镜子。

分类：

凹面镜（Concave Mirror）：反射面为凹面（向内凹）
凸面镜（Convex Mirror）：反射面为凸面（向外凸）

通俗理解：

凹面镜：像"勺子内侧"，向内凹
凸面镜：像"勺子外侧"，向外凸

球面镜的主要参数

球面镜的主要参数：

曲率中心（Center of Curvature， $C$ ）：球心
曲率半径（Radius of Curvature， $R$ ）：球半径
焦点（Focus， $F$ ）：焦点（距离顶点 $f = \frac{R}{2}$ ）
顶点（Vertex， $V$ ）：镜面中心点
主轴（Principal Axis）：通过曲率中心和顶点的直线

通俗理解：

曲率中心：球的中心
曲率半径：球的半径
焦点：平行光会聚（凹面镜）或发散（凸面镜）的点
焦距：焦点到顶点的距离， $f = \frac{R}{2}$

凹面镜

凹面镜的定义

凹面镜（Concave Mirror）：反射面为凹面的球面镜。

特点：

反射面向内凹（像"勺子内侧"）
平行光会聚到焦点
可以成实像或虚像

通俗理解：凹面镜就是"向内凹的镜子"，像"勺子内侧"一样。

凹面镜的成像规律

凹面镜的成像规律（物距、像距、焦距的关系）：

\frac{1}{s} + \frac{1}{s'} = \frac{1}{f}

其中：

$s$ ：物距（物到顶点的距离，单位：m）
$s'$ ：像距（像到顶点的距离，单位：m）
$f$ ：焦距（焦点到顶点的距离，单位：m）

符号规定：

物距 $s$ ：实物为正（ $s > 0$ ）
像距 $s'$ ：实像为正（ $s' > 0$ ），虚像为负（ $s' < 0$ ）
焦距 $f$ ：凹面镜为正（ $f > 0$ ）

放大率（Magnification）：

m = \frac{h'}{h} = -\frac{s'}{s}

其中：

$m$ ：放大率（单位：1）
$h'$ ：像高（单位：m）
$h$ ：物高（单位：m）

符号规定：

$m > 0$ ：正立像（像和物同向）
$m < 0$ ：倒立像（像和物反向）
$|m| > 1$ ：放大像
$|m| < 1$ ：缩小像
$|m| = 1$ ：等大像

凹面镜的成像情况

凹面镜的成像情况（物距变化）：

物距 $s$	像距 $s'$	像的性质	放大率 $m$
$s > 2f$	$f < s' < 2f$	实像、倒立、缩小	$
$s = 2f$	$s' = 2f$	实像、倒立、等大	$
$f < s < 2f$	$s' > 2f$	实像、倒立、放大	$
$s = f$	$s' = \infty$	不成像（平行光）	-
$s < f$	$s' < 0$	虚像、正立、放大	$

通俗理解：

物体很远（ $s > 2f$ ）：像小、倒立（像"相机"）
物体较远（ $s = 2f$ ）：像等大、倒立
物体较近（ $f < s < 2f$ ）：像大、倒立（像"投影仪"）
物体很近（ $s < f$ ）：像大、正立（像"放大镜"）

凸面镜

凸面镜的定义

凸面镜（Convex Mirror）：反射面为凸面的球面镜。

特点：

反射面向外凸（像"勺子外侧"）
平行光发散（虚焦点）
总是成虚像、正立、缩小

通俗理解：凸面镜就是"向外凸的镜子"，像"勺子外侧"一样。

凸面镜的成像规律

凸面镜的成像规律：

\frac{1}{s} + \frac{1}{s'} = \frac{1}{f}

符号规定：

物距 $s$ ：实物为正（ $s > 0$ ）
像距 $s'$ ：虚像为负（ $s' < 0$ ）
焦距 $f$ ：凸面镜为负（ $f < 0$ ）

放大率：

m = \frac{h'}{h} = -\frac{s'}{s}

凸面镜的成像情况：

总是成虚像：像距为负（ $s' < 0$ ）
总是正立：放大率为正（ $m > 0$ ）
总是缩小： $|m| < 1$

通俗理解：

凸面镜：总是成虚像、正立、缩小（像"汽车后视镜"）

实际应用

游戏开发

在游戏开发中，球面镜成像用于：

图形渲染：模拟球面镜成像效果（如凸面镜、凹面镜）
视觉效果：实现扭曲效果、鱼眼效果
物理引擎：模拟光的反射和成像

// 球面镜成像的应用
class SphericalMirrors {
  // \text{计算像距}（\text{凹面镜或凸面镜}）
  static calculateImageDistance(objectDistance, focalLength) {
    // 1/s + 1/s' = 1/f
    // 1/s' = 1/f - 1/s
    // s' = 1 / (1/f - 1/s) = fs / (s - f)
    if (objectDistance === focalLength) {
      return Infinity; // \text{不成像}（\text{平行光}）
    }
    return (focalLength * objectDistance) / (objectDistance - focalLength);
  }
  
  // 计算放大率
  static calculateMagnification(objectDistance, imageDistance) {
    // m = -s'/s
    if (objectDistance === 0) {
      throw new Error("\text{物距不能为零}");
    }
    return -imageDistance / objectDistance;
  }
  
  // 计算像高（从物高和放大率）
  static calculateImageHeight(objectHeight, magnification) {
    // h' = mh
    return magnification * objectHeight;
  }
  
  // 判断像的性质（简化）
  static determineImageProperties(objectDistance, focalLength) {
    const imageDistance = this.calculateImageDistance(objectDistance, focalLength);
    const magnification = this.calculateMagnification(objectDistance, imageDistance);
    
    const isReal = imageDistance > 0;
    const isUpright = magnification > 0;
    const isEnlarged = Math.abs(magnification) > 1;
    const isReduced = Math.abs(magnification) < 1;
    const isSameSize = Math.abs(magnification) === 1;
    
    return {
      objectDistance,
      focalLength,
      imageDistance,
      magnification,
      isReal,
      isVirtual: !isReal,
      isUpright,
      isInverted: !isUpright,
      isEnlarged,
      isReduced,
      isSameSize
    };
  }
  
  // 凹面镜成像（简化）
  static concaveMirrorImaging(objectDistance, objectHeight, focalLength) {
    // \text{凹面镜}：f > 0
    if (focalLength <= 0) {
      throw new Error("\text{凹面镜焦距必须为正}");
    }
    
    const imageDistance = this.calculateImageDistance(objectDistance, focalLength);
    const magnification = this.calculateMagnification(objectDistance, imageDistance);
    const imageHeight = this.calculateImageHeight(objectHeight, magnification);
    
    return {
      type: 'concave',
      objectDistance,
      objectHeight,
      focalLength,
      imageDistance,
      magnification,
      imageHeight,
      ...this.determineImageProperties(objectDistance, focalLength)
    };
  }
  
  // 凸面镜成像（简化）
  static convexMirrorImaging(objectDistance, objectHeight, focalLength) {
    // \text{凸面镜}：f < 0
    if (focalLength >= 0) {
      throw new Error("\text{凸面镜焦距必须为负}");
    }
    
    const imageDistance = this.calculateImageDistance(objectDistance, focalLength);
    const magnification = this.calculateMagnification(objectDistance, imageDistance);
    const imageHeight = this.calculateImageHeight(objectHeight, magnification);
    
    return {
      type: 'convex',
      objectDistance,
      objectHeight,
      focalLength,
      imageDistance,
      magnification,
      imageHeight,
      ...this.determineImageProperties(objectDistance, focalLength)
    };
  }
}

// 使用示例
let imageDistance1 = SphericalMirrors.calculateImageDistance(3, 1);
// 物距 3 m，焦距 1 m（凹面镜）
// s' = 1×3 / (3-1) = 1.5 m（实像）

let imageDistance2 = SphericalMirrors.calculateImageDistance(0.5, 1);
// 物距 0.5 m，焦距 1 m（凹面镜）
// s' = 1×0.5 / (0.5-1) = -1 m（虚像）

let magnification = SphericalMirrors.calculateMagnification(3, 1.5);
// 物距 3 m，像距 1.5 m
// m = -1.5 / 3 = -0.5（倒立、缩小）

let imageHeight = SphericalMirrors.calculateImageHeight(2, -0.5);
// 物高 2 m，放大率 -0.5
// h' = -0.5 × 2 = -1 m（倒立、像高 1 m）

let concaveImaging = SphericalMirrors.concaveMirrorImaging(3, 2, 1);
// 物距 3 m，物高 2 m，焦距 1 m（凹面镜）
// 像距：1.5 m（实像）
// 放大率：-0.5（倒立、缩小）
// 像高：1 m

let convexImaging = SphericalMirrors.convexMirrorImaging(3, 2, -1);
// 物距 3 m，物高 2 m，焦距 -1 m（凸面镜）
// 像距：-0.75 m（虚像）
// 放大率：0.25（正立、缩小）
// 像高：0.5 m

电子工程

在电子工程中，球面镜成像用于：

光学系统：设计凹面镜、凸面镜
成像系统：理解球面镜成像规律
激光系统：设计激光反射镜

Arduino/Raspberry Pi

在 Arduino/Raspberry Pi 中，球面镜成像用于：

传感器应用：光传感器、反射传感器
实验项目：球面镜成像实验
视觉应用：视觉系统、图像识别

常见问题

1. 凹面镜像距计算

问题：物体距离凹面镜 4 m，焦距 1 m，求像距。

分析：

$\frac{1}{s} + \frac{1}{s'} = \frac{1}{f}$

$\frac{1}{4} + \frac{1}{s'} = \frac{1}{1}$

$\frac{1}{s'} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

$s' = \frac{4}{3} \approx 1.33 \text{ m}$

结论：像距 1.33 m（实像，在镜前）。

2. 凸面镜像距计算

问题：物体距离凸面镜 2 m，焦距 -1 m，求像距。

分析：

$\frac{1}{s} + \frac{1}{s'} = \frac{1}{f}$

$\frac{1}{2} + \frac{1}{s'} = \frac{1}{-1} = -1$

$\frac{1}{s'} = -1 - \frac{1}{2} = -\frac{3}{2}$

$s' = -\frac{2}{3} \approx -0.67 \text{ m}$

结论：像距 -0.67 m（虚像，在镜后）。

3. 放大率计算

问题：物距 3 m，像距 1.5 m，求放大率。

分析：

$m = -\frac{s'}{s} = -\frac{1.5}{3} = -0.5$

结论：放大率 -0.5（倒立、缩小）。

常见错误

符号错误：注意物距、像距、焦距的符号规定（实像为正，虚像为负）
公式混淆：凹面镜和凸面镜的公式相同，区别在于焦距的符号（凹面镜 $f > 0$ ，凸面镜 $f < 0$ ）
成像情况混淆：凹面镜可以成实像或虚像，凸面镜总是成虚像

小结

球面镜成像的核心内容：

球面镜：
- 凹面镜：反射面为凹面（ $f > 0$ ）
- 凸面镜：反射面为凸面（ $f < 0$ ）
成像公式：
- $\frac{1}{s} + \frac{1}{s'} = \frac{1}{f}$ （物距、像距、焦距的关系）
- $m = -\frac{s'}{s}$ （放大率）
凹面镜成像：
- 可以成实像或虚像
- 物距 > 2f：实像、倒立、缩小
- 物距 = 2f：实像、倒立、等大
- 物距 < 2f 且 > f：实像、倒立、放大
- 物距 < f：虚像、正立、放大
凸面镜成像：
- 总是成虚像、正立、缩小（ $s' < 0$ ， $m > 0$ ， $|m| < 1$ ）
焦距：
- $f = \frac{R}{2}$ （焦距 = 曲率半径 / 2）

记住：球面镜成像公式 $\frac{1}{s} + \frac{1}{s'} = \frac{1}{f}$ ，凹面镜 $f > 0$ ，凸面镜 $f < 0$ ，凸面镜总是成虚像！

什么是球面镜？​

球面镜的定义​

球面镜的主要参数​

凹面镜​

凹面镜的定义​

凹面镜的成像规律​

凹面镜的成像情况​

凸面镜​

凸面镜的定义​

凸面镜的成像规律​

实际应用​

游戏开发​

电子工程​

Arduino/Raspberry Pi​

常见问题​

1. 凹面镜像距计算​

2. 凸面镜像距计算​

3. 放大率计算​

常见错误​

小结​

什么是球面镜？

球面镜的定义

球面镜的主要参数

凹面镜

凹面镜的定义

凹面镜的成像规律

凹面镜的成像情况

凸面镜

凸面镜的定义

凸面镜的成像规律

实际应用

游戏开发

电子工程

Arduino/Raspberry Pi

常见问题

1. 凹面镜像距计算

2. 凸面镜像距计算

3. 放大率计算

常见错误

小结