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电荷和库仑定律

电荷是电学的基本概念，库仑定律描述了电荷之间的相互作用。理解电荷和库仑定律，是学习静电学的基础。

什么是电荷？​

电荷的定义​

电荷（Charge）：物体的一种属性，决定物体在电场中的受力。

通俗理解：电荷就是"带电的多少"，物体带正电或负电。

电荷的种类​

电荷有两种：

  1. 正电荷（Positive Charge）：

    • 符号：++
    • 例子：质子带正电荷
    • 定义：用丝绸摩擦玻璃棒，玻璃棒带正电荷

  2. 负电荷（Negative Charge）：

    • 符号：−-
    • 例子：电子带负电荷
    • 定义：用毛皮摩擦橡胶棒，橡胶棒带负电荷

电荷的性质​

  1. 相互性：同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引
  2. 守恒性：电荷既不能产生，也不能消失，只能转移
  3. 量子化：电荷是量子化的，最小单位是元电荷 e=1.6×10−19 Ce = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}

元电荷​

元电荷（Elementary Charge）：电荷的最小单位。

e=1.6×10−19 Ce = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}

其中 C 是库仑，电荷的单位。

通俗理解：

  • 所有电荷都是元电荷的整数倍
  • 电子带 −e-e，质子带 +e+e

电荷的单位​

电荷的单位：

  1. 库仑（C）：国际单位

    • 1 C = 6.24×10186.24 \times 10^{18} 个元电荷
    • 常用单位

  2. 其他单位：

    • 微库仑（μ\muC），1 μ\muC = 10−610^{-6} C
    • 毫库仑（mC），1 mC = 10−310^{-3} C

库仑定律​

定律内容​

库仑定律（Coulomb's Law）：两个点电荷之间的相互作用力与它们电荷量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比。

F=kq1q2r2F = k\frac{q_1 q_2}{r^2}

其中：

  • FF：库仑力（单位：牛顿，N）
  • kk：库仑常数，k=8.99×109 N\cdotpm²/C²≈9.0×109 N\cdotpm²/C²k = 8.99 \times 10^9 \text{ N·m²/C²} \approx 9.0 \times 10^9 \text{ N·m²/C²}
  • q1q_1、q2q_2：两个点电荷的电荷量（单位：库仑，C）
  • rr：两个点电荷之间的距离（单位：米，m）

通俗理解：

  • 电荷量越大，力越大
  • 距离越近，力越大（与距离的平方成反比）

库仑常数​

库仑常数（kk）：

k=14πε0=8.99×109 N\cdotpm²/C²k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} = 8.99 \times 10^9 \text{ N·m²/C²}

其中 ε0\varepsilon_0 是真空介电常数，ε0=8.85×10−12 C²/(N\cdotpm²)\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \text{ C²/(N·m²)}。

常用近似：k≈9.0×109 N\cdotpm²/C²k \approx 9.0 \times 10^9 \text{ N·m²/C²}

库仑力的方向​

库仑力是矢量，方向：

  • 同种电荷：相互排斥，力沿连线向外
  • 异种电荷：相互吸引，力沿连线向内

矢量表示：

F⃗=kq1q2r2r^\vec{F} = k\frac{q_1 q_2}{r^2}\hat{r}

其中 r^\hat{r} 是从 q1q_1 指向 q2q_2 的单位向量。

注意：

  • 如果 q1q_1 和 q2q_2 同号，F>0F > 0（排斥）
  • 如果 q1q_1 和 q2q_2 异号，F<0F < 0（吸引）

库仑定律与万有引力定律的类比​

库仑定律与万有引力定律形式相似：

特征万有引力库仑力
公式F=Gm1m2r2F = G\frac{m_1 m_2}{r^2}F=kq1q2r2F = k\frac{q_1 q_2}{r^2}
常数G=6.67×10−11G = 6.67 \times 10^{-11}k=9.0×109k = 9.0 \times 10^9
力的性质只有吸引力有吸引力（异号）和排斥力（同号）
力的强弱很弱很强（常数大得多）

通俗理解：

  • 万有引力：只有"拉"（吸引力）
  • 库仑力：可以"拉"（吸引）也可以"推"（排斥）

库仑定律的应用​

1. 两个点电荷​

问题：两个点电荷 q1=2×10−6 Cq_1 = 2 \times 10^{-6} \text{ C} 和 q2=−3×10−6 Cq_2 = -3 \times 10^{-6} \text{ C}，相距 0.1 m，求库仑力。

分析：

F=k∣q1q2∣r2=9.0×109×∣2×10−6×(−3×10−6)∣0.12F = k\frac{|q_1 q_2|}{r^2} = 9.0 \times 10^9 \times \frac{|2 \times 10^{-6} \times (-3 \times 10^{-6})|}{0.1^2}

F=9.0×109×6×10−120.01=9.0×109×6×10−10=5.4 NF = 9.0 \times 10^9 \times \frac{6 \times 10^{-12}}{0.01} = 9.0 \times 10^9 \times 6 \times 10^{-10} = 5.4 \text{ N}

方向：因为电荷异号，相互吸引。

2. 多个点电荷​

问题：三个点电荷在同一条直线上，求其中一个电荷受到的合力。

分析：

  1. 分别计算每个电荷对目标电荷的库仑力
  2. 求矢量和（注意方向）
  3. 得到合力

方法：

F⃗合=F⃗1+F⃗2+F⃗3+⋯\vec{F}_{\text{合}} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3 + \cdots

3. 电荷平衡​

问题：三个点电荷平衡，求电荷的位置或大小。

分析：

  1. 分析每个电荷的受力
  2. 根据平衡条件（合力为零），列出方程
  3. 求解未知量

实际应用​

游戏开发​

在游戏开发中，库仑定律用于：

  • 物理引擎：模拟电荷之间的相互作用
  • 粒子系统：模拟带电粒子的运动
  • 效果模拟：静电效果、电场效果
// 库仑定律的应用
class CoulombLaw {
  static K = 8.99e9; // \text{库仑常数} N·m²/C²
  
  // \text{计算库仑力}
  static calculateForce(q1, q2, distance) {
    // F = k|q₁q₂|/r²
    return this.K * Math.abs(q1 * q2) / (distance * distance);
  }
  
  // 计算库仑力（矢量，一维）
  static calculateForceVector1D(q1, q2, distance) {
    // \text{力的方向}：\text{同号排斥}（\text{正}），\text{异号吸引}（\text{负}）
    let magnitude = this.calculateForce(q1, q2, distance);
    let direction = (q1 * q2 > 0) ? 1 : -1; // \text{同号排斥}，\text{异号吸引}
    return magnitude * direction;
  }
  
  // 计算多个点电荷对目标电荷的合力（一维）
  static calculateTotalForce(targetCharge, charges, positions, targetPosition) {
    let totalForce = 0;
    
    for (let i = 0; i < charges.length; i++) {
      let distance = Math.abs(positions[i] - targetPosition);
      let force = this.calculateForceVector1D(targetCharge, charges[i], distance);
      // \text{方向}：\text{从目标位置指向电荷位置}
      let direction = (positions[i] > targetPosition) ? 1 : -1;
      totalForce += force * direction;
    }
    
    return totalForce;
  }
}

// 使用示例
let force = CoulombLaw.calculateForce(2e-6, -3e-6, 0.1);
// q₁ = 2×10⁻⁶ C，q₂ = -3×10⁻⁶ C，距离 0.1 m
// F = 9.0e9 × |2×10⁻⁶ × (-3×10⁻⁶)| / 0.1² = 5.4 N（吸引）

let forceVector = CoulombLaw.calculateForceVector1D(2e-6, -3e-6, 0.1);
// 力的大小 5.4 N，方向 -1（吸引）

电子工程​

在电子工程中，库仑定律用于：

  • 电路设计：理解电荷之间的相互作用
  • 静电防护：防止静电对电子设备的损害
  • 电荷管理：管理电路中的电荷分布

常见问题​

1. 求库仑力​

问题：两个点电荷 q1=5×10−6 Cq_1 = 5 \times 10^{-6} \text{ C} 和 q2=3×10−6 Cq_2 = 3 \times 10^{-6} \text{ C}，相距 0.2 m，求库仑力。

分析：

F=k∣q1q2∣r2=9.0×109×∣5×10−6×3×10−6∣0.22F = k\frac{|q_1 q_2|}{r^2} = 9.0 \times 10^9 \times \frac{|5 \times 10^{-6} \times 3 \times 10^{-6}|}{0.2^2}

F=9.0×109×15×10−120.04=3.375 NF = 9.0 \times 10^9 \times \frac{15 \times 10^{-12}}{0.04} = 3.375 \text{ N}

方向：因为电荷同号，相互排斥。

2. 求电荷量​

问题：两个点电荷之间的库仑力为 10 N，距离为 0.1 m，其中一个电荷为 2×10−6 C2 \times 10^{-6} \text{ C}，求另一个电荷。

分析：

F=k∣q1q2∣r2F = k\frac{|q_1 q_2|}{r^2}

10=9.0×109×∣2×10−6×q2∣0.1210 = 9.0 \times 10^9 \times \frac{|2 \times 10^{-6} \times q_2|}{0.1^2}

∣q2∣=10×0.019.0×109×2×10−6=0.11.8×104≈5.56×10−6 C|q_2| = \frac{10 \times 0.01}{9.0 \times 10^9 \times 2 \times 10^{-6}} = \frac{0.1}{1.8 \times 10^4} \approx 5.56 \times 10^{-6} \text{ C}

方向：根据力的方向判断电荷的正负。

3. 求距离​

问题：两个点电荷 q1=4×10−6 Cq_1 = 4 \times 10^{-6} \text{ C} 和 q2=−6×10−6 Cq_2 = -6 \times 10^{-6} \text{ C}，库仑力为 5 N，求距离。

分析：

F=k∣q1q2∣r2F = k\frac{|q_1 q_2|}{r^2}

5=9.0×109×∣4×10−6×(−6×10−6)∣r25 = 9.0 \times 10^9 \times \frac{|4 \times 10^{-6} \times (-6 \times 10^{-6})|}{r^2}

r2=9.0×109×24×10−125=0.0432r^2 = \frac{9.0 \times 10^9 \times 24 \times 10^{-12}}{5} = 0.0432

r=0.0432≈0.208 mr = \sqrt{0.0432} \approx 0.208 \text{ m}

常见错误​

  1. 方向错误：库仑力是矢量，要注意方向（同号排斥，异号吸引）
  2. 距离错误：距离 rr 是两个点电荷之间的距离（质心之间的距离），不是电荷大小
  3. 单位错误：电荷的单位是 C，距离的单位是 m，力的单位是 N
  4. 符号错误：电荷量可以带正负号，但计算力的大小时用绝对值

小结​

电荷和库仑定律的核心内容：

  1. 电荷：

    • 正电荷和负电荷
    • 元电荷：e=1.6×10−19 Ce = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}
    • 单位：库仑（C）

  2. 库仑定律（F=kq1q2r2F = k\frac{q_1 q_2}{r^2}）：

    • 库仑常数：k=9.0×109 N\cdotpm²/C²k = 9.0 \times 10^9 \text{ N·m²/C²}
    • 力的方向：同号排斥，异号吸引
    • 与万有引力定律形式相似

  3. 应用：

    • 计算两个点电荷之间的力
    • 计算多个点电荷的合力
    • 电荷平衡问题

记住：库仑定律告诉我们，电荷之间的力与电荷量的乘积成正比，与距离的平方成反比！