电荷和库仑定律

电荷是电学的基本概念，库仑定律描述了电荷之间的相互作用。理解电荷和库仑定律，是学习静电学的基础。

什么是电荷？

电荷的定义

电荷（Charge）：物体的一种属性，决定物体在电场中的受力。

通俗理解：电荷就是"带电的多少"，物体带正电或负电。

电荷的种类

电荷有两种：

1. 正电荷（Positive Charge）：

   • 符号：$+$
   • 例子：质子带正电荷
   • 定义：用丝绸摩擦玻璃棒，玻璃棒带正电荷

2. 负电荷（Negative Charge）：

   • 符号：$-$
   • 例子：电子带负电荷
   • 定义：用毛皮摩擦橡胶棒，橡胶棒带负电荷

电荷的性质

1. 相互性：同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引
2. 守恒性：电荷既不能产生，也不能消失，只能转移
3. 量子化：电荷是量子化的，最小单位是元电荷 $e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$

元电荷

元电荷（Elementary Charge）：电荷的最小单位。

$$e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$$

其中 C 是库仑，电荷的单位。

通俗理解：

• 所有电荷都是元电荷的整数倍
• 电子带 $-e$，质子带 $+e$

电荷的单位

电荷的单位：

1. 库仑（C）：国际单位

   • 1 C = $6.24 \times 10^{18}$ 个元电荷
   • 常用单位

2. 其他单位：

   • 微库仑（$\mu$C），1 $\mu$C = $10^{-6}$ C
   • 毫库仑（mC），1 mC = $10^{-3}$ C

库仑定律

定律内容

库仑定律（Coulomb's Law）：两个点电荷之间的相互作用力与它们电荷量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比。

$$F = k\frac{q_1 q_2}{r^2}$$

其中：

• $F$：库仑力（单位：牛顿，N）
• $k$：库仑常数，$k = 8.99 \times 10^9 \text{ N·m²/C²} \approx 9.0 \times 10^9 \text{ N·m²/C²}$
• $q_1$、$q_2$：两个点电荷的电荷量（单位：库仑，C）
• $r$：两个点电荷之间的距离（单位：米，m）

通俗理解：

• 电荷量越大，力越大
• 距离越近，力越大（与距离的平方成反比）

库仑常数

库仑常数（$k$）：

$$k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} = 8.99 \times 10^9 \text{ N·m²/C²}$$

其中 $\varepsilon_0$ 是真空介电常数，$\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \text{ C²/(N·m²)}$。

常用近似：$k \approx 9.0 \times 10^9 \text{ N·m²/C²}$

库仑力的方向

库仑力是矢量，方向：

• 同种电荷：相互排斥，力沿连线向外
• 异种电荷：相互吸引，力沿连线向内

矢量表示：

$$\vec{F} = k\frac{q_1 q_2}{r^2}\hat{r}$$

其中 $\hat{r}$ 是从 $q_1$ 指向 $q_2$ 的单位向量。

注意：

• 如果 $q_1$ 和 $q_2$ 同号，$F > 0$（排斥）
• 如果 $q_1$ 和 $q_2$ 异号，$F < 0$（吸引）

库仑定律与万有引力定律的类比

库仑定律与万有引力定律形式相似：

特征	万有引力	库仑力
公式	$F = G\frac{m_1 m_2}{r^2}$	$F = k\frac{q_1 q_2}{r^2}$
常数	$G = 6.67 \times 10^{-11}$	$k = 9.0 \times 10^9$
力的性质	只有吸引力	有吸引力（异号）和排斥力（同号）
力的强弱	很弱	很强（常数大得多）

通俗理解：

• 万有引力：只有"拉"（吸引力）
• 库仑力：可以"拉"（吸引）也可以"推"（排斥）

库仑定律的应用

1. 两个点电荷

问题：两个点电荷 $q_1 = 2 \times 10^{-6} \text{ C}$ 和 $q_2 = -3 \times 10^{-6} \text{ C}$，相距 0.1 m，求库仑力。

分析：

$F = k\frac{|q_1 q_2|}{r^2} = 9.0 \times 10^9 \times \frac{|2 \times 10^{-6} \times (-3 \times 10^{-6})|}{0.1^2}$

$F = 9.0 \times 10^9 \times \frac{6 \times 10^{-12}}{0.01} = 9.0 \times 10^9 \times 6 \times 10^{-10} = 5.4 \text{ N}$

方向：因为电荷异号，相互吸引。

2. 多个点电荷

问题：三个点电荷在同一条直线上，求其中一个电荷受到的合力。

分析：

1. 分别计算每个电荷对目标电荷的库仑力
2. 求矢量和（注意方向）
3. 得到合力

方法：

$\vec{F}_{\text{合}} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3 + \cdots$

3. 电荷平衡

问题：三个点电荷平衡，求电荷的位置或大小。

分析：

1. 分析每个电荷的受力
2. 根据平衡条件（合力为零），列出方程
3. 求解未知量

实际应用

游戏开发

在游戏开发中，库仑定律用于：

• 物理引擎：模拟电荷之间的相互作用
• 粒子系统：模拟带电粒子的运动
• 效果模拟：静电效果、电场效果

// 库仑定律的应用
class CoulombLaw {
  static K = 8.99e9; // \text{库仑常数} N·m²/C²
  
  // \text{计算库仑力}
  static calculateForce(q1, q2, distance) {
    // F = k|q₁q₂|/r²
    return this.K * Math.abs(q1 * q2) / (distance * distance);
  }
  
  // 计算库仑力（矢量，一维）
  static calculateForceVector1D(q1, q2, distance) {
    // \text{力的方向}：\text{同号排斥}（\text{正}），\text{异号吸引}（\text{负}）
    let magnitude = this.calculateForce(q1, q2, distance);
    let direction = (q1 * q2 > 0) ? 1 : -1; // \text{同号排斥}，\text{异号吸引}
    return magnitude * direction;
  }
  
  // 计算多个点电荷对目标电荷的合力（一维）
  static calculateTotalForce(targetCharge, charges, positions, targetPosition) {
    let totalForce = 0;
    
    for (let i = 0; i < charges.length; i++) {
      let distance = Math.abs(positions[i] - targetPosition);
      let force = this.calculateForceVector1D(targetCharge, charges[i], distance);
      // \text{方向}：\text{从目标位置指向电荷位置}
      let direction = (positions[i] > targetPosition) ? 1 : -1;
      totalForce += force * direction;
    }
    
    return totalForce;
  }
}

// 使用示例
let force = CoulombLaw.calculateForce(2e-6, -3e-6, 0.1);
// q₁ = 2×10⁻⁶ C，q₂ = -3×10⁻⁶ C，距离 0.1 m
// F = 9.0e9 × |2×10⁻⁶ × (-3×10⁻⁶)| / 0.1² = 5.4 N（吸引）

let forceVector = CoulombLaw.calculateForceVector1D(2e-6, -3e-6, 0.1);
// 力的大小 5.4 N，方向 -1（吸引）

电子工程

在电子工程中，库仑定律用于：

• 电路设计：理解电荷之间的相互作用
• 静电防护：防止静电对电子设备的损害
• 电荷管理：管理电路中的电荷分布

常见问题

1. 求库仑力

问题：两个点电荷 $q_1 = 5 \times 10^{-6} \text{ C}$ 和 $q_2 = 3 \times 10^{-6} \text{ C}$，相距 0.2 m，求库仑力。

分析：

$F = k\frac{|q_1 q_2|}{r^2} = 9.0 \times 10^9 \times \frac{|5 \times 10^{-6} \times 3 \times 10^{-6}|}{0.2^2}$

$F = 9.0 \times 10^9 \times \frac{15 \times 10^{-12}}{0.04} = 3.375 \text{ N}$

方向：因为电荷同号，相互排斥。

2. 求电荷量

问题：两个点电荷之间的库仑力为 10 N，距离为 0.1 m，其中一个电荷为 $2 \times 10^{-6} \text{ C}$，求另一个电荷。

分析：

$F = k\frac{|q_1 q_2|}{r^2}$

$10 = 9.0 \times 10^9 \times \frac{|2 \times 10^{-6} \times q_2|}{0.1^2}$

$|q_2| = \frac{10 \times 0.01}{9.0 \times 10^9 \times 2 \times 10^{-6}} = \frac{0.1}{1.8 \times 10^4} \approx 5.56 \times 10^{-6} \text{ C}$

方向：根据力的方向判断电荷的正负。

3. 求距离

问题：两个点电荷 $q_1 = 4 \times 10^{-6} \text{ C}$ 和 $q_2 = -6 \times 10^{-6} \text{ C}$，库仑力为 5 N，求距离。

分析：

$F = k\frac{|q_1 q_2|}{r^2}$

$5 = 9.0 \times 10^9 \times \frac{|4 \times 10^{-6} \times (-6 \times 10^{-6})|}{r^2}$

$r^2 = \frac{9.0 \times 10^9 \times 24 \times 10^{-12}}{5} = 0.0432$

$r = \sqrt{0.0432} \approx 0.208 \text{ m}$

常见错误

1. 方向错误：库仑力是矢量，要注意方向（同号排斥，异号吸引）
2. 距离错误：距离 $r$ 是两个点电荷之间的距离（质心之间的距离），不是电荷大小
3. 单位错误：电荷的单位是 C，距离的单位是 m，力的单位是 N
4. 符号错误：电荷量可以带正负号，但计算力的大小时用绝对值

小结

电荷和库仑定律的核心内容：

1. 电荷：

   • 正电荷和负电荷
   • 元电荷：$e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$
   • 单位：库仑（C）

2. 库仑定律（$F = k\frac{q_1 q_2}{r^2}$）：

   • 库仑常数：$k = 9.0 \times 10^9 \text{ N·m²/C²}$
   • 力的方向：同号排斥，异号吸引
   • 与万有引力定律形式相似

3. 应用：

   • 计算两个点电荷之间的力
   • 计算多个点电荷的合力
   • 电荷平衡问题

记住：库仑定律告诉我们，电荷之间的力与电荷量的乘积成正比，与距离的平方成反比！