串联电路和并联电路

串联电路和并联电路是电路中两种最基本的连接方式。理解它们的特性和计算方法，是分析复杂电路的基础。

串联电路

串联电路的定义

串联电路（Series Circuit）：多个元件首尾相连，电流只有一条路径的电路。

特点：

• 电流只有一条路径
• 电流处处相等：$I_1 = I_2 = I_3 = \cdots = I_{\text{总}}$
• 总电压等于各元件电压之和：$U_{\text{总}} = U_1 + U_2 + U_3 + \cdots$

通俗理解：串联就像"一列火车"，所有元件排成一列，电流依次流过。

串联电路的电阻

串联电路的总电阻等于各电阻之和：

$$R_{\text{总}} = R_1 + R_2 + R_3 + \cdots$$

推导：

• 总电压：$U_{\text{总}} = U_1 + U_2 + U_3 + \cdots$
• 根据欧姆定律：$U_1 = IR_1$，$U_2 = IR_2$，$U_3 = IR_3$，$\cdots$
• 总电压：$U_{\text{总}} = IR_1 + IR_2 + IR_3 + \cdots = I(R_1 + R_2 + R_3 + \cdots)$
• 根据欧姆定律：$U_{\text{总}} = IR_{\text{总}}$
• 因此：$IR_{\text{总}} = I(R_1 + R_2 + R_3 + \cdots)$
• 所以：$R_{\text{总}} = R_1 + R_2 + R_3 + \cdots$

结论：串联时，总电阻大于任何一个电阻。

串联电路的分压

串联电路的分压：总电压按电阻比例分配。

$$U_1 : U_2 : U_3 : \cdots = R_1 : R_2 : R_3 : \cdots$$

具体计算：

$U_1 = \frac{R_1}{R_{\text{总}}} U_{\text{总}}$

$U_2 = \frac{R_2}{R_{\text{总}}} U_{\text{总}}$

$U_3 = \frac{R_3}{R_{\text{总}}} U_{\text{总}}$

通俗理解：串联时，电阻越大，分到的电压越大（像"分蛋糕"，大块分大份"）。

例子：两个电阻 $R_1 = 10 \Omega$ 和 $R_2 = 20 \Omega$ 串联，电压为 30 V。

• 总电阻：$R_{\text{总}} = 10 + 20 = 30 \Omega$
• 电流：$I = \frac{30}{30} = 1 \text{ A}$
• $R_1$ 的电压：$U_1 = 1 \times 10 = 10 \text{ V}$ 或 $U_1 = \frac{10}{30} \times 30 = 10 \text{ V}$
• $R_2$ 的电压：$U_2 = 1 \times 20 = 20 \text{ V}$ 或 $U_2 = \frac{20}{30} \times 30 = 20 \text{ V}$

串联电路的缺点

串联电路的缺点：

1. 一个元件损坏，整个电路断路：所有元件串联，如果其中一个断开，整个电路都不工作
2. 电流相同，难以控制：所有元件电流相同，不能单独控制
3. 总电阻增大：串联时总电阻增大，电流减小

例子：圣诞树上的彩灯，如果其中一个灯泡坏了，所有灯泡都不亮（串联电路）。

并联电路

并联电路的定义

并联电路（Parallel Circuit）：多个元件两端分别连接在一起，电流有多条路径的电路。

特点：

• 电流有多条路径
• 电压处处相等：$U_1 = U_2 = U_3 = \cdots = U_{\text{总}}$
• 总电流等于各支路电流之和：$I_{\text{总}} = I_1 + I_2 + I_3 + \cdots$

通俗理解：并联就像"多条路"，电流可以走不同的路，但电压相同。

并联电路的电阻

并联电路的总电阻的倒数等于各电阻倒数之和：

$$\frac{1}{R_{\text{总}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} + \cdots$$

推导：

• 总电流：$I_{\text{总}} = I_1 + I_2 + I_3 + \cdots$
• 根据欧姆定律：$I_1 = \frac{U}{R_1}$，$I_2 = \frac{U}{R_2}$，$I_3 = \frac{U}{R_3}$，$\cdots$
• 总电流：$I_{\text{总}} = \frac{U}{R_1} + \frac{U}{R_2} + \frac{U}{R_3} + \cdots = U(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} + \cdots)$
• 根据欧姆定律：$I_{\text{总}} = \frac{U}{R_{\text{总}}}$
• 因此：$\frac{U}{R_{\text{总}}} = U(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} + \cdots)$
• 所以：$\frac{1}{R_{\text{总}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} + \cdots$

结论：并联时，总电阻小于任何一个电阻。

两个电阻并联：

$$R_{\text{总}} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$$

推导：

$\frac{1}{R_{\text{总}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{R_2 + R_1}{R_1 R_2}$

$R_{\text{总}} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$

n 个相同电阻并联：

$$R_{\text{总}} = \frac{R}{n}$$

推导：

$\frac{1}{R_{\text{总}}} = \frac{1}{R} + \frac{1}{R} + \cdots + \frac{1}{R} = \frac{n}{R}$

$R_{\text{总}} = \frac{R}{n}$

并联电路的分流

并联电路的分流：总电流按电阻反比例分配（电阻越大，电流越小）。

$$I_1 : I_2 : I_3 : \cdots = \frac{1}{R_1} : \frac{1}{R_2} : \frac{1}{R_3} : \cdots$$

具体计算：

$I_1 = \frac{R_{\text{总}}}{R_1} I_{\text{总}}$

$I_2 = \frac{R_{\text{总}}}{R_2} I_{\text{总}}$

$I_3 = \frac{R_{\text{总}}}{R_3} I_{\text{总}}$

通俗理解：并联时，电阻越大，分到的电流越小（像"水管"，粗的管子流量大"）。

例子：两个电阻 $R_1 = 6 \Omega$ 和 $R_2 = 3 \Omega$ 并联，电压为 12 V。

• 总电阻：$R_{\text{总}} = \frac{6 \times 3}{6 + 3} = 2 \Omega$
• 总电流：$I_{\text{总}} = \frac{12}{2} = 6 \text{ A}$
• $R_1$ 的电流：$I_1 = \frac{12}{6} = 2 \text{ A}$ 或 $I_1 = \frac{2}{6} \times 6 = 2 \text{ A}$
• $R_2$ 的电流：$I_2 = \frac{12}{3} = 4 \text{ A}$ 或 $I_2 = \frac{2}{3} \times 6 = 4 \text{ A}$

并联电路的优点

并联电路的优点：

1. 一个元件损坏，其他元件仍工作：各支路独立，互不影响
2. 电压相同，易于控制：各元件电压相同，可以单独控制
3. 总电阻减小：并联时总电阻减小，电流增大

例子：家庭电路，每个电器独立工作，互不影响（并联电路）。

串联 vs 并联

对比表

特征	串联	并联
连接方式	首尾相连	两端分别连接
电流路径	一条路径	多条路径
电流	处处相等：$I_1 = I_2 = I_3 = \cdots$	总电流 = 各支路电流之和：$I_{\text{总}} = I_1 + I_2 + I_3 + \cdots$
电压	总电压 = 各元件电压之和：$U_{\text{总}} = U_1 + U_2 + U_3 + \cdots$	处处相等：$U_1 = U_2 = U_3 = \cdots$
总电阻	$R_{\text{总}} = R_1 + R_2 + R_3 + \cdots$（增大）	$\frac{1}{R_{\text{总}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} + \cdots$（减小）
分压/分流	分压：按电阻比例分配	分流：按电阻反比例分配
元件损坏	一个损坏，整个电路断路	一个损坏，其他仍工作
应用	限流、分压	家庭电路、照明电路

记忆口诀

串联：

• 电流相同，电压相加，电阻相加
• "一列火车，电流相同，电压分压"

并联：

• 电压相同，电流相加，电阻减小
• "多条路，电压相同，电流分流"

混合电路

混合电路的定义

混合电路（Mixed Circuit）：既有串联又有并联的电路。

分析步骤：

1. 识别串联和并联部分
2. 逐步化简，先求并联总电阻，再求串联总电阻
3. 求总电流和总电压
4. 逐步求各元件的电流和电压

例子：电路如图所示（请参考电路图），已知 $R_1 = 4 \Omega$，$R_2 = 6 \Omega$，$R_3 = 12 \Omega$，电压为 18 V。

分析：

1. 识别：$R_2$ 和 $R_3$ 并联，再与 $R_1$ 串联
2. $R_2$ 和 $R_3$ 并联：$R_{23} = \frac{R_2 R_3}{R_2 + R_3} = \frac{6 \times 12}{6 + 12} = 4 \Omega$
3. 总电阻：$R_{\text{总}} = R_1 + R_{23} = 4 + 4 = 8 \Omega$
4. 总电流：$I_{\text{总}} = \frac{U}{R_{\text{总}}} = \frac{18}{8} = 2.25 \text{ A}$
5. $R_1$ 的电压：$U_1 = I_{\text{总}} R_1 = 2.25 \times 4 = 9 \text{ V}$
6. $R_{23}$ 的电压：$U_{23} = I_{\text{总}} R_{23} = 2.25 \times 4 = 9 \text{ V}$ 或 $U_{23} = U - U_1 = 18 - 9 = 9 \text{ V}$
7. $R_2$ 的电流：$I_2 = \frac{U_{23}}{R_2} = \frac{9}{6} = 1.5 \text{ A}$
8. $R_3$ 的电流：$I_3 = \frac{U_{23}}{R_3} = \frac{9}{12} = 0.75 \text{ A}$
9. 验证：$I_2 + I_3 = 1.5 + 0.75 = 2.25 \text{ A} = I_{\text{总}}$（正确）

实际应用

游戏开发

在游戏开发中，串联和并联电路用于：

• 电路模拟：模拟电路中的电流、电压、电阻
• 物理引擎：模拟电子系统
• 游戏机制：电路解谜游戏

// 串联和并联电路的应用
class SeriesParallelCircuits {
  // \text{串联总电阻}
  static calculateSeriesResistance(resistances) {
    // R = R₁ + R₂ + R₃ + ...
    return resistances.reduce((sum, R) => sum + R, 0);
  }
  
  // 并联总电阻
  static calculateParallelResistance(resistances) {
    // 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + 1/R₃ + ...
    let reciprocalSum = resistances.reduce((sum, R) => sum + 1/R, 0);
    return 1 / reciprocalSum;
  }
  
  // 两个电阻并联
  static calculateParallelResistanceTwo(R1, R2) {
    // R = R₁R₂/(R₁ + R₂)
    return (R1 * R2) / (R1 + R2);
  }
  
  // 串联分压
  static calculateSeriesVoltageDivision(voltage, resistances) {
    let totalResistance = this.calculateSeriesResistance(resistances);
    let currents = voltage / totalResistance;
    return resistances.map(R => currents * R);
  }
  
  // 并联分流
  static calculateParallelCurrentDivision(current, resistances) {
    let totalResistance = this.calculateParallelResistance(resistances);
    return resistances.map(R => (totalResistance / R) * current);
  }
  
  // 混合电路分析
  static analyzeMixedCircuit(voltage, seriesResistances, parallelResistances) {
    // \text{先求并联总电阻}
    let parallelResistance = this.calculateParallelResistance(parallelResistances);
    
    // \text{再求总电阻}
    let totalResistance = this.calculateSeriesResistance([...seriesResistances, parallelResistance]);
    
    // \text{总电流}
    let totalCurrent = voltage / totalResistance;
    
    // \text{串联部分的电压}
    let seriesVoltage = seriesResistances.map(R => totalCurrent * R);
    
    // \text{并联部分的电压}
    let parallelVoltage = totalCurrent * parallelResistance;
    
    // \text{并联各支路的电流}
    let parallelCurrents = parallelResistances.map(R => parallelVoltage / R);
    
    return {
      totalResistance,
      totalCurrent,
      seriesVoltage,
      parallelVoltage,
      parallelCurrents
    };
  }
}

// 使用示例
let seriesR = SeriesParallelCircuits.calculateSeriesResistance([10, 20, 30]);
// 串联：10 Ω + 20 Ω + 30 Ω = 60 Ω

let parallelR = SeriesParallelCircuits.calculateParallelResistance([6, 3, 2]);
// 并联：1/(1/6 + 1/3 + 1/2) = 1 Ω

let twoParallelR = SeriesParallelCircuits.calculateParallelResistanceTwo(6, 3);
// 两个电阻并联：6×3/(6+3) = 2 Ω

let seriesVoltages = SeriesParallelCircuits.calculateSeriesVoltageDivision(30, [10, 20]);
// 电压 30 V，电阻 10 Ω 和 20 Ω 串联
// 电压：10 V 和 20 V

let parallelCurrents = SeriesParallelCircuits.calculateParallelCurrentDivision(6, [6, 3]);
// 电流 6 A，电阻 6 Ω 和 3 Ω 并联
// 电流：2 A 和 4 A

电子工程

在电子工程中，串联和并联电路用于：

• 电路设计：设计电路，选择合适的连接方式
• 分压电路：串联分压，降低电压
• 分流电路：并联分流，分配电流
• 限流电路：串联限流，控制电流

Arduino/Raspberry Pi

在 Arduino/Raspberry Pi 中，串联和并联电路用于：

• LED 连接：多个 LED 串联或并联
• 传感器连接：多个传感器并联
• 分压电路：电阻分压，降低电压到安全范围

例子：LED 限流

• 电源电压：5 V
• LED 工作电压：2 V，工作电流：20 mA
• 所需限流电阻：$R = \frac{5 - 2}{0.02} = 150 \Omega$

常见问题

1. 串联电路

问题：三个电阻 $R_1 = 10 \Omega$，$R_2 = 20 \Omega$，$R_3 = 30 \Omega$ 串联，电压为 60 V，求各电阻的电压。

分析：

• 总电阻：$R_{\text{总}} = 10 + 20 + 30 = 60 \Omega$
• 电流：$I = \frac{60}{60} = 1 \text{ A}$
• $R_1$ 的电压：$U_1 = 1 \times 10 = 10 \text{ V}$
• $R_2$ 的电压：$U_2 = 1 \times 20 = 20 \text{ V}$
• $R_3$ 的电压：$U_3 = 1 \times 30 = 30 \text{ V}$

2. 并联电路

问题：三个电阻 $R_1 = 6 \Omega$，$R_2 = 3 \Omega$，$R_3 = 2 \Omega$ 并联，电压为 12 V，求各电阻的电流。

分析：

• 总电阻：$\frac{1}{R_{\text{总}}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = 1$，所以 $R_{\text{总}} = 1 \Omega$
• 总电流：$I_{\text{总}} = \frac{12}{1} = 12 \text{ A}$
• $R_1$ 的电流：$I_1 = \frac{12}{6} = 2 \text{ A}$
• $R_2$ 的电流：$I_2 = \frac{12}{3} = 4 \text{ A}$
• $R_3$ 的电流：$I_3 = \frac{12}{2} = 6 \text{ A}$
• 验证：$I_1 + I_2 + I_3 = 2 + 4 + 6 = 12 \text{ A} = I_{\text{总}}$（正确）

3. 混合电路

问题：电路如图所示，已知 $R_1 = 4 \Omega$，$R_2 = 6 \Omega$，$R_3 = 12 \Omega$，$R_4 = 3 \Omega$，电压为 24 V，求各电阻的电流和电压。

分析：

• $R_2$ 和 $R_3$ 并联：$R_{23} = \frac{6 \times 12}{6 + 12} = 4 \Omega$
• $R_{23}$ 和 $R_4$ 并联：$R_{234} = \frac{4 \times 3}{4 + 3} = \frac{12}{7} \Omega$
• 总电阻：$R_{\text{总}} = R_1 + R_{234} = 4 + \frac{12}{7} = \frac{40}{7} \Omega$
• 总电流：$I_{\text{总}} = \frac{24}{\frac{40}{7}} = 4.2 \text{ A}$
• 后续分析类似...

常见错误

1. 串联并联混淆：记住串联时电流相同，并联时电压相同
2. 总电阻计算错误：串联是相加，并联是倒数相加
3. 分压分流公式混淆：串联是分压，并联是分流
4. 混合电路分析错误：要逐步化简，先并后串

小结

串联和并联电路的核心内容：

1. 串联电路：

   • 电流相同，电压相加，电阻相加
   • 总电阻：$R_{\text{总}} = R_1 + R_2 + R_3 + \cdots$
   • 分压：$U_i = \frac{R_i}{R_{\text{总}}} U_{\text{总}}$

2. 并联电路：

   • 电压相同，电流相加，电阻减小
   • 总电阻：$\frac{1}{R_{\text{总}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} + \cdots$
   • 分流：$I_i = \frac{R_{\text{总}}}{R_i} I_{\text{总}}$

3. 混合电路：

   • 逐步化简，先求并联总电阻，再求串联总电阻
   • 逐步求各元件的电流和电压

4. 应用：

   • 串联：限流、分压
   • 并联：家庭电路、照明电路

记住：串联电流相同，并联电压相同，串联电阻相加，并联电阻减小！