万有引力定律

万有引力定律是描述物体之间引力作用的基本定律，是理解天体运动的基础。

什么是万有引力？

万有引力的定义

万有引力（Universal Gravitation）：任何两个物体之间都存在相互吸引的力，这个力的大小与两个物体的质量成正比，与它们之间距离的平方成反比。

通俗理解：任何物体之间都有吸引力，质量越大、距离越近，引力越大。

万有引力定律

万有引力定律（Law of Universal Gravitation）：

$$F = G\frac{m_1 m_2}{r^2}$$

其中：

• $F$：万有引力（单位：牛顿，N）
• $G$：万有引力常数，$G = 6.67 \times 10^{-11} \text{ N·m²/kg²}$
• $m_1$、$m_2$：两个物体的质量（单位：千克，kg）
• $r$：两个物体之间的距离（单位：米，m）

通俗理解：

• 质量越大，引力越大
• 距离越近，引力越大（与距离的平方成反比）

万有引力常数

万有引力常数（$G$）：$G = 6.67 \times 10^{-11} \text{ N·m²/kg²}$

特点：

• 是一个很小的数
• 表示两个 1 kg 的物体在相距 1 m 时的引力
• 是一个普适常数，适用于所有物体

万有引力的特点

1. 相互性

万有引力是相互的：

• 物体 1 对物体 2 的引力：$\vec{F}_{12}$
• 物体 2 对物体 1 的引力：$\vec{F}_{21}$
• 根据牛顿第三定律：$\vec{F}_{12} = -\vec{F}_{21}$（大小相等，方向相反）

2. 方向

万有引力的方向：

• 沿着两个物体之间的连线
• 指向对方（相互吸引）

3. 作用范围

万有引力的作用范围：

• 无限远（理论上有引力，但非常小）
• 实际中，距离很远时，引力可以忽略

4. 与介质无关

万有引力：

• 不需要接触
• 不需要介质
• 在真空中也能作用

重力与万有引力

重力

重力：地球对物体的吸引力，是万有引力的一种。

$$G = mg$$

其中：

• $G$：重力（单位：牛顿，N）
• $m$：物体质量（单位：千克，kg）
• $g$：重力加速度（单位：米每秒平方，m/s²）

重力加速度

在地球表面附近，重力加速度：

$$g = G\frac{M_{\text{地}}}{R_{\text{地}}^2}$$

其中：

• $M_{\text{地}}$：地球质量
• $R_{\text{地}}$：地球半径

数值：$g \approx 9.8 \text{ m/s}^2$（在地球表面）

重力与万有引力的关系

重力是万有引力的特殊情况：

$$G = mg = G\frac{M_{\text{地}}m}{R_{\text{地}}^2}$$

所以：

$$g = G\frac{M_{\text{地}}}{R_{\text{地}}^2}$$

通俗理解：重力就是地球对物体的万有引力。

万有引力的应用

1. 天体运动

万有引力是天体运动的原因：

• 行星绕太阳运动（太阳的引力）
• 卫星绕地球运动（地球的引力）
• 月球绕地球运动（地球的引力）

2. 重力场

重力场：地球周围存在重力场，物体在重力场中受到重力作用。

重力场强度：

$$g = \frac{G}{m} = G\frac{M_{\text{地}}}{r^2}$$

其中 $r$ 是到地心的距离。

特点：

• 在地球表面：$g = 9.8 \text{ m/s}^2$
• 在高空：$g$ 随高度减小
• 在月球表面：$g_{\text{月}} \approx 1.6 \text{ m/s}^2$

3. 人造卫星

万有引力提供人造卫星做圆周运动的向心力：

$$G\frac{M_{\text{地}}m}{r^2} = m\frac{v^2}{r}$$

所以：

$$v = \sqrt{\frac{GM_{\text{地}}}{r}}$$

结论：卫星的轨道速度与轨道半径有关。

实际应用

游戏开发

在游戏开发中，万有引力用于：

• 物理引擎：模拟物体之间的引力
• 天体模拟：模拟天体运动
• 重力系统：游戏中的重力系统

// 万有引力定律的应用
class UniversalGravitation {
  // \text{万有引力常数}
  static G = 6.67e-11; // N·m²/kg²
  
  // \text{计算万有引力}
  static calculateForce(mass1, mass2, distance) {
    // F = Gm₁m₂/r²
    return this.G * mass1 * mass2 / (distance * distance);
  }
  
  // 计算重力加速度（在地球表面）
  static calculateGravityOnEarth(height = 0) {
    const M_EARTH = 5.97e24; // \text{地球质量}（kg）
    const R_EARTH = 6.37e6; // \text{地球半径}（m）
    const r = R_EARTH + height; // \text{到地心的距离}
    // g = GM/r²
    return this.G * M_EARTH / (r * r);
  }
  
  // 计算轨道速度
  static calculateOrbitalVelocity(centralMass, radius) {
    // v = √(GM/r)
    return Math.sqrt(this.G * centralMass / radius);
  }
}

// 使用示例
let force = UniversalGravitation.calculateForce(1000, 1000, 10);
// 两个 1000 kg 的物体，相距 10 m
// F = 6.67e-11 × 1000 × 1000 / 10² = 6.67e-7 N

let gravity = UniversalGravitation.calculateGravityOnEarth();
// 地球表面的重力加速度 ≈ 9.8 m/s²

let orbitalVelocity = UniversalGravitation.calculateOrbitalVelocity(5.97e24, 6.67e6);
// 地球轨道（高度 300 km）的轨道速度 ≈ 7730 m/s

机器人控制

在机器人控制中，万有引力用于：

• 重力补偿：机器人的重力补偿
• 平衡控制：机器人的平衡控制
• 姿态控制：机器人的姿态调整

航空航天

在航空航天中，万有引力用于：

• 轨道设计：卫星轨道设计
• 火箭发射：火箭发射计算
• 导航系统：GPS 导航系统

常见问题

1. 求万有引力

问题：两个质量分别为 1000 kg 和 2000 kg 的物体，相距 5 m，求万有引力。

分析：

$F = G\frac{m_1 m_2}{r^2} = 6.67 \times 10^{-11} \times \frac{1000 \times 2000}{5^2} = 5.34 \times 10^{-6} \text{ N}$

2. 求距离

问题：两个质量分别为 100 kg 的物体，万有引力为 $1 \times 10^{-8} \text{ N}$，求距离。

分析：

$F = G\frac{m_1 m_2}{r^2}$

$1 \times 10^{-8} = 6.67 \times 10^{-11} \times \frac{100 \times 100}{r^2}$

$r^2 = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 10000}{1 \times 10^{-8}} = 6.67 \times 10^{-5}$

$r = \sqrt{6.67 \times 10^{-5}} \approx 0.0082 \text{ m} = 8.2 \text{ mm}$

3. 求质量

问题：两个物体相距 10 m，万有引力为 $5 \times 10^{-8} \text{ N}$，其中一个质量为 500 kg，求另一个质量。

分析：

$F = G\frac{m_1 m_2}{r^2}$

$5 \times 10^{-8} = 6.67 \times 10^{-11} \times \frac{500 \times m_2}{10^2}$

$m_2 = \frac{5 \times 10^{-8} \times 100}{6.67 \times 10^{-11} \times 500} \approx 1500 \text{ kg}$

常见错误

1. 单位错误：万有引力常数 $G$ 的单位是 N·m²/kg²，要注意单位统一
2. 距离错误：距离 $r$ 是两个物体之间的距离（质心之间的距离），不是物体大小
3. 质量错误：质量是物体的质量，不是重量
4. 方向错误：万有引力的方向沿着两个物体之间的连线

万有引力定律的意义

科学意义

1. 统一理论：统一了地面物体和天体的运动规律
2. 预测能力：可以预测天体运动、卫星轨道等
3. 基础定律：是经典力学的基础定律之一

实际意义

1. 航天工程：卫星轨道设计、火箭发射等
2. 导航系统：GPS、北斗等导航系统
3. 天文学：天体运动、行星轨道等

小结

万有引力定律的核心内容：

1. 定律内容：$F = G\frac{m_1 m_2}{r^2}$

   • 任何两个物体之间都有引力
   • 质量越大，引力越大
   • 距离越近，引力越大（与距离的平方成反比）

2. 万有引力常数：$G = 6.67 \times 10^{-11} \text{ N·m²/kg²}$

3. 重力：$G = mg$（地球表面的特殊情况）

4. 应用：

   • 天体运动
   • 重力场
   • 人造卫星

记住：万有引力定律告诉我们，任何物体之间都有引力，质量越大、距离越近，引力越大！