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万有引力定律

万有引力定律是描述物体之间引力作用的基本定律，是理解天体运动的基础。

什么是万有引力？​

万有引力的定义​

万有引力（Universal Gravitation）：任何两个物体之间都存在相互吸引的力，这个力的大小与两个物体的质量成正比，与它们之间距离的平方成反比。

通俗理解：任何物体之间都有吸引力，质量越大、距离越近，引力越大。

万有引力定律​

万有引力定律（Law of Universal Gravitation）：

F=Gm1m2r2F = G\frac{m_1 m_2}{r^2}

其中：

  • FF：万有引力（单位：牛顿，N）
  • GG：万有引力常数，G=6.67×10−11 N\cdotpm²/kg²G = 6.67 \times 10^{-11} \text{ N·m²/kg²}
  • m1m_1、m2m_2：两个物体的质量（单位：千克，kg）
  • rr：两个物体之间的距离（单位：米，m）

通俗理解：

  • 质量越大，引力越大
  • 距离越近，引力越大（与距离的平方成反比）

万有引力常数​

万有引力常数（GG）：G=6.67×10−11 N\cdotpm²/kg²G = 6.67 \times 10^{-11} \text{ N·m²/kg²}

特点：

  • 是一个很小的数
  • 表示两个 1 kg 的物体在相距 1 m 时的引力
  • 是一个普适常数，适用于所有物体

万有引力的特点​

1. 相互性​

万有引力是相互的：

  • 物体 1 对物体 2 的引力：F⃗12\vec{F}_{12}
  • 物体 2 对物体 1 的引力：F⃗21\vec{F}_{21}
  • 根据牛顿第三定律：F⃗12=−F⃗21\vec{F}_{12} = -\vec{F}_{21}（大小相等，方向相反）

2. 方向​

万有引力的方向：

  • 沿着两个物体之间的连线
  • 指向对方（相互吸引）

3. 作用范围​

万有引力的作用范围：

  • 无限远（理论上有引力，但非常小）
  • 实际中，距离很远时，引力可以忽略

4. 与介质无关​

万有引力：

  • 不需要接触
  • 不需要介质
  • 在真空中也能作用

重力与万有引力​

重力​

重力：地球对物体的吸引力，是万有引力的一种。

G=mgG = mg

其中：

  • GG：重力（单位：牛顿，N）
  • mm：物体质量（单位：千克，kg）
  • gg：重力加速度（单位：米每秒平方，m/s²）

重力加速度​

在地球表面附近，重力加速度：

g=GM地R地2g = G\frac{M_{\text{地}}}{R_{\text{地}}^2}

其中：

  • M地M_{\text{地}}：地球质量
  • R地R_{\text{地}}：地球半径

数值：g≈9.8 m/s2g \approx 9.8 \text{ m/s}^2（在地球表面）

重力与万有引力的关系​

重力是万有引力的特殊情况：

G=mg=GM地mR地2G = mg = G\frac{M_{\text{地}}m}{R_{\text{地}}^2}

所以：

g=GM地R地2g = G\frac{M_{\text{地}}}{R_{\text{地}}^2}

通俗理解：重力就是地球对物体的万有引力。

万有引力的应用​

1. 天体运动​

万有引力是天体运动的原因：

  • 行星绕太阳运动（太阳的引力）
  • 卫星绕地球运动（地球的引力）
  • 月球绕地球运动（地球的引力）

2. 重力场​

重力场：地球周围存在重力场，物体在重力场中受到重力作用。

重力场强度：

g=Gm=GM地r2g = \frac{G}{m} = G\frac{M_{\text{地}}}{r^2}

其中 rr 是到地心的距离。

特点：

  • 在地球表面：g=9.8 m/s2g = 9.8 \text{ m/s}^2
  • 在高空：gg 随高度减小
  • 在月球表面：g月≈1.6 m/s2g_{\text{月}} \approx 1.6 \text{ m/s}^2

3. 人造卫星​

万有引力提供人造卫星做圆周运动的向心力：

GM地mr2=mv2rG\frac{M_{\text{地}}m}{r^2} = m\frac{v^2}{r}

所以：

v=GM地rv = \sqrt{\frac{GM_{\text{地}}}{r}}

结论：卫星的轨道速度与轨道半径有关。

实际应用​

游戏开发​

在游戏开发中，万有引力用于：

  • 物理引擎：模拟物体之间的引力
  • 天体模拟：模拟天体运动
  • 重力系统：游戏中的重力系统
// 万有引力定律的应用
class UniversalGravitation {
  // \text{万有引力常数}
  static G = 6.67e-11; // N·m²/kg²
  
  // \text{计算万有引力}
  static calculateForce(mass1, mass2, distance) {
    // F = Gm₁m₂/r²
    return this.G * mass1 * mass2 / (distance * distance);
  }
  
  // 计算重力加速度（在地球表面）
  static calculateGravityOnEarth(height = 0) {
    const M_EARTH = 5.97e24; // \text{地球质量}（kg）
    const R_EARTH = 6.37e6; // \text{地球半径}（m）
    const r = R_EARTH + height; // \text{到地心的距离}
    // g = GM/r²
    return this.G * M_EARTH / (r * r);
  }
  
  // 计算轨道速度
  static calculateOrbitalVelocity(centralMass, radius) {
    // v = √(GM/r)
    return Math.sqrt(this.G * centralMass / radius);
  }
}

// 使用示例
let force = UniversalGravitation.calculateForce(1000, 1000, 10);
// 两个 1000 kg 的物体，相距 10 m
// F = 6.67e-11 × 1000 × 1000 / 10² = 6.67e-7 N

let gravity = UniversalGravitation.calculateGravityOnEarth();
// 地球表面的重力加速度 ≈ 9.8 m/s²

let orbitalVelocity = UniversalGravitation.calculateOrbitalVelocity(5.97e24, 6.67e6);
// 地球轨道（高度 300 km）的轨道速度 ≈ 7730 m/s

机器人控制​

在机器人控制中，万有引力用于：

  • 重力补偿：机器人的重力补偿
  • 平衡控制：机器人的平衡控制
  • 姿态控制：机器人的姿态调整

航空航天​

在航空航天中，万有引力用于：

  • 轨道设计：卫星轨道设计
  • 火箭发射：火箭发射计算
  • 导航系统：GPS 导航系统

常见问题​

1. 求万有引力​

问题：两个质量分别为 1000 kg 和 2000 kg 的物体，相距 5 m，求万有引力。

分析：

F=Gm1m2r2=6.67×10−11×1000×200052=5.34×10−6 NF = G\frac{m_1 m_2}{r^2} = 6.67 \times 10^{-11} \times \frac{1000 \times 2000}{5^2} = 5.34 \times 10^{-6} \text{ N}

2. 求距离​

问题：两个质量分别为 100 kg 的物体，万有引力为 1×10−8 N1 \times 10^{-8} \text{ N}，求距离。

分析：

F=Gm1m2r2F = G\frac{m_1 m_2}{r^2}

1×10−8=6.67×10−11×100×100r21 \times 10^{-8} = 6.67 \times 10^{-11} \times \frac{100 \times 100}{r^2}

r2=6.67×10−11×100001×10−8=6.67×10−5r^2 = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 10000}{1 \times 10^{-8}} = 6.67 \times 10^{-5}

r=6.67×10−5≈0.0082 m=8.2 mmr = \sqrt{6.67 \times 10^{-5}} \approx 0.0082 \text{ m} = 8.2 \text{ mm}

3. 求质量​

问题：两个物体相距 10 m，万有引力为 5×10−8 N5 \times 10^{-8} \text{ N}，其中一个质量为 500 kg，求另一个质量。

分析：

F=Gm1m2r2F = G\frac{m_1 m_2}{r^2}

5×10−8=6.67×10−11×500×m21025 \times 10^{-8} = 6.67 \times 10^{-11} \times \frac{500 \times m_2}{10^2}

m2=5×10−8×1006.67×10−11×500≈1500 kgm_2 = \frac{5 \times 10^{-8} \times 100}{6.67 \times 10^{-11} \times 500} \approx 1500 \text{ kg}

常见错误​

  1. 单位错误：万有引力常数 GG 的单位是 N·m²/kg²，要注意单位统一
  2. 距离错误：距离 rr 是两个物体之间的距离（质心之间的距离），不是物体大小
  3. 质量错误：质量是物体的质量，不是重量
  4. 方向错误：万有引力的方向沿着两个物体之间的连线

万有引力定律的意义​

科学意义​

  1. 统一理论：统一了地面物体和天体的运动规律
  2. 预测能力：可以预测天体运动、卫星轨道等
  3. 基础定律：是经典力学的基础定律之一

实际意义​

  1. 航天工程：卫星轨道设计、火箭发射等
  2. 导航系统：GPS、北斗等导航系统
  3. 天文学：天体运动、行星轨道等

小结​

万有引力定律的核心内容：

  1. 定律内容：F=Gm1m2r2F = G\frac{m_1 m_2}{r^2}

    • 任何两个物体之间都有引力
    • 质量越大，引力越大
    • 距离越近，引力越大（与距离的平方成反比）

  2. 万有引力常数：G=6.67×10−11 N\cdotpm²/kg²G = 6.67 \times 10^{-11} \text{ N·m²/kg²}

  3. 重力：G=mgG = mg（地球表面的特殊情况）

  4. 应用：

    • 天体运动
    • 重力场
    • 人造卫星

记住：万有引力定律告诉我们，任何物体之间都有引力，质量越大、距离越近，引力越大！