卫星运动和轨道

卫星运动是人造卫星绕地球运动的运动形式。理解卫星运动和轨道，是学习航天知识的基础。

什么是卫星运动？

卫星运动的定义

卫星运动：卫星在地球引力作用下绕地球运动的运动形式。

通俗理解：卫星"绕地球转"，就像月球绕地球一样。

卫星运动的特点

1. 万有引力提供向心力：地球对卫星的万有引力提供圆周运动的向心力
2. 轨道运动：卫星沿轨道运动（圆形或椭圆形）
3. 能量守恒：卫星的机械能守恒（忽略大气阻力）

卫星轨道的类型

1. 圆形轨道

圆形轨道：卫星绕地球做匀速圆周运动。

特点：

• 轨道半径恒定
• 速度大小恒定
• 周期恒定

适用：大多数人造卫星

2. 椭圆形轨道

椭圆形轨道：卫星绕地球做椭圆运动。

特点：

• 轨道半径变化（近地点和远地点）
• 速度大小变化（近地点快，远地点慢）
• 周期恒定

适用：某些特殊任务卫星

3. 同步轨道

同步轨道：卫星的周期等于地球自转周期（24 小时）。

特点：

• 周期：$T = 24 \text{ \text{小时}} = 86400 \text{ \text{秒}}$
• 轨道高度：约 35786 km（地球同步轨道）
• 相对地面静止：从地面看，卫星好像静止不动

适用：通信卫星、气象卫星等

4. 极地轨道

极地轨道：卫星轨道通过地球两极。

特点：

• 轨道倾角：约 90°
• 可以覆盖全球
• 高度较低（几百到几千公里）

适用：地球观测卫星、气象卫星等

卫星运动的动力学

万有引力提供向心力

卫星绕地球运动时，地球的万有引力提供向心力：

$$G\frac{M_{\text{地}}m}{r^2} = m\frac{v^2}{r}$$

其中：

• $G$：万有引力常数
• $M_{\text{地}}$：地球质量
• $m$：卫星质量
• $r$：轨道半径（卫星到地心的距离）
• $v$：轨道速度

简化：

$$G\frac{M_{\text{地}}}{r^2} = \frac{v^2}{r}$$

所以：

$$v = \sqrt{\frac{GM_{\text{地}}}{r}}$$

结论：轨道速度与轨道半径的平方根成反比（轨道越大，速度越小）。

轨道周期

根据周期公式：

$$T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi r}{\sqrt{GM_{\text{地}}/r}} = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM_{\text{地}}}}$$

结论：轨道周期与轨道半径的 3/2 次方成正比（轨道越大，周期越长）。

轨道高度

轨道高度（$h$）：卫星到地面的距离。

关系：

$$r = R_{\text{地}} + h$$

其中：

• $r$：轨道半径（卫星到地心的距离）
• $R_{\text{地}}$：地球半径（约 $6.37 \times 10^6 \text{ m}$）
• $h$：轨道高度

通俗理解：轨道高度越高，轨道半径越大，速度越小，周期越长。

常见轨道

1. 近地轨道（Low Earth Orbit, LEO）

高度：约 160 - 2000 km

特点：

• 高度较低
• 周期较短（约 90 - 120 分钟）
• 速度快（约 7.8 km/s）

适用：国际空间站、大多数人造卫星

例子：国际空间站轨道高度约 400 km，周期约 90 分钟。

2. 中轨道（Medium Earth Orbit, MEO）

高度：约 2000 - 35786 km

特点：

• 高度中等
• 周期中等（几小时）
• 速度中等

适用：GPS 卫星、导航卫星

例子：GPS 卫星轨道高度约 20200 km，周期约 12 小时。

3. 地球同步轨道（Geosynchronous Orbit, GEO）

高度：约 35786 km

特点：

• 高度较高
• 周期：24 小时（与地球自转同步）
• 速度：约 3.07 km/s
• 相对地面静止

适用：通信卫星、气象卫星、电视广播卫星

例子：通信卫星轨道高度约 35786 km，周期 24 小时，相对地面静止。

实际应用

游戏开发

在游戏开发中，卫星运动用于：

• 天体模拟：模拟卫星运动
• 轨道计算：计算卫星轨道
• 物理引擎：模拟天体运动

// 卫星运动和轨道的应用
class SatelliteMotion {
  static G = 6.67e-11; // \text{万有引力常数}
  static M_EARTH = 5.97e24; // \text{地球质量}（kg）
  static R_EARTH = 6.37e6; // \text{地球半径}（m）
  
  // \text{计算轨道速度}
  static calculateOrbitalVelocity(orbitalRadius) {
    // v = √(GM/r)
    return Math.sqrt(this.G * this.M_EARTH / orbitalRadius);
  }
  
  // 计算轨道周期
  static calculateOrbitalPeriod(orbitalRadius) {
    // T = 2π√(r³/GM)
    return 2 * Math.PI * Math.sqrt(
      (orbitalRadius * orbitalRadius * orbitalRadius) / 
      (this.G * this.M_EARTH)
    );
  }
  
  // 从轨道高度计算轨道半径
  static calculateOrbitalRadius(altitude) {
    // r = R + h
    return this.R_EARTH + altitude;
  }
  
  // 计算同步轨道高度
  static calculateGeosynchronousAltitude() {
    // T = 24 \text{小时} = 86400 \text{秒}
    const T = 86400;
    // T = 2π√(r³/GM)
    // r = ³√(GMT²/4π²)
    const r = Math.cbrt(
      (this.G * this.M_EARTH * T * T) / (4 * Math.PI * Math.PI)
    );
    // h = r - R
    return r - this.R_EARTH;
  }
}

// 使用示例
let leoRadius = SatelliteMotion.calculateOrbitalRadius(400e3); // 400 km
let leoVelocity = SatelliteMotion.calculateOrbitalVelocity(leoRadius);
// 近地轨道速度 ≈ 7.67 km/s

let geoAltitude = SatelliteMotion.calculateGeosynchronousAltitude();
// 地球同步轨道高度 ≈ 35786 km

let geoRadius = SatelliteMotion.calculateOrbitalRadius(geoAltitude);
let geoVelocity = SatelliteMotion.calculateOrbitalVelocity(geoRadius);
// 地球同步轨道速度 ≈ 3.07 km/s
let geoPeriod = SatelliteMotion.calculateOrbitalPeriod(geoRadius);
// 地球同步轨道周期 ≈ 86400 秒 = 24 小时

航空航天

在航空航天中，卫星运动用于：

• 轨道设计：卫星轨道设计
• 轨道预测：预测卫星位置
• 任务规划：航天任务规划

导航系统

在导航系统中，卫星运动用于：

• GPS：GPS 卫星轨道
• 北斗：北斗卫星轨道
• 伽利略：伽利略卫星轨道

常见问题

1. 求轨道速度

问题：卫星在高度 500 km 的轨道上运动，求轨道速度。

分析：

• 轨道半径：$r = 6.37 \times 10^6 + 500 \times 10^3 = 6.87 \times 10^6 \text{ m}$
• 轨道速度：$v = \sqrt{\frac{GM_{\text{地}}}{r}} = \sqrt{\frac{6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24}}{6.87 \times 10^6}} \approx 7.61 \text{ km/s}$

2. 求轨道周期

问题：卫星在高度 1000 km 的轨道上运动，求轨道周期。

分析：

• 轨道半径：$r = 6.37 \times 10^6 + 1000 \times 10^3 = 7.37 \times 10^6 \text{ m}$
• 轨道周期：$T = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM_{\text{地}}}} \approx 6300 \text{ 秒} \approx 105 \text{ \text{分}钟}$

3. 求同步轨道高度

问题：求地球同步轨道的高度。

分析：

• 周期：$T = 86400 \text{ 秒}$（24 小时）
• 轨道半径：$r = \sqrt[3]{\frac{GMT^2}{4\pi^2}} \approx 4.22 \times 10^7 \text{ m}$
• 轨道高度：$h = r - R_{\text{地}} = 4.22 \times 10^7 - 6.37 \times 10^6 \approx 3.58 \times 10^7 \text{ m} = 35786 \text{ km}$

结论：地球同步轨道高度约为 35786 km。

常见错误

1. 混淆轨道高度和轨道半径：轨道高度是到地面的距离，轨道半径是到地心的距离
2. 速度方向错误：轨道速度方向沿切线方向，不是指向地心
3. 周期计算错误：周期与轨道半径的关系是 $T^2 \propto r^3$，不是 $T \propto r$
4. 单位错误：注意单位统一，特别是距离和时间的单位

小结

卫星运动和轨道的核心内容：

1. 轨道类型：

   • 圆形轨道
   • 椭圆形轨道
   • 同步轨道（高度约 35786 km，周期 24 小时）
   • 极地轨道

2. 动力学：

   • 万有引力提供向心力：$G\frac{M_{\text{地}}m}{r^2} = m\frac{v^2}{r}$
   • 轨道速度：$v = \sqrt{\frac{GM_{\text{地}}}{r}}$
   • 轨道周期：$T = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM_{\text{地}}}}$

3. 轨道高度：

   • 近地轨道（160 - 2000 km）
   • 中轨道（2000 - 35786 km）
   • 地球同步轨道（35786 km）

记住：卫星运动是万有引力提供向心力的圆周运动，轨道越高，速度越小，周期越长！