宇宙速度

宇宙速度是物体脱离地球引力所需的最小速度。理解宇宙速度，是学习航天知识的基础。

什么是宇宙速度？

宇宙速度的定义

宇宙速度（Cosmic Velocities）：物体脱离地球引力所需的最小速度，分为第一、第二、第三宇宙速度。

通俗理解：宇宙速度就是"飞出地球需要多快的速度"。

三种宇宙速度

1. 第一宇宙速度：物体绕地球做圆周运动所需的最小速度（环绕速度）
2. 第二宇宙速度：物体脱离地球引力所需的最小速度（逃逸速度）
3. 第三宇宙速度：物体脱离太阳系所需的最小速度

第一宇宙速度（环绕速度）

第一宇宙速度的定义

第一宇宙速度（$v_1$）：物体绕地球做圆周运动所需的最小速度。

通俗理解：第一宇宙速度就是"绕地球转需要多快的速度"。

第一宇宙速度的计算

根据万有引力提供向心力：

$$G\frac{M_{\text{地}}m}{r^2} = m\frac{v_1^2}{r}$$

所以：

$$v_1 = \sqrt{\frac{GM_{\text{地}}}{r}}$$

在地球表面附近（$r = R_{\text{地}}$）：

$$v_1 = \sqrt{\frac{GM_{\text{地}}}{R_{\text{地}}}}$$

数值：$v_1 \approx 7.9 \text{ km/s}$

注意：第一宇宙速度与轨道高度有关，高度越高，速度越小。

第一宇宙速度的意义

• 最小发射速度：发射卫星所需的最小速度
• 环绕速度：物体绕地球做圆周运动的速度
• 轨道速度：近地轨道的轨道速度

通俗理解：

• 如果速度小于第一宇宙速度，物体会落回地球
• 如果速度等于第一宇宙速度，物体会绕地球做圆周运动
• 如果速度大于第一宇宙速度但小于第二宇宙速度，物体会做椭圆运动

第一宇宙速度与重力加速度

根据重力加速度公式：

$$g = G\frac{M_{\text{地}}}{R_{\text{地}}^2}$$

所以：

$$v_1 = \sqrt{gR_{\text{地}}}$$

数值：$v_1 = \sqrt{9.8 \times 6.37 \times 10^6} \approx 7.9 \text{ km/s}$

结论：第一宇宙速度可以用重力加速度和地球半径计算。

第二宇宙速度（逃逸速度）

第二宇宙速度的定义

第二宇宙速度（$v_2$）：物体脱离地球引力所需的最小速度。

通俗理解：第二宇宙速度就是"飞出地球需要多快的速度"。

第二宇宙速度的计算

根据能量守恒：

在地球表面：

• 动能：$E_k = \frac{1}{2}mv_2^2$
• 势能：$E_p = -G\frac{M_{\text{地}}m}{R_{\text{地}}}$（以无穷远为零势能点）

在无穷远处：

• 动能：$E_k = 0$（速度为零）
• 势能：$E_p = 0$（零势能点）

根据机械能守恒：

$$\frac{1}{2}mv_2^2 - G\frac{M_{\text{地}}m}{R_{\text{地}}} = 0$$

所以：

$$v_2 = \sqrt{\frac{2GM_{\text{地}}}{R_{\text{地}}}} = \sqrt{2}v_1$$

数值：$v_2 = \sqrt{2} \times 7.9 \approx 11.2 \text{ km/s}$

第二宇宙速度的意义

• 逃逸速度：物体脱离地球引力的最小速度
• 最小发射速度：发射深空探测器所需的最小速度
• 双曲线运动：速度大于第二宇宙速度时，物体会做双曲线运动

通俗理解：

• 如果速度小于第二宇宙速度，物体会被地球引力拉回
• 如果速度等于第二宇宙速度，物体会刚好脱离地球引力（速度为零）
• 如果速度大于第二宇宙速度，物体会脱离地球引力，但仍有速度

第二宇宙速度与第一宇宙速度的关系

$$v_2 = \sqrt{2}v_1 \approx 1.414 \times v_1$$

结论：第二宇宙速度是第一宇宙速度的 $\sqrt{2}$ 倍。

第三宇宙速度（脱离太阳系）

第三宇宙速度的定义

第三宇宙速度（$v_3$）：物体脱离太阳系所需的最小速度。

通俗理解：第三宇宙速度就是"飞出太阳系需要多快的速度"。

第三宇宙速度的计算

第三宇宙速度的计算比较复杂，需要考虑：

1. 地球绕太阳的速度：约 29.8 km/s
2. 太阳系的逃逸速度：从地球轨道脱离太阳系所需的速度

近似计算：

$$v_3 \approx 16.7 \text{ km/s}$$

精确计算：

$$v_3 = \sqrt{v_{\text{地日}}^2 + v_{\text{太\text{阳逃}逸}}^2} = \sqrt{29.8^2 + 42.1^2} \approx 16.7 \text{ km/s}$$

其中：

• $v_{\text{地}日} = 29.8 \text{ km/s}$：地球绕太阳的速度
• $v_{\text{太阳逃}逸} = 42.1 \text{ km/s}$：从地球轨道脱离太阳系的速度

第三宇宙速度的意义

• 脱离太阳系：物体脱离太阳系的最小速度
• 深空探测：深空探测器（如旅行者号）的发射速度
• 星际旅行：理论上，如果速度达到第三宇宙速度，可以飞出太阳系

通俗理解：

• 如果速度小于第三宇宙速度，物体会被太阳系引力拉回
• 如果速度等于第三宇宙速度，物体会刚好脱离太阳系
• 如果速度大于第三宇宙速度，物体会脱离太阳系，进入星际空间

宇宙速度的总结

宇宙速度	数值	意义	用途
第一宇宙速度（$v_1$）	7.9 km/s	环绕地球	发射卫星
第二宇宙速度（$v_2$）	11.2 km/s	脱离地球	发射深空探测器
第三宇宙速度（$v_3$）	16.7 km/s	脱离太阳系	深空探测、星际旅行

速度关系

$v_1 < v_2 < v_3$

$v_2 = \sqrt{2}v_1$

$v_3 \approx 2.1v_1$

实际应用

游戏开发

在游戏开发中，宇宙速度用于：

• 天体模拟：模拟航天器发射
• 轨道计算：计算航天器轨道
• 物理引擎：模拟天体运动

// 宇宙速度的计算
class CosmicVelocities {
  static G = 6.67e-11; // \text{万有引力常数}
  static M_EARTH = 5.97e24; // \text{地球质量}（kg）
  static R_EARTH = 6.37e6; // \text{地球半径}（m）
  static g = 9.8; // \text{重力加速度}（m/s²）
  
  // \text{第一宇宙速度}（\text{环绕速度}）
  static firstCosmicVelocity(orbitalRadius = this.R_EARTH) {
    // v₁ = √(GM/r) \text{或} v₁ = √(gR)
    return Math.sqrt(this.G * this.M_EARTH / orbitalRadius);
    // \text{或者}：return Math.sqrt(this.g * orbitalRadius);
  }
  
  // 第二宇宙速度（逃逸速度）
  static secondCosmicVelocity(orbitalRadius = this.R_EARTH) {
    // v₂ = √(2GM/r) = √2 × v₁
    return Math.sqrt(2 * this.G * this.M_EARTH / orbitalRadius);
    // \text{或者}：return Math.sqrt(2) * this.firstCosmicVelocity(orbitalRadius);
  }
  
  // 第三宇宙速度（脱离太阳系）
  static thirdCosmicVelocity() {
    // v₃ ≈ 16.7 km/s
    return 16.7e3; // m/s
  }
  
  // 判断速度类型
  static classifyVelocity(velocity) {
    const v1 = this.firstCosmicVelocity();
    const v2 = this.secondCosmicVelocity();
    const v3 = this.thirdCosmicVelocity();
    
    if (velocity < v1) {
      return "\text{落回地球}";
    } else if (velocity < v2) {
      return "\text{绕地球运动}";
    } else if (velocity < v3) {
      return "\text{脱离地球}，\text{绕太阳运动}";
    } else {
      return "\text{脱离太阳系}";
    }
  }
}

// 使用示例
let v1 = CosmicVelocities.firstCosmicVelocity();
// 第一宇宙速度 ≈ 7900 m/s = 7.9 km/s

let v2 = CosmicVelocities.secondCosmicVelocity();
// 第二宇宙速度 ≈ 11200 m/s = 11.2 km/s

let v3 = CosmicVelocities.thirdCosmicVelocity();
// 第三宇宙速度 ≈ 16700 m/s = 16.7 km/s

let classification = CosmicVelocities.classifyVelocity(10000);
// 10000 m/s < 11200 m/s，所以是"绕地球运动"

航空航天

在航空航天中，宇宙速度用于：

• 火箭发射：计算火箭发射速度
• 轨道设计：设计卫星轨道
• 深空探测：深空探测器的发射速度

航天工程

在航天工程中，宇宙速度用于：

• 发射窗口：选择最佳发射时间
• 燃料计算：计算所需燃料
• 任务规划：规划航天任务

常见问题

1. 求第一宇宙速度

问题：求地球表面的第一宇宙速度。

分析：

$v_1 = \sqrt{\frac{GM_{\text{地}}}{R_{\text{地}}}} = \sqrt{gR_{\text{地}}} = \sqrt{9.8 \times 6.37 \times 10^6} \approx 7.9 \text{ km/s}$

2. 求第二宇宙速度

问题：求地球表面的第二宇宙速度。

分析：

$v_2 = \sqrt{\frac{2GM_{\text{地}}}{R_{\text{地}}}} = \sqrt{2}v_1 = \sqrt{2} \times 7.9 \approx 11.2 \text{ km/s}$

3. 判断运动状态

问题：物体以 10 km/s 的速度发射，判断运动状态。

分析：

• 第一宇宙速度：$v_1 = 7.9 \text{ km/s}$
• 第二宇宙速度：$v_2 = 11.2 \text{ km/s}$
• 物体速度：$v = 10 \text{ km/s}$

因为 $v_1 < v < v_2$，所以物体会绕地球做椭圆运动（不会落回地球，也不会脱离地球）。

4. 求轨道高度

问题：卫星以第一宇宙速度发射，求轨道高度（假设做圆周运动）。

分析：

根据第一宇宙速度公式：

$v_1 = \sqrt{\frac{GM_{\text{地}}}{r}}$

所以：

$r = \frac{GM_{\text{地}}}{v_1^2} = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24}}{(7.9 \times 10^3)^2} \approx 6.37 \times 10^6 \text{ m}$

轨道高度：

$h = r - R_{\text{地}} = 6.37 \times 10^6 - 6.37 \times 10^6 = 0 \text{ m}$

结论：如果以第一宇宙速度发射，轨道高度接近零（地表附近）。

注意：实际中，由于大气阻力，卫星不能在地表附近运行，需要更高的轨道。

常见错误

1. 混淆三种宇宙速度：第一、第二、第三宇宙速度的含义不同
2. 速度方向错误：宇宙速度是发射时的速度，方向沿切线方向
3. 轨道高度错误：第一宇宙速度对应的是地表附近的轨道，不是所有高度
4. 单位错误：宇宙速度的单位是 km/s，不是 m/s（虽然数值相同）

小结

宇宙速度的核心内容：

1. 第一宇宙速度（$v_1 = 7.9 \text{ km/s}$）：

   • 环绕地球所需的最小速度
   • $v_1 = \sqrt{\frac{GM_{\text{地}}}{R_{\text{地}}}} = \sqrt{gR_{\text{地}}}$
   • 用途：发射卫星

2. 第二宇宙速度（$v_2 = 11.2 \text{ km/s}$）：

   • 脱离地球引力所需的最小速度
   • $v_2 = \sqrt{\frac{2GM_{\text{地}}}{R_{\text{地}}}} = \sqrt{2}v_1$
   • 用途：发射深空探测器

3. 第三宇宙速度（$v_3 = 16.7 \text{ km/s}$）：

   • 脱离太阳系所需的最小速度
   • 用途：深空探测、星际旅行

4. 关系：

   • $v_1 < v_2 < v_3$
   • $v_2 = \sqrt{2}v_1$
   • $v_3 \approx 2.1v_1$

记住：第一宇宙速度是环绕速度，第二宇宙速度是逃逸速度，第三宇宙速度是脱离太阳系的速度！