力矩和转动惯量

力矩是使物体转动的"力"，转动惯量是物体转动时的"惯性"。理解它们，是学习转动定律的基础。

什么是力矩？

力矩的定义

力矩（Torque）：力对物体转动的作用，等于力的大小、力臂和力与力臂夹角正弦的乘积。

$$\tau = Fr\sin\theta$$

其中：

• $\tau$：力矩（单位：牛顿·米，N·m）
• $F$：力的大小（单位：牛顿，N）
• $r$：力臂（从转轴到力的作用线的距离，单位：米，m）
• $\theta$：力与力臂的夹角

通俗理解：力矩就是"转动的力"，力越大、力臂越长，力矩越大。

力矩的矢量表示

力矩是矢量，方向用右手定则确定：

• 右手四指指向力的方向
• 四指弯曲指向转轴
• 拇指指向力矩的方向

注意：在二维情况下，力矩只有两个方向（顺时针或逆时针），通常规定逆时针为正，顺时针为负。

力臂

力臂（Moment Arm）：从转轴到力的作用线的垂直距离。

通俗理解：力臂就是"转动的杠杆长度"。

计算：如果力与转轴的距离为 $r$，力与转轴的夹角为 $\theta$，则力臂为：

$$d = r\sin\theta$$

所以力矩也可以表示为：

$$\tau = Fd$$

其中 $d$ 是力臂。

力矩的特点

1. 矢量：力矩有大小和方向
2. 使物体转动：力矩使物体产生角加速度
3. 与力不同：力矩不是力，是力对转动的效果

力矩的单位

力矩的单位是牛顿·米（N·m）。

注意：虽然单位与功的单位相同，但力矩和功是不同的物理量。

什么是转动惯量？

转动惯量的定义

转动惯量（Moment of Inertia）：物体转动时的惯性，描述物体抵抗角加速度的能力。

$$I = \sum m_i r_i^2$$

其中：

• $I$：转动惯量（单位：千克·米²，kg·m²）
• $m_i$：第 $i$ 个质点的质量
• $r_i$：第 $i$ 个质点到转轴的距离

通俗理解：转动惯量就是"转动的惯性"，质量越大、距离转轴越远，转动惯量越大。

转动惯量的特点

1. 标量：转动惯量只有大小，没有方向
2. 与转轴有关：同一物体，绕不同转轴转动，转动惯量不同
3. 与质量分布有关：质量分布越远离转轴，转动惯量越大

常见物体的转动惯量

1. 质点绕轴转动

$$I = mr^2$$

其中 $m$ 是质量，$r$ 是到转轴的距离。

2. 细杆绕端点转动

$$I = \frac{1}{3}ml^2$$

其中 $m$ 是质量，$l$ 是杆的长度。

3. 细杆绕中点转动

$$I = \frac{1}{12}ml^2$$

其中 $m$ 是质量，$l$ 是杆的长度。

4. 圆环绕中心轴转动

$$I = mr^2$$

其中 $m$ 是质量，$r$ 是半径。

5. 圆盘绕中心轴转动

$$I = \frac{1}{2}mr^2$$

其中 $m$ 是质量，$r$ 是半径。

6. 球体绕直径转动

$$I = \frac{2}{5}mr^2$$

其中 $m$ 是质量，$r$ 是半径。

平行轴定理

平行轴定理：物体绕任意轴的转动惯量，等于绕通过质心的平行轴的转动惯量加上质量与两轴距离平方的乘积。

$$I = I_{\text{质心}} + md^2$$

其中：

• $I$：绕任意轴的转动惯量
• $I_{\text{质}心}$：绕通过质心的平行轴的转动惯量
• $m$：质量
• $d$：两轴之间的距离

通俗理解：转动惯量 = 质心转动惯量 + 质量 × 距离²。

力矩与角加速度的关系

转动定律

转动定律（Rotational Law）：物体的角加速度与所受的合外力矩成正比，与转动惯量成反比。

$$\tau = I\alpha$$

其中：

• $\tau$：合外力矩（单位：牛顿·米，N·m）
• $I$：转动惯量（单位：千克·米²，kg·m²）
• $\alpha$：角加速度（单位：弧度每秒平方，rad/s²）

通俗理解：力矩越大，角加速度越大；转动惯量越大，角加速度越小。

与牛顿第二定律的类比

转动定律与牛顿第二定律形式相同：

直线运动	旋转运动
$F = ma$	$\tau = I\alpha$
力 $F$	力矩 $\tau$
质量 $m$	转动惯量 $I$
加速度 $a$	角加速度 $\alpha$

记忆口诀：转动定律就是"旋转版的牛顿第二定律"。

实际应用

游戏开发

在游戏开发中，力矩和转动惯量用于：

• 物理引擎：模拟物体的旋转运动
• 角色旋转：角色的旋转动画
• 物体旋转：物体的旋转运动

// 力矩和转动惯量的应用
class RotationalPhysics {
  constructor(mass, radius) {
    this.mass = mass;
    this.radius = radius;
    // \text{圆盘绕中心轴转动}：I = ½mr²
    this.momentOfInertia = 0.5 * mass * radius * radius;
    this.angularVelocity = 0;
    this.angularAcceleration = 0;
    this.angle = 0;
  }
  
  // 应用力矩
  applyTorque(torque, deltaTime) {
    // τ = Iα，\text{所以} α = τ/I
    this.angularAcceleration = torque / this.momentOfInertia;
    
    // \text{更新角速度}
    this.angularVelocity += this.angularAcceleration * deltaTime;
    
    // \text{更新角度}
    this.angle += this.angularVelocity * deltaTime;
  }
  
  // 计算力矩
  static calculateTorque(force, radius, angle) {
    // τ = Frsin(θ)
    return force * radius * Math.sin(angle);
  }
  
  // 计算力臂
  static calculateMomentArm(radius, angle) {
    // d = rsin(θ)
    return radius * Math.sin(angle);
  }
}

// 使用示例
let wheel = new RotationalPhysics(10, 0.5); // 质量 10 kg，半径 0.5 m
let torque = RotationalPhysics.calculateTorque(20, 0.5, Math.PI / 2); // 20 N，半径 0.5 m，垂直
// τ = 20 × 0.5 × sin(90°) = 10 N·m
wheel.applyTorque(torque, 0.1); // 应用力矩 0.1 秒

机器人控制

在机器人控制中，力矩和转动惯量用于：

• 关节控制：机器人的关节旋转控制
• 姿态控制：机器人的姿态调整
• 平衡控制：机器人的平衡控制

工程设计

在工程中，力矩和转动惯量用于：

• 机械设计：设计旋转机械
• 平衡分析：分析旋转体的平衡
• 安全设计：设计安全装置

常见问题

1. 求力矩

问题：用 10 N 的力推门，力的作用点距离门轴 0.8 m，力与门垂直，求力矩。

分析：

$\tau = Fr\sin\theta = 10 \times 0.8 \times \sin 90° = 8 \text{ N·m}$

2. 求转动惯量

问题：质量为 5 kg、半径为 0.3 m 的圆盘，绕中心轴转动，求转动惯量。

分析：

$I = \frac{1}{2}mr^2 = \frac{1}{2} \times 5 \times 0.3^2 = 0.225 \text{ kg·m}^2$

3. 求角加速度

问题：转动惯量为 2 kg·m² 的物体，受到 10 N·m 的力矩作用，求角加速度。

分析：

根据转动定律：

$\alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{10}{2} = 5 \text{ rad/s}^2$

常见错误

1. 混淆力矩和力：力矩不是力，是力对转动的效果
2. 力臂计算错误：力臂是垂直距离，不是斜距离
3. 转动惯量计算错误：不同形状的物体，转动惯量公式不同
4. 单位错误：力矩的单位是 N·m，转动惯量的单位是 kg·m²

小结

力矩和转动惯量：

1. 力矩（$\tau = Fr\sin\theta$）：

   • 力对物体转动的作用
   • 矢量，有大小和方向
   • 单位：牛顿·米（N·m）

2. 转动惯量（$I = \sum m_i r_i^2$）：

   • 物体转动时的惯性
   • 标量，与转轴和质量分布有关
   • 单位：千克·米²（kg·m²）

3. 转动定律（$\tau = I\alpha$）：

   • 力矩产生角加速度
   • 与牛顿第二定律形式相同

记住：力矩是"转动的力"，转动惯量是"转动的惯性"！