角动量守恒

角动量守恒是旋转运动的动量守恒，是物理学中的重要定律之一。

什么是角动量？

角动量的定义

角动量（Angular Momentum）：物体转动的"动量"，等于转动惯量与角速度的乘积。

$$L = I\omega$$

其中：

• $L$：角动量（单位：千克·米²每秒，kg·m²/s）
• $I$：转动惯量（单位：千克·米²，kg·m²）
• $\omega$：角速度（单位：弧度每秒，rad/s）

通俗理解：角动量就是"转动的动量"，转动惯量越大、角速度越快，角动量越大。

角动量的特点

1. 矢量：角动量有大小和方向
2. 与转轴有关：角动量与转轴的选择有关
3. 相对量：角动量的大小与参考系有关

角动量 vs 动量

• 动量（$p = mv$）：描述直线运动的"量"
• 角动量（$L = I\omega$）：描述旋转运动的"量"

关系：角动量是旋转运动的动量，与直线运动的动量相对应。

角动量的单位

角动量的单位是千克·米²每秒（kg·m²/s）。

什么是角动量守恒？

角动量守恒定律

角动量守恒定律（Law of Conservation of Angular Momentum）：如果系统不受外力矩作用或所受合外力矩为零，则系统的总角动量保持不变。

通俗理解：在没有外力矩的情况下，系统的总角动量不会改变。

数学表达

$$\Delta L = 0$$

或者：

$$L_{\text{初}} = L_{\text{末}}$$

即：

$$I_1\omega_1 + I_2\omega_2 + \cdots = I_1\omega_1' + I_2\omega_2' + \cdots$$

其中：

• $I_1, I_2, \cdots$：各物体的转动惯量
• $\omega_1, \omega_2, \cdots$：各物体的初角速度
• $\omega_1', \omega_2', \cdots$：各物体的末角速度

守恒条件

角动量守恒的条件是：

1. 系统不受外力矩作用：系统所受的合外力矩为零
2. 或外力矩远小于内力矩：在某些情况下，即使有外力矩，如果外力矩远小于内力矩，也可以近似认为角动量守恒

与动量守恒的类比

角动量守恒与动量守恒形式相同：

直线运动	旋转运动
动量 $p = mv$	角动量 $L = I\omega$
动量守恒 $p_{\text{初}} = p_{\text{末}}$	角动量守恒 $L_{\text{初}} = L_{\text{末}}$
冲量 $I = F\Delta t$	角冲量 $\Delta L = \tau\Delta t$
冲量-动量定理 $I = \Delta p$	角冲量-角动量定理 $\tau\Delta t = \Delta L$

角动量守恒的应用

1. 转动惯量变化

问题：花样滑冰运动员旋转时，收拢手臂，角速度如何变化？

分析：

• 初始状态：转动惯量 $I_1$，角速度 $\omega_1$
  • 角动量：$L_1 = I_1\omega_1$
• 收拢手臂后：转动惯量 $I_2 < I_1$，角速度 $\omega_2$（待求）
  • 角动量：$L_2 = I_2\omega_2$

根据角动量守恒：

$L_1 = L_2$

$I_1\omega_1 = I_2\omega_2$

所以：

$\omega_2 = \frac{I_1}{I_2}\omega_1$

因为 $I_2 < I_1$，所以 $\omega_2 > \omega_1$。

结论：收拢手臂后，转动惯量减小，角速度增大（转得更快）。

例子：

• 花样滑冰运动员收拢手臂，转得更快
• 跳水运动员抱紧身体，转得更快
• 猫从高处落下时，通过调整身体改变转动惯量

2. 碰撞问题

问题：两个物体碰撞，如果碰撞力对转轴产生力矩，角动量守恒。

分析：

• 如果碰撞力对转轴的力矩为零（如碰撞点通过转轴），角动量守恒
• 如果碰撞力对转轴的力矩不为零，角动量不守恒

3. 旋转系统

问题：两个物体组成的旋转系统，如果不受外力矩，角动量守恒。

分析：

• 初始状态：角动量 $L_1 = I_1\omega_1 + I_2\omega_2$
• 末状态：角动量 $L_2 = I_1\omega_1' + I_2\omega_2'$

根据角动量守恒：

$I_1\omega_1 + I_2\omega_2 = I_1\omega_1' + I_2\omega_2'$

实际应用

游戏开发

在游戏开发中，角动量守恒用于：

• 物理引擎：模拟物体的旋转运动
• 碰撞检测：旋转物体的碰撞响应
• 动画设计：角色的旋转动画

// 角动量守恒的应用
class AngularMomentum {
  constructor(momentOfInertia, angularVelocity) {
    this.momentOfInertia = momentOfInertia; // \text{转动惯量}
    this.angularVelocity = angularVelocity; // \text{角速度}
    this.angularMomentum = momentOfInertia * angularVelocity; // \text{角动量}
  }
  
  // 改变转动惯量（角动量守恒）
  changeMomentOfInertia(newMomentOfInertia) {
    // L = Iω，\text{如果} L \text{不变}，I \text{改变}，ω \text{也改变}
    // L = I₁ω₁ = I₂ω₂
    // ω₂ = (I₁/I₂)ω₁
    this.angularVelocity = (this.momentOfInertia / newMomentOfInertia) * this.angularVelocity;
    this.momentOfInertia = newMomentOfInertia;
    this.angularMomentum = this.momentOfInertia * this.angularVelocity;
  }
  
  // 计算角动量
  getAngularMomentum() {
    return this.momentOfInertia * this.angularVelocity;
  }
}

// 使用示例
let skater = new AngularMomentum(5, 2); // 转动惯量 5 kg·m²，角速度 2 rad/s
// 角动量 = 5 × 2 = 10 kg·m²/s

skater.changeMomentOfInertia(2); // 收拢手臂，转动惯量变为 2 kg·m²
// 角速度 = (5/2) × 2 = 5 rad/s（转得更快）
// 角动量 = 2 × 5 = 10 kg·m²/s（保持不变）

机器人控制

在机器人控制中，角动量守恒用于：

• 姿态控制：机器人的姿态调整
• 平衡控制：机器人的平衡控制
• 旋转控制：机器人的旋转控制

工程设计

在工程中，角动量守恒用于：

• 陀螺仪：陀螺仪的工作原理
• 飞轮：飞轮的储能和稳定作用
• 旋转机械：旋转机械的设计和分析

常见问题

1. 求角速度变化

问题：转动惯量为 10 kg·m² 的物体，角速度为 5 rad/s，转动惯量变为 5 kg·m²，求新的角速度（角动量守恒）。

分析： 根据角动量守恒：

$I_1\omega_1 = I_2\omega_2$

$10 \times 5 = 5 \times \omega_2$

$\omega_2 = 10 \text{ rad/s}$

结论：转动惯量减半，角速度加倍。

2. 求转动惯量变化

问题：物体的角速度从 4 rad/s 增加到 8 rad/s，如果角动量守恒，求转动惯量的变化。

分析： 根据角动量守恒：

$I_1\omega_1 = I_2\omega_2$

$I_1 \times 4 = I_2 \times 8$

$\frac{I_2}{I_1} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

结论：转动惯量减半。

3. 判断角动量是否守恒

问题：两个物体碰撞，角动量是否守恒？

分析：

1. 确定系统：两个物体组成的系统
2. 分析外力矩：如果碰撞力对转轴的力矩为零，角动量守恒
3. 判断：如果合外力矩为零或远小于内力矩，角动量守恒

常见错误

1. 忽略方向：角动量是矢量，要注意方向
2. 转动惯量变化：如果转动惯量变化，角速度也会变化
3. 外力矩判断错误：忘记考虑某些外力矩
4. 单位错误：角动量的单位是 kg·m²/s

角动量守恒的意义

科学意义

1. 基本定律：角动量守恒是物理学中的基本定律之一
2. 普遍适用：适用于所有旋转过程
3. 本质规律：反映了旋转运动的基本规律

实际意义

1. 旋转控制：指导旋转运动的控制
2. 能量储存：飞轮等储能装置的设计
3. 稳定系统：陀螺仪等稳定系统的设计

小结

角动量守恒的核心内容：

1. 角动量（$L = I\omega$）：

   • 物体转动的"动量"
   • 矢量，有大小和方向
   • 单位：千克·米²每秒（kg·m²/s）

2. 角动量守恒定律（$L_{\text{初}} = L_{\text{末}}$）：

   • 如果系统不受外力矩或合外力矩为零，角动量守恒
   • $I_1\omega_1 = I_2\omega_2$（转动惯量变化时）

3. 守恒条件：

   • 系统不受外力矩作用
   • 或外力矩远小于内力矩

4. 应用：

   • 转动惯量变化（花样滑冰、跳水等）
   • 碰撞问题
   • 旋转系统

记住：角动量守恒告诉我们，在特定条件下，转动惯量和角速度可以相互转换，但角动量不变！