竖直上抛运动

竖直上抛运动是物体以一定的初速度竖直向上抛出，然后受重力作用先上升后下降的运动。

什么是竖直上抛运动？

竖直上抛运动：物体以初速度 $v_0$ 竖直向上抛出，只受重力作用的运动。

通俗理解：向上扔东西，它先上升，达到最高点后下降。

特点

有初速度（ $v_0 > 0$ ）：向上抛出
加速度恒定（ $a = -g$ ）：重力加速度向下
上升和下降：先上升，后下降

运动过程

上升阶段：速度逐渐减小，到达最高点速度为零
最高点：速度为零，高度最大
下降阶段：速度逐渐增大（向下），回到出发点

基本公式

竖直上抛运动是匀加速直线运动（ $a = -g$ ），所以使用匀加速运动的公式，注意加速度为负：

公式 1：速度公式

v = v_0 - gt

其中：

$v$ ：瞬时速度（向上为正）
$v_0$ ：初速度（向上）
$g$ ：重力加速度（ $g = 9.8 \text{ m/s}^2$ ）
$t$ ：时间

含义：速度 = 初速度 - 重力加速度 × 时间

注意：

上升时： $v > 0$ （向上）
最高点： $v = 0$
下降时： $v < 0$ （向下）

公式 2：位移公式（高度公式）

h = v_0 t - \frac{1}{2}gt^2

其中：

$h$ ：高度（从抛出点算起，向上为正）
$v_0$ ：初速度
$g$ ：重力加速度
$t$ ：时间

含义：高度 = 初速度 × 时间 - ½ × 重力加速度 × 时间的平方

公式 3：速度-高度关系式

v^2 = v_0^2 - 2gh

其中：

$v$ ：瞬时速度
$v_0$ ：初速度
$g$ ：重力加速度
$h$ ：高度

含义：瞬时速度的平方 = 初速度的平方 - 2 × 重力加速度 × 高度

重要参数

1. 上升时间

物体到达最高点所用的时间：

t_\text{上} = \frac{v_0}{g}

推导：在最高点， $v = 0$ ，由速度公式 $0 = v_0 - gt_\text{上}$ ，得到 $t_\text{上} = \frac{v_0}{g}$

2. 最大高度

物体能达到的最大高度：

h_{\text{最大}} = \frac{v_0^2}{2g}

推导：在最高点， $v = 0$ ，由速度-高度关系式 $0 = v_0^2 - 2gh_{\text{最大}}$ ，得到 $h_{\text{最大}} = \frac{v_0^2}{2g}$

3. 总时间

物体从抛出到回到抛出点的时间：

t_{\text{总}} = \frac{2v_0}{g} = 2t_\text{上}

含义：上升和下降时间相等，总时间是上升时间的 2 倍

4. 回到抛出点的速度

物体回到抛出点时的速度：

v_{\text{返回}} = -v_0

含义：速度大小相等，方向相反（向下）

运动对称性

竖直上抛运动具有对称性：

时间对称

上升时间和下降时间相等： $t_\text{上} = t_\text{下}$
总时间是上升时间的 2 倍： $t_{\text{总}} = 2t_\text{上}$

速度对称

在相同高度处：

上升速度和下降速度大小相等
方向相反

位移对称

上升和下降经过相同的路径
在相同时间间隔内，位移大小相等（方向相反）

常见问题

1. 求最大高度

已知初速度，求最大高度：

h_{\text{最大}} = \frac{v_0^2}{2g}

例子：以 20 m/s 的初速度竖直上抛，求最大高度。

h_{\text{最大}} = \frac{20^2}{2 \times 9.8} = \frac{400}{19.6} \approx 20.4 \text{ m}

2. 求上升时间

已知初速度，求上升时间：

t_\text{上} = \frac{v_0}{g}

例子：以 20 m/s 的初速度竖直上抛，求上升时间。

t_\text{上} = \frac{20}{9.8} \approx 2.04 \text{ s}

3. 求某一时刻的高度

已知初速度和时间，求高度：

h = v_0 t - \frac{1}{2}gt^2

例子：以 20 m/s 的初速度竖直上抛，求 3 秒后的高度。

h = 20 \times 3 - \frac{1}{2} \times 9.8 \times 3^2 = 60 - 44.1 = 15.9 \text{ m}

注意：此时物体已经在下降阶段。

4. 求某一时刻的速度

已知初速度和时间，求速度：

v = v_0 - gt

例子：以 20 m/s 的初速度竖直上抛，求 3 秒后的速度。

v = 20 - 9.8 \times 3 = 20 - 29.4 = -9.4 \text{ m/s}

注意：负号表示速度向下。

实际应用

游戏开发

在游戏中，竖直上抛常用于：

角色跳跃动画
投掷物品轨迹
物理引擎模拟

// 竖直上抛示例
let height = 0; // 初始高度
let velocity = 20; // 初速度（向上）
let gravity = 9.8; // 重力加速度
let time = 0;

function update(deltaTime) {
  time += deltaTime;
  velocity = 20 - gravity * time; // v = v₀ - gt
  height = 20 * time - 0.5 * gravity * time * time; // h = v₀t - ½gt²
  
  if (height < 0) {
    height = 0; // \text{回到地面}
    velocity = 0;
    time = 0;
  }
}

物理引擎

在物理引擎中，竖直上抛是基础模拟：

碰撞检测：计算物体何时落地
轨迹预测：预测物体运动轨迹
动画插值：平滑的上抛动画

传感器应用

在传感器应用中，可以用加速度计检测竖直上抛：

抛掷检测：检测物体是否被抛出
高度测量：通过运动时间估算高度
运动监测：监测物体运动状态

图像特征

速度-时间图（v-t 图）

竖直上抛的 v-t 图是一条向下倾斜的直线：

    v
    |\    
    | \
    |  \
    |   \______ t
    |     \

特点：

斜率为 $-g$ （负重力加速度）
与纵轴交点为 $v_0$ （初速度）
与横轴交点为 $t_\text{上}$ （上升时间）

高度-时间图（h-t 图）

竖直上抛的 h-t 图是一条开口向下的抛物线：

    h
    |    .    
    |   . .
    |  .   .
    | .     .
    |.       .______ t

特点：

最高点对应 $t_\text{上}$
回到原点对应 $t_{\text{总}}$
抛物线开口向下

注意事项

1. 符号规定

通常取向上为正方向，所以：

初速度 $v_0 > 0$ （向上）
加速度 $a = -g < 0$ （向下）
速度 $v$ 可能为正（上升）或负（下降）

2. 高度计算

高度 $h$ 从抛出点算起：

$h > 0$ ：在抛出点上方
$h = 0$ ：回到抛出点
$h < 0$ ：在抛出点下方（如果抛出点在某个高度）

3. 时间分段

可以分段计算：

上升阶段（ $0 \leq t \leq t_\text{上}$ ）：用上升公式
下降阶段（ $t > t_\text{上}$ ）：可以视为自由落体（从最高点开始）

4. 空气阻力

实际情况下，空气阻力会影响竖直上抛：

上升时，空气阻力和重力都向下，上升距离会减小
下降时，空气阻力向上，下降时间会增加
在粗略计算时，可以忽略空气阻力

常见错误

符号错误：忘记加速度为负，或符号规定不一致
时间分段：上升和下降阶段混淆
高度计算：忘记高度从抛出点算起
空气阻力：在高速时，空气阻力不能忽略

与自由落体的关系

竖直上抛运动可以看作两个运动的组合：

上升阶段：匀减速运动（ $a = -g$ ）
下降阶段：自由落体运动（ $a = g$ ）

两者对称，上升时间等于下降时间。

小结

竖直上抛运动的核心公式：

$v = v_0 - gt$ （速度公式）
$h = v_0 t - \frac{1}{2}gt^2$ （高度公式）
$v^2 = v_0^2 - 2gh$ （速度-高度关系式）
$t_\text{上} = \frac{v_0}{g}$ （上升时间）
$h_{\text{最大}} = \frac{v_0^2}{2g}$ （最大高度）

记住：竖直上抛是匀加速运动， $a = -g$ ，注意符号！

什么是竖直上抛运动？​

特点​

运动过程​

基本公式​

公式 1：速度公式​

公式 2：位移公式（高度公式）​

公式 3：速度-高度关系式​

重要参数​

1. 上升时间​

2. 最大高度​

3. 总时间​

4. 回到抛出点的速度​

运动对称性​

时间对称​

速度对称​

位移对称​

常见问题​

1. 求最大高度​

2. 求上升时间​

3. 求某一时刻的高度​

4. 求某一时刻的速度​

实际应用​

游戏开发​

物理引擎​

传感器应用​

图像特征​

速度-时间图（v-t 图）​

高度-时间图（h-t 图）​

注意事项​

1. 符号规定​

2. 高度计算​

3. 时间分段​

4. 空气阻力​

常见错误​

与自由落体的关系​

小结​