自由落体运动

自由落体运动是匀加速直线运动的一个特例。物体只在重力作用下，从静止开始下落。

什么是自由落体运动？

自由落体运动：物体只在重力作用下，从静止开始竖直下落的运动。

通俗理解：不考虑空气阻力，物体从高处自由下落。

特点

初速度为零（ $v_0 = 0$ ）：从静止开始
加速度恒定（ $a = g$ ）：重力加速度
方向向下：通常取向下为正方向

条件

只受重力作用（忽略空气阻力）
从静止开始（初速度为 0）

实际中的自由落体：在真空中，或在空气阻力可以忽略时（如重物从不太高的地方落下）

重力加速度

定义

重力加速度（ $g$ ）：地球表面附近，物体在重力作用下的加速度。

数值

标准值： $g = 9.8 \text{ m/s}^2$
近似值： $g \approx 10 \text{ m/s}^2$ （在粗略计算时）

注意：重力加速度的值：

在地球表面附近，约为 $9.8 \text{ m/s}^2$
在不同位置略有差异（赤道稍小，两极稍大）
随高度增加而减小

自由落体运动公式

因为自由落体是匀加速运动（ $v_0 = 0$ ， $a = g$ ），所以公式可以简化为：

公式 1：速度公式

v = gt

其中：

$v$ ：下落速度（向下为正）
$g$ ：重力加速度（ $g = 9.8 \text{ m/s}^2$ ）
$t$ ：下落时间

含义：速度 = 重力加速度 × 时间

公式 2：位移公式（高度公式）

h = \frac{1}{2}gt^2

其中：

$h$ ：下落高度（从起始位置算起）
$g$ ：重力加速度
$t$ ：下落时间

含义：下落高度 = ½ × 重力加速度 × 时间的平方

公式 3：速度-高度关系式

v^2 = 2gh

其中：

$v$ ：下落速度
$g$ ：重力加速度
$h$ ：下落高度

含义：速度的平方 = 2 × 重力加速度 × 下落高度

公式 4：时间公式

t = \sqrt{\frac{2h}{g}}

由公式 2 变形得到，用于计算下落时间。

常见问题

1. 求下落时间

已知高度，求下落时间：

t = \sqrt{\frac{2h}{g}}

例子：从 100 米高的地方自由下落，需要多长时间？

$t = \sqrt{\frac{2 \times 100}{9.8}} \approx \sqrt{20.4} \approx 4.5 \text{ s}$

2. 求下落速度

已知高度或时间，求下落速度：

已知时间： $v = gt$
已知高度： $v = \sqrt{2gh}$

例子：自由下落 5 秒后的速度是多少？

$v = 9.8 \times 5 = 49 \text{ m/s}$

3. 求下落高度

已知时间或速度，求下落高度：

已知时间： $h = \frac{1}{2}gt^2$
已知速度： $h = \frac{v^2}{2g}$

例子：自由下落 3 秒，下落了多少高度？

$h = \frac{1}{2} \times 9.8 \times 3^2 = 4.9 \times 9 = 44.1 \text{ m}$

实际应用

游戏开发

在游戏中，自由落体常用于：

角色跳跃后的下落
物体掉落动画
物理引擎模拟

// 自由落体示例
let height = 100; // 初始高度（米）
let velocity = 0; // 初始速度
let gravity = 9.8; // 重力加速度
let time = 0;

function update(deltaTime) {
  time += deltaTime;
  velocity = gravity * time; // v = gt
  height = 0.5 * gravity * time * time; // h = ½gt²（\text{从初始高度开始计算}）
}

物理引擎

在物理引擎中，自由落体是基础模拟：

碰撞检测：计算物体何时落地
动画插值：平滑的掉落动画
重力系统：模拟不同重力环境

传感器应用

在传感器应用中，可以用加速度计检测自由落体：

跌落检测：检测设备是否在掉落
高度测量：通过自由落体时间估算高度
运动监测：监测物体运动状态

图像特征

速度-时间图（v-t 图）

自由落体的 v-t 图是一条过原点的倾斜直线：

    v
    |   /
    | /
    |______ t

特点：

斜率为 $g$ （重力加速度）
经过原点（初速度为 0）

高度-时间图（h-t 图）

自由落体的 h-t 图是一条开口向下的抛物线：

    h
    |     .
    |   .
    | .
    |______ t

特点：

高度随时间平方增长
抛物线开口向下（如果从高处开始）

注意事项

1. 空气阻力

实际情况下，空气阻力会影响自由落体：

速度越大，空气阻力越大
最终会达到极限速度（终端速度）
轻的物体受影响更大

近似条件：在短时间内或重物下落时，可以忽略空气阻力。

2. 参考系

通常取向下为正方向，但也可以取向上为正方向。要注意符号：

如果向下为正： $g = +9.8 \text{ m/s}^2$
如果向上为正： $g = -9.8 \text{ m/s}^2$

3. 重力加速度的变化

在不同位置， $g$ 的值略有不同
在高处， $g$ 会稍微减小
在粗略计算时，可以用 $g \approx 10 \text{ m/s}^2$

常见错误

忽略初速度：自由落体从静止开始， $v_0 = 0$
单位错误：注意时间和高度的单位统一
符号混乱：注意重力加速度的正负号
空气阻力：实际情况下，空气阻力不能忽略（尤其在高速时）

小结

自由落体运动的核心公式：

$v = gt$ （速度公式）
$h = \frac{1}{2}gt^2$ （高度公式）
$v^2 = 2gh$ （速度-高度关系式）
$t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ （时间公式）

记住：自由落体是匀加速运动， $v_0 = 0$ ， $a = g$ ！

什么是自由落体运动？​

特点​

条件​

重力加速度​

定义​

数值​

自由落体运动公式​

公式 1：速度公式​

公式 2：位移公式（高度公式）​

公式 3：速度-高度关系式​

公式 4：时间公式​

常见问题​

1. 求下落时间​

2. 求下落速度​

3. 求下落高度​

实际应用​

游戏开发​

物理引擎​

传感器应用​

图像特征​

速度-时间图（v-t 图）​

高度-时间图（h-t 图）​

注意事项​

1. 空气阻力​

2. 参考系​

3. 重力加速度的变化​

常见错误​

小结​