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欧拉角和四元数

欧拉角和四元数是表示三维旋转的两种重要方法！理解它们，能帮助我们处理三维空间中的旋转问题。

什么是旋转？​

旋转（Rotation）是物体在三维空间中的方向变化。

简单理解​

旋转就像"物体在空间中转动"：

  • 从初始方向转到目标方向
  • 可以用角度描述
  • 可以用矩阵表示

欧拉角​

定义​

欧拉角（Euler Angles）是用三个角度表示三维旋转的方法。

基本旋转​

绕 X 轴旋转（俯仰，Pitch）​

旋转矩阵：

1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \alpha & -\sin \alpha \\ 0 & \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix}$$ #### 绕 Y 轴旋转（偏航，Yaw） 旋转矩阵： $$R_y(\beta) = \begin{pmatrix} \cos \beta & 0 & \sin \beta \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin \beta & 0 & \cos \beta \end{pmatrix}$$ #### 绕 Z 轴旋转（翻滚，Roll） 旋转矩阵： $$R_z(\gamma) = \begin{pmatrix} \cos \gamma & -\sin \gamma & 0 \\ \sin \gamma & \cos \gamma & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ ### 欧拉角表示 **ZYX 顺序**（最常见）： $$R = R_z(\gamma) R_y(\beta) R_x(\alpha)$$ 三个角度 $(\alpha, \beta, \gamma)$ 就是欧拉角。 ### 优点 - ✅ **直观**：容易理解 - ✅ **紧凑**：只需 3 个参数 - ✅ **常用**：广泛使用 ### 缺点 - ❌ **万向锁**：某些角度组合会导致自由度丢失 - ❌ **不唯一**：同一个旋转可能有多种表示 - ❌ **插值困难**：难以平滑插值 ### 万向锁问题 **万向锁**（Gimbal Lock）是当中间轴旋转 90° 时，另外两个轴重合，导致失去一个自由度。 **例子**：当 $\beta = 90°$ 时，$R_x$ 和 $R_z$ 的效果相同。 ## 四元数 ### 定义 **四元数**（Quaternion）是用 4 个参数表示三维旋转的方法。 ### 形式 四元数 $q$ 的形式： $$q = w + xi + yj + zk = (w, x, y, z)$$ 其中： - $w$ 是**标量部分** - $(x, y, z)$ 是**向量部分** - $i, j, k$ 是虚数单位，满足： - $i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1$ - $ij = k$，$jk = i$，$ki = j$ - $ji = -k$，$kj = -i$，$ik = -j$ ### 单位四元数 **单位四元数**满足： $$w^2 + x^2 + y^2 + z^2 = 1$$ 单位四元数可以表示旋转。 ### 旋转表示 绕轴 $\mathbf{n} = (n_x, n_y, n_z)$（单位向量）旋转角度 $\theta$ 的四元数： $$q = \left(\cos\frac{\theta}{2}, n_x \sin\frac{\theta}{2}, n_y \sin\frac{\theta}{2}, n_z \sin\frac{\theta}{2}\right)$$ ### 四元数运算 #### 乘法 两个四元数 $q_1 = (w_1, x_1, y_1, z_1)$ 和 $q_2 = (w_2, x_2, y_2, z_2)$ 的乘积： $$q_1 q_2 = (w_1 w_2 - x_1 x_2 - y_1 y_2 - z_1 z_2,$$ $$w_1 x_2 + x_1 w_2 + y_1 z_2 - z_1 y_2,$$ $$w_1 y_2 - x_1 z_2 + y_1 w_2 + z_1 x_2,$$ $$w_1 z_2 + x_1 y_2 - y_1 x_2 + z_1 w_2)$$ #### 共轭 四元数 $q = (w, x, y, z)$ 的**共轭**： $$q^* = (w, -x, -y, -z)$$ #### 逆 单位四元数的**逆**等于共轭： $$q^{-1} = q^*$$ ### 旋转向量 用四元数 $q$ 旋转向量 $\mathbf{v}$： $$\mathbf{v}' = q \mathbf{v} q^{-1}$$ 其中 $\mathbf{v}$ 被视为四元数 $(0, v_x, v_y, v_z)$。 ### 优点 - ✅ **无万向锁**：不会出现万向锁问题 - ✅ **唯一表示**：每个旋转对应唯一的单位四元数（除了 $q$ 和 $-q$） - ✅ **插值平滑**：可以平滑插值（球面线性插值，SLERP） ### 缺点 - ❌ **不直观**：不如欧拉角直观 - ❌ **需要 4 个参数**：比欧拉角多一个参数 - ❌ **计算复杂**：运算相对复杂 ## 欧拉角和四元数的转换 ### 欧拉角转四元数 对于 ZYX 顺序的欧拉角 $(\alpha, \beta, \gamma)$： $$q = \left(\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2} + \sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2},\right.$$ $$\left.\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2} - \cos\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2},\right.$$ $$\left.\cos\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2} + \sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2},\right.$$ $$\left.\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2} - \sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2}\right)$$ ### 四元数转欧拉角 对于单位四元数 $q = (w, x, y, z)$，ZYX 顺序的欧拉角： $$\alpha = \arctan2(2(wx + yz), 1 - 2(x^2 + y^2))$$ $$\beta = \arcsin(2(wy - xz))$$ $$\gamma = \arctan2(2(wz + xy), 1 - 2(y^2 + z^2))$$ ## 应用 ### 计算机图形学 - 🎮 **3D 游戏**：表示物体的旋转 - 🎨 **动画**：平滑的旋转动画 ### 机器人学 - 🤖 **机器人控制**：控制机器人的姿态 - 🚁 **无人机**：控制无人机的方向 ### 航空航天 - ✈️ **飞行器**：表示飞行器的姿态 - 🛰️ **卫星**：控制卫星的方向 ## 常见错误 ### 错误 1：万向锁问题 使用欧拉角时要注意万向锁问题。 ### 错误 2：四元数归一化 使用四元数时要保持单位四元数（归一化）。 ### 错误 3：顺序混淆 要注意旋转的顺序（ZYX、XYZ 等）。 ## 小练习 1. 计算绕 Z 轴旋转 90° 的旋转矩阵 2. 将欧拉角 $(30°, 45°, 60°)$ 转换为四元数 3. 说明四元数为什么不会出现万向锁问题 4. 应用题：在 3D 游戏中，如何用四元数实现平滑的旋转动画？ --- > 💡 **小贴士**：欧拉角和四元数是表示三维旋转的两种方法。记住：欧拉角直观但有万向锁问题，四元数无万向锁但不够直观。掌握它们，你就能处理三维空间中的旋转问题！