坐标系

坐标的意义在于将代数与几何联系起来，使两者贯通，使得能对自然进行数学描述。从本质上讲，坐标就是一种位置参考。古代的天文学家们为了确定出天空中星星的位置，自然的用到了某种类似于坐标的方法，即对天空进行网格划分，根据网格位置来确定星体位置。古希腊天文学家喜帕恰斯（Hipparchus，约公元前 190-125 年，另译为依巴古，这是由于希腊文、拉丁文、中文翻译过程中所造成的）运用经度和纬度标出天空中点的位置，这就像是给天空画上了网格，利用网格可以标记和快速的找到各类星星。

定义

坐标系是数学或物理学用语，定义如下： 对于一个 n 维系统，能够使每一个点和一组 n 个标量构成一一对应的系统。坐标系可以用一个有序多元组表示一个点的位置。一般常用的坐标系，各维坐标的数字均为实数，但在高等数学中坐标的数字可能是复数，甚至是或是其他抽象代数中的元素。

常见的几种坐标系包括：

• 笛卡尔坐标（Cartesian Coordinates）
• 极坐标（Polar Coordinates）
• 球坐标（Spherical Coordinates）
• 圆柱坐标（Cylindrical Coordinates）

下面将逐一介绍它们。

笛卡尔坐标

笛卡尔坐标系（Cartesian coordinate system）也称直角坐标系，在数学中是一种正交坐标系，由法国数学家勒内·笛卡尔引入而得名。二维的直角坐标系是由两条相互垂直、相交于原点的数线构成的，通常分别称为 x 轴和 y 轴。两个坐标轴的相交点，称为原点，通常标记为 O，既有“零”的意思，又是法语“Origine”的首字母。通常两个坐标轴只要互相垂直，其指向何方对于分析问题是没有影响的，但习惯性地，x 轴被水平摆放，称为横轴，通常指向右方；y 轴被竖直摆放而称为纵轴，通常指向上方。

为了确定坐标轴的任何一点离原点的距离。假设我们可以刻画数值于坐标轴。那么，从原点开始，往坐标轴所指的方向，每隔一个单位长度，就刻画数值于坐标轴。这数值是刻画的次数，也是离原点的正值整数距离；同样地，背着坐标轴所指的方向，我们也可以刻画出离原点的负值整数距离。称 x 轴刻画的数值为 x 坐标，又称横坐标，称 y 轴刻画的数值为 y 坐标，又称纵坐标。虽然在这里，这两个坐标都是整数，对应于坐标轴特定的点。按照比例，我们可以推广至实数坐标和其所对应的坐标轴的每一个点。这两个坐标就是直角坐标系的直角坐标，标记为 ${(x, y)}$。

如果将直角坐标系推广至三维空间，即在原本的二维直角坐标系，再添加一个垂直于 x 轴 和 y 轴的坐标轴，称为 z 轴。使得这三个坐标轴满足“右手定则”（Right-hand rule），则可得到三维的直角坐标系。这 z 轴与 x 轴、y 轴相互正交于原点，那么在三维空间的任何一点 P，就可以用直角坐标 ${(x, y, z)}$ 来表达其位置。

在二维直角坐标系中，我们已经确定了 x 轴和 y 轴的方向。而在三维空间中，同样面临轴线方向的问题，即在 z 轴以原点为共同点的两条半线中，哪一条半线的点的坐标是正值的，哪一条是负值的？于是形成了两种不同的坐标系统，称为左手坐标系和右手坐标系。其中，右手坐标系又称为标准坐标系或正值坐标系。

右手坐标系这名词是由右手定则而来的。先将右手的手掌与手指伸直，然后将中指指向往手掌的掌面半空间，与食指呈直角关系。再将大拇指往上指去，与中指、食指都呈直角关系。则大拇指、食指与中指分别表示了右手坐标系的 x 轴、y 轴与 z 轴。同样地，用左手也可以表示出左手坐标系。

极坐标

极坐标系（Polar coordinate system）是一个二维坐标系统。该坐标系统中任意位置可由一个夹角和一段相对原点（在这里称为“极点”）的距离来表示。极坐标系的应用领域十分广泛，包括数学、物理、工程、航海、航空、电脑以及机器人领域。在两点间的关系用夹角和距离很容易表示时，极坐标系便显得尤为有用；而在平面直角坐标系中，这样的关系就只能使用三角函数来表示。对于很多类型的曲线，极坐标方程是最简单的表达形式，甚至对于某些曲线来说，只有极坐标方程能够表示。

正如所有的二维坐标系，极坐标系也有两个坐标轴：${\displaystyle r}$（半径坐标）和 ${\displaystyle \theta }$（角坐标、极角或方位角，有时也表示为 ${\displaystyle \phi }$ 或 ${\displaystyle t}$）。${\displaystyle r}$ 坐标表示与极点的距离，${\displaystyle \theta }$ 坐标表示按逆时针方向坐标距离 0° 射线（有时也称作极轴）的角度，极轴就是在平面直角坐标系中的 x 轴正方向。

比如，极坐标中的 (3, 60°) 表示了一个距离极点 3 个单位长度、和极轴夹角为 60° 的点。(−3, 240°) 和 (3, 60°) 表示了同一点，因为该点的半径为在夹角射线反向延长线上距离极点 3 个单位长度的地方 (240° − 180° = 60°)。

极坐标系中一个重要的特性是，平面直角坐标中的任意一点，可以在极坐标系中有无限种表达形式。通常来说，点 (r, θ) 可以任意表示为 (r, θ ± n×360°) 或 (−r, θ ± (2n + 1)180°) ，这里 n 是任意整数。如果某一点的 r 坐标为 0，那么无论 θ 取何值，该点的位置都落在了极点上。

极坐标系中的角度通常表示为角度或者弧度，使用公式 2π rad= 360°。具体使用哪一种方式，基本都是由使用场合而定。例如，航海方面经常使用角度来进行测量，而物理学的某些领域大量使用到了半径和圆周的比来作运算，所以物理方面更倾向使用弧度。

极坐标系与平面直角坐标系之间的变换关系如下图所示。

球坐标

球坐标系（Spherical coordinate system）可被视为极坐标系的三维推广，是数学上利用球坐标 ${\displaystyle (r,\ \theta ,\ \varphi )}$ 表示一个点 P 在三维空间的位置的三维正交坐标系。

下图显示了球坐标的几何意义：原点与点P之间的“径向距离”（radial distance）${\displaystyle r}$，原点到点 P 的连线与正 z 轴之间的“极角”（polar angle）${\displaystyle \theta }$，以及原点到点 P 的连线在 xy 平面的投影线与正 x 轴之间的“方位角”（azimuth angle）${\displaystyle \varphi }$。

这里，${\displaystyle \theta }$ 代表倾斜角，${\displaystyle \varphi }$ 代表方位角。当 ${\displaystyle r=0}$ 时，${\displaystyle \theta }$ 与 ${\displaystyle \varphi }$ 都一起失去意义。当 ${\displaystyle \theta =0}$ 或 ${\displaystyle \theta =\pi }$ 时，${\displaystyle \varphi }$ 失去意义。

如想要用球坐标，找出点 P 在空间的地点，可按照以下步骤：

1. 从原点往正 z 轴移动 ${\displaystyle r}$ 单位，
2. 用右手定则，大拇指往 y 轴指，x 轴与 z 轴朝其他手指的指向旋转 ${\displaystyle \theta }$ 角值，
3. 用右手定则，大拇指往 z 轴指，x 轴与 y 轴朝其他手指的指向旋转 ${\displaystyle \varphi }$ 角值。

圆柱坐标

圆柱坐标系（Cylindrical coordinate system）是一种三维坐标系统。它是二维极坐标系往 z 轴的延伸，添加的第三个坐标 ${\displaystyle z}$ 专门用来表示 P 点离 xy 平面的高低。按照国际标准化组织建立的约定 (ISO 31-11) ，径向距离、方位角、高度，分别标记为 ${\displaystyle (\rho ,\ \phi ,\ z)}$。

圆柱坐标常被用来分析，选用 z 轴为对称轴，有轴对称特性的物体。例如，一个无限长的圆柱，具有直角坐标方程式 ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=c^{2}}$ ；用圆柱坐标来表示，有一个非常简易的方程式 ${\displaystyle \rho =c}$。这也是圆柱坐标系名称的由来。