贝叶斯公式

贝叶斯公式是概率论的重要公式！掌握贝叶斯公式，能帮助我们根据结果推断原因。

什么是贝叶斯公式？

贝叶斯公式（Bayes' Theorem）是根据结果推断原因的概率公式。

提示

托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes）是18世纪的英国数学家，也是一位虔诚的牧师。据说他为了反驳对上帝的质疑而推导出贝叶斯定理。贝叶斯定理是一个由结果倒推原因的概率算法，在贝叶斯提出这个条件概率公式后，很长一段时间，大家并没有觉得它有什么作用，并一直受到主流统计学派的排斥。直到计算机诞生后，人们发现，贝叶斯定理可以广泛应用在数据分析、模式识别、统计决策，以及最火的人工智能中。结果，贝叶斯定理是如此有用，以至于不仅应用在计算机上，还广泛应用在经济学、心理学、博弈论等各种领域，可以说，掌握并应用贝叶斯定理，是每个人必备的技能。

简单理解

贝叶斯公式就像"反过来思考"：

• 已知结果（事件 $A$ 发生）
• 推断原因（哪个 $B_i$ 导致 $A$ 发生）
• 计算在 $A$ 发生的条件下，$B_i$ 发生的概率

公式

如果事件 $B_1, B_2, \ldots, B_n$ 构成样本空间的一个划分，且 $P(B_i) > 0$，$P(A) > 0$，则：

$$P(B_i|A) = \frac{P(B_i) \times P(A|B_i)}{\sum_{j=1}^{n} P(B_j) \times P(A|B_j)} = \frac{P(B_i) \times P(A|B_i)}{P(A)}$$

推导

根据条件概率的定义：

$$P(B_i|A) = \frac{P(B_i \cap A)}{P(A)}$$

根据乘法公式：

$$P(B_i \cap A) = P(B_i) \times P(A|B_i)$$

根据全概率公式：

$$P(A) = \sum_{j=1}^{n} P(B_j) \times P(A|B_j)$$

所以：

$$P(B_i|A) = \frac{P(B_i) \times P(A|B_i)}{\sum_{j=1}^{n} P(B_j) \times P(A|B_j)} = \frac{P(B_i) \times P(A|B_i)}{P(A)}$$

特殊情况：两个事件

如果样本空间被划分为两个事件 $B$ 和 $\bar{B}$，则：

$$P(B|A) = \frac{P(B) \times P(A|B)}{P(B) \times P(A|B) + P(\bar{B}) \times P(A|\bar{B})}$$

例子

例子：医学诊断问题

• 人群中患病率是 $1\%$（$P(B) = 0.01$，$B$ 表示患病）
• 如果患病，检测呈阳性的概率是 $95\%$（$P(A|B) = 0.95$）
• 如果不患病，检测呈阳性的概率是 $5\%$（$P(A|\bar{B}) = 0.05$）

求检测呈阳性时，实际患病的概率（$P(B|A)$）。

解：

根据贝叶斯公式：

$P(B|A) = \frac{P(B) \times P(A|B)}{P(B) \times P(A|B) + P(\bar{B}) \times P(A|\bar{B})}$

$= \frac{0.01 \times 0.95}{0.01 \times 0.95 + 0.99 \times 0.05}$

$= \frac{0.0095}{0.0095 + 0.0495} = \frac{0.0095}{0.059} \approx 0.161$

所以检测呈阳性时，实际患病的概率只有约 $16.1\%$。

解释：虽然检测的准确率很高，但由于患病率很低，所以即使检测呈阳性，实际患病的概率也不高。

贝叶斯公式的应用

应用 1：医学诊断

例子：疾病诊断（见上面的例子）

应用 2：质量控制

例子：产品质量检测

• 工厂有两个车间生产产品
• 车间 1 生产 $60\%$ 的产品，次品率 $2\%$
• 车间 2 生产 $40\%$ 的产品，次品率 $3\%$

如果随机抽取一个产品是次品，求它来自车间 1 的概率。

解：

• 事件 $A$：产品是次品
• 事件 $B_1$：产品来自车间 1，$P(B_1) = 0.6$
• 事件 $B_2$：产品来自车间 2，$P(B_2) = 0.4$
• $P(A|B_1) = 0.02$
• $P(A|B_2) = 0.03$

根据全概率公式：

$P(A) = 0.6 \times 0.02 + 0.4 \times 0.03 = 0.012 + 0.012 = 0.024$

根据贝叶斯公式：

$P(B_1|A) = \frac{P(B_1) \times P(A|B_1)}{P(A)} = \frac{0.6 \times 0.02}{0.024} = \frac{0.012}{0.024} = 0.5$

所以如果产品是次品，它来自车间 1 的概率是 $50\%$。

应用 3：垃圾邮件过滤

例子：垃圾邮件检测

• 邮件中 $10\%$ 是垃圾邮件
• 垃圾邮件中包含某个关键词的概率是 $80\%$
• 正常邮件中包含该关键词的概率是 $10\%$

如果一封邮件包含该关键词，求它是垃圾邮件的概率。

解：

• 事件 $A$：邮件包含关键词
• 事件 $B$：邮件是垃圾邮件，$P(B) = 0.1$
• 事件 $\bar{B}$：邮件是正常邮件，$P(\bar{B}) = 0.9$
• $P(A|B) = 0.8$
• $P(A|\bar{B}) = 0.1$

根据贝叶斯公式：

$P(B|A) = \frac{P(B) \times P(A|B)}{P(B) \times P(A|B) + P(\bar{B}) \times P(A|\bar{B})}$

$= \frac{0.1 \times 0.8}{0.1 \times 0.8 + 0.9 \times 0.1} = \frac{0.08}{0.08 + 0.09} = \frac{0.08}{0.17} \approx 0.471$

所以如果邮件包含该关键词，它是垃圾邮件的概率约是 $47.1\%$。

贝叶斯公式的意义

先验概率和后验概率

• 先验概率：$P(B_i)$（在知道结果 $A$ 之前，$B_i$ 发生的概率）
• 后验概率：$P(B_i|A)$（在知道结果 $A$ 之后，$B_i$ 发生的概率）

贝叶斯公式用先验概率和条件概率计算后验概率。

更新信念

贝叶斯公式体现了"根据新信息更新信念"的思想：

• 先有先验概率（先前的信念）
• 观察到新信息（事件 $A$ 发生）
• 更新为后验概率（更新后的信念）

生活中的应用

医学

• 🏥 疾病诊断：根据检测结果推断是否患病
• 💊 药物效果：根据治疗效果推断药物有效性

技术

• 📧 垃圾邮件过滤：根据邮件特征判断是否为垃圾邮件
• 🤖 机器学习：贝叶斯分类器

决策

• 💼 商业决策：根据市场反馈调整策略
• 🎯 风险评估：根据新信息更新风险评估

常见错误

错误 1：先验概率和后验概率混淆

• 先验概率：$P(B_i)$（知道结果前）
• 后验概率：$P(B_i|A)$（知道结果后）

错误 2：条件概率方向错误

$P(A|B)$ 和 $P(B|A)$ 是不同的，要注意方向。

错误 3：公式使用错误

要正确使用贝叶斯公式，注意分母是全概率公式。

小练习

1. 人群中患病率是 $2\%$，如果患病，检测呈阳性的概率是 $98\%$；如果不患病，检测呈阳性的概率是 $3\%$。求检测呈阳性时，实际患病的概率
2. 一个工厂有两个车间，车间 1 生产 $70\%$ 的产品，次品率 $1\%$；车间 2 生产 $30\%$ 的产品，次品率 $2\%$。如果随机抽取一个产品是次品，求它来自车间 1 的概率
3. 邮件中 $20\%$ 是垃圾邮件，垃圾邮件中包含某个关键词的概率是 $90\%$，正常邮件中包含该关键词的概率是 $5\%$。如果一封邮件包含该关键词，求它是垃圾邮件的概率
4. 应用题：在医学诊断中，如何用贝叶斯公式根据检测结果推断是否患病？

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💡 小贴士：贝叶斯公式是根据结果推断原因的概率公式。记住：$P(B_i|A) = \frac{P(B_i) \times P(A|B_i)}{P(A)}$，其中 $P(A)$ 可以用全概率公式计算。掌握贝叶斯公式，你就能根据结果推断原因！