坐标系

坐标的意义在于将代数与几何联系起来,使两者贯通,使得能对自然进行数学描述。从本质上讲,坐标就是一种位置参考。古代的天文学家们为了确定出天空中星星的位置,自然的用到了某种类似于坐标的方法,即对天空进行网格划分,根据网格位置来确定星体位置。古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus,约公元前 190-125 年,另译为依巴古,这是由于希腊文、拉丁文、中文翻译过程中所造成的)运用经度和纬度标出天空中点的位置,这就像是给天空画上了网格,利用网格可以标记和快速的找到各类星星。

定义

坐标系是数学或物理学用语,定义如下: 对于一个 n 维系统,能够使每一个点和一组 n 个标量构成一一对应的系统。坐标系可以用一个有序多元组表示一个点的位置。一般常用的坐标系,各维坐标的数字均为实数,但在高等数学中坐标的数字可能是复数,甚至是或是其他抽象代数中的元素。

常见的几种坐标系包括:

  • 笛卡尔坐标(Cartesian Coordinates)
  • 极坐标(Polar Coordinates)
  • 球坐标(Spherical Coordinates)
  • 圆柱坐标(Cylindrical Coordinates)

下面将逐一介绍它们。

笛卡尔坐标

笛卡尔坐标系(Cartesian coordinate system)也称直角坐标系,在数学中是一种正交坐标系,由法国数学家勒内·笛卡尔引入而得名。二维的直角坐标系是由两条相互垂直、相交于原点的数线构成的,通常分别称为 x 轴和 y 轴。两个坐标轴的相交点,称为原点,通常标记为 O,既有“零”的意思,又是法语“Origine”的首字母。通常两个坐标轴只要互相垂直,其指向何方对于分析问题是没有影响的,但习惯性地,x 轴被水平摆放,称为横轴,通常指向右方;y 轴被竖直摆放而称为纵轴,通常指向上方。

为了确定坐标轴的任何一点离原点的距离。假设我们可以刻画数值于坐标轴。那么,从原点开始,往坐标轴所指的方向,每隔一个单位长度,就刻画数值于坐标轴。这数值是刻画的次数,也是离原点的正值整数距离;同样地,背着坐标轴所指的方向,我们也可以刻画出离原点的负值整数距离。称 x 轴刻画的数值为 x 坐标,又称横坐标,称 y 轴刻画的数值为 y 坐标,又称纵坐标。虽然在这里,这两个坐标都是整数,对应于坐标轴特定的点。按照比例,我们可以推广至实数坐标和其所对应的坐标轴的每一个点。这两个坐标就是直角坐标系的直角坐标,标记为 {(x, y)}

如果将直角坐标系推广至三维空间,即在原本的二维直角坐标系,再添加一个垂直于 x 轴 和 y 轴的坐标轴,称为 z 轴。使得这三个坐标轴满足“右手定则”(Right-hand rule),则可得到三维的直角坐标系。这 z 轴与 x 轴、y 轴相互正交于原点,那么在三维空间的任何一点 P,就可以用直角坐标 {(x, y, z)} 来表达其位置。

在二维直角坐标系中,我们已经确定了 x 轴和 y 轴的方向。而在三维空间中,同样面临轴线方向的问题,即在 z 轴以原点为共同点的两条半线中,哪一条半线的点的坐标是正值的,哪一条是负值的?于是形成了两种不同的坐标系统,称为左手坐标系右手坐标系。其中,右手坐标系又称为标准坐标系正值坐标系

右手坐标系这名词是由右手定则而来的。先将右手的手掌与手指伸直,然后将中指指向往手掌的掌面半空间,与食指呈直角关系。再将大拇指往上指去,与中指、食指都呈直角关系。则大拇指、食指与中指分别表示了右手坐标系的 x 轴、y 轴与 z 轴。同样地,用左手也可以表示出左手坐标系。

极坐标

极坐标系(Polar coordinate system)是一个二维坐标系统。该坐标系统中任意位置可由一个夹角和一段相对原点(在这里称为“极点”)的距离来表示。极坐标系的应用领域十分广泛,包括数学、物理、工程、航海、航空、电脑以及机器人领域。在两点间的关系用夹角和距离很容易表示时,极坐标系便显得尤为有用;而在平面直角坐标系中,这样的关系就只能使用三角函数来表示。对于很多类型的曲线,极坐标方程是最简单的表达形式,甚至对于某些曲线来说,只有极坐标方程能够表示。

正如所有的二维坐标系,极坐标系也有两个坐标轴:{\displaystyle r}(半径坐标)和 {\displaystyle \theta }(角坐标、极角或方位角,有时也表示为 {\displaystyle \phi }{\displaystyle t})。{\displaystyle r} 坐标表示与极点的距离,{\displaystyle \theta } 坐标表示按逆时针方向坐标距离 0° 射线(有时也称作极轴)的角度,极轴就是在平面直角坐标系中的 x 轴正方向。

比如,极坐标中的 (3, 60°) 表示了一个距离极点 3 个单位长度、和极轴夹角为 60° 的点。(−3, 240°) 和 (3, 60°) 表示了同一点,因为该点的半径为在夹角射线反向延长线上距离极点 3 个单位长度的地方 (240° − 180° = 60°)。

极坐标系中一个重要的特性是,平面直角坐标中的任意一点,可以在极坐标系中有无限种表达形式。通常来说,点 (r, θ) 可以任意表示为 (r, θ ± n×360°) 或 (−r, θ ± (2n + 1)180°) ,这里 n 是任意整数。如果某一点的 r 坐标为 0,那么无论 θ 取何值,该点的位置都落在了极点上。

极坐标系中的角度通常表示为角度或者弧度,使用公式 2π rad= 360°。具体使用哪一种方式,基本都是由使用场合而定。例如,航海方面经常使用角度来进行测量,而物理学的某些领域大量使用到了半径和圆周的比来作运算,所以物理方面更倾向使用弧度。

极坐标系与平面直角坐标系之间的变换关系如下图所示。

球坐标

球坐标系(Spherical coordinate system)可被视为极坐标系的三维推广,是数学上利用球坐标 {\displaystyle (r,\ \theta ,\ \varphi )} 表示一个点 P 在三维空间的位置的三维正交坐标系。

下图显示了球坐标的几何意义:原点与点P之间的“径向距离”(radial distance{\displaystyle r},原点到点 P 的连线与正 z 轴之间的“极角”(polar angle{\displaystyle \theta },以及原点到点 P 的连线在 xy 平面的投影线与正 x 轴之间的“方位角”(azimuth angle{\displaystyle \varphi }

这里,{\displaystyle \theta } 代表倾斜角,{\displaystyle \varphi } 代表方位角。当 {\displaystyle r=0} 时,{\displaystyle \theta }{\displaystyle \varphi } 都一起失去意义。当 {\displaystyle \theta =0}{\displaystyle \theta =\pi } 时,{\displaystyle \varphi } 失去意义。

如想要用球坐标,找出点 P 在空间的地点,可按照以下步骤:

  1. 从原点往正 z 轴移动 {\displaystyle r} 单位,
  2. 用右手定则,大拇指往 y 轴指,x 轴与 z 轴朝其他手指的指向旋转 {\displaystyle \theta } 角值,
  3. 用右手定则,大拇指往 z 轴指,x 轴与 y 轴朝其他手指的指向旋转 {\displaystyle \varphi } 角值。

圆柱坐标

圆柱坐标系(Cylindrical coordinate system)是一种三维坐标系统。它是二维极坐标系往 z 轴的延伸,添加的第三个坐标 {\displaystyle z} 专门用来表示 P 点离 xy 平面的高低。按照国际标准化组织建立的约定 (ISO 31-11) ,径向距离、方位角、高度,分别标记为 {\displaystyle (\rho ,\ \phi ,\ z)}

圆柱坐标常被用来分析,选用 z 轴为对称轴,有轴对称特性的物体。例如,一个无限长的圆柱,具有直角坐标方程式 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=c^{2}} ;用圆柱坐标来表示,有一个非常简易的方程式 {\displaystyle \rho =c}。这也是圆柱坐标系名称的由来。